3.8.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (10 markah):
Rajah menunjukkan garis lurus 4y = x – 2 menyentuh lengkung x = y² + 6 pada titik P.

Rajah
Cari
(a) koordinat P,
(b) luas kawasan berlorek,
(c) isi padu kisaran, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung dan garis lurus x = 8 dikisarkan melalui 180^o pada paksi-x.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} 4 y = x - 2......... (1) \\ x = y^{2} + 6......... (2) \\ Gantikan (2) ke dalam (1): \\ 4 y = (y^{2} + 6) - 2 \\ y^{2} - 4 y + 4 = 0 \\ (y - 2) (y - 2) = 0 \\ y - 2 = 0 \\ y = 2 \\ Gantikan y = 2 ke dalam (2): \\ x = {(2)}^{2} + 6 \\ x = 10 \\ Oleh itu, P = (10, 2) . \end{array}

(b)

\begin{array}{l} Pada paksi-x, y = 0 \\ ∴ 4 y = x - 2 \\ 0 = x - 2 \\ x = 2 \\ Luas kawasan berlorek \\ = Luas segi tiga - Luas rantau yang dibatasi oleh lengkung \\ = \frac{1}{2} (10 - 2) (2) - \int_{6}^{10} y d x \\ = 8 - \int_{6}^{10} \sqrt{x - 6} d x \leftarrow \begin{array}{l} x = y^{2} + 6 \\ y = \sqrt{x - 6} \end{array} \\ = 8 - \int_{6}^{10} {(x - 6)}^{\frac{1}{2}} d x \\ = 8 - {[\frac{{(x - 6)}^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}]}_{6}^{10} \\ = 8 - {[\frac{2 {(x - 6)}^{\frac{3}{2}}}{3}]}_{6}^{10} \\ = 8 - [\frac{2 {(10 - 6)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 {(6 - 6)}^{\frac{3}{2}}}{3}] \\ = 8 - \frac{16}{3} \\ = \frac{8}{3} {unit}^{2} \end{array}

(c)

\begin{array}{l} Isipadu kisaran \\ = π \int_{6}^{8} y^{2} d x \\ = π \int_{6}^{8} (x - 6) d x \leftarrow \begin{array}{l} x = y^{2} + 6 \\ y^{2} = x - 6 \end{array} \\ = π {[\frac{x^{2}}{2} - 6 x]}_{6}^{8} \\ = π [(32 - 48) - (18 - 36)] \\ = 2 π {unit}^{3} \end{array}

2.6.5 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 5 (10 markah):
Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Jadual 1 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah, x dan y, yang diperoleh daripada suatu eksperimen. Satu garis lurus akan diperoleh apabila graf

\frac{y^{2}}{x} melawan \frac{1}{x}

diplotkan.

(a) Berdasarkan Jadual 1, bina satu jadual bagi nilai-nilai

\frac{1}{x} dan \frac{y^{2}}{x} .

\begin{array}{l} (b) Plot \frac{y^{2}}{x} melawan \frac{1}{x}, menggunakan skala 2 cm kepada 0 .1 unit \\ pada paksi- \frac{1}{x} dan 2cm kepada 2 unit pada paksi- \frac{y^{2}}{x} . \\ Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik . \end{array}

(c) Menggunakan graf di 11(b)
(i) cari nilai y apabila x = 2.7,
(ii) ungkapkan y dalam sebutan x.

Penyelesaian:
(a)

(b)

(c)(i)

\begin{array}{l} Apabila x = 2.7, \frac{1}{x} = 0.37 \\ Daripada graf, \\ \frac{y^{2}}{x} = 5.2 \\ \frac{y^{2}}{2.7} = 5.2 \\ y = 3.75 \end{array}

(c)(ii)

\begin{array}{l} Daripada graf, pintasan- y, c = –4 \\ Kecerunan, m = \frac{16 - (- 4)}{0.8 - 0} = 25 \\ Y = m X + c \\ \frac{y^{2}}{x} = 25 (\frac{1}{x}) - 4 \\ y = \sqrt{25 - 4 x} \end{array}

2.6.4 Hukum Linear, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 4 (10 markah):
Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini.
Jadual 1 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah, x dan y, yang diperoleh daripada suatu eksperimen.
Pembolehubah x dan y dihubungkan oleh persamaan

y - \sqrt{h} = \frac{h k}{x}

, dengan keadaan h dan k ialah pemalar.

(a) Plot xy melawan x, menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 5 unit pada paksi-xy.
Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.
(b) Menggunakan graf di 9(a), cari
(i) nilai h dan nilai k,
(ii) nilai y yang betul jika satu daripada nilai-nilai y telah tersalah catat semasa eksperimen.

Penyelesaian:
(a)

(b)

\begin{array}{l} y - \sqrt{h} = \frac{h k}{x} \\ x y - \sqrt{h} x = h k \\ x y = \sqrt{h} x + h k \\ Y = m X + C \\ Y = x y, m = \sqrt{h}, C = h k \end{array}

(b)(i)

\begin{array}{l} m = \frac{36.5}{5.1} \\ \sqrt{h} = \frac{36.5}{5.1} \\ \sqrt{h} = 7.157 \\ h = 51.22 \\ C = - 4 \\ h k = - 4 \\ k = \frac{- 4}{h} \\ k = - \frac{4}{51.22} \\ k = - 0.0781 \end{array}

(b)(ii)

\begin{array}{l} x y = 21 \\ 3.5 y = 21 \\ y = \frac{21}{3.5} = 6.0 \\ Nilai yang betul bagi y ialah 6 .0 . \end{array}

4.7.10 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 10 (10 markah):
Rajah 5 menunjukkan segi tiga OAQ dan segi tiga OPB dengan keadaan titik P berada pada OA dan titik Q berada pada OB. Garis lurus AQ dan garis lurus PB bersilang pada titik R.

\begin{array}{l} Diberi bahawa \vec{O A} = 18 \underset{˜}{x}, \vec{O B} = 16 \underset{˜}{y}, O P : P A = 1 : 2, O Q : Q B = 3 : 1, \\ \vec{P R} = m \vec{P B} dan \vec{Q R} = n \vec{Q A}, dengan keadaan m dan n ialah pemalar . \\ (a) Ungkapkan \vec{O R} dalam sebutan \\ (i) m, \underset{˜}{x} dan \underset{˜}{y}, \\ (i i) n, \underset{˜}{x} dan \underset{˜}{y}, \\ (b) Seterusnya, cari nilai m dan nilai n . \\ (c) Diberi | \underset{˜}{x} | = 2 unit, | \underset{˜}{y} | = 1 unit dan O A berserenjang kepada O B, hitung | \vec{P R} | . \end{array}

Penyelesaian:
(a)(i)

\begin{array}{l} \vec{O R} = \vec{O P} + \vec{P R} \\ = \frac{1}{3} \vec{O A} + m \vec{P B} \\ = \frac{1}{3} (18 \underset{˜}{x}) + m (\vec{P O} + \vec{O B}) \\ = 6 \underset{˜}{x} + m (- 6 \underset{˜}{x} + 16 \underset{˜}{y}) \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} \vec{O R} = \vec{O Q} + \vec{Q R} \\ = \frac{3}{4} \vec{O B} + n \vec{Q A} \\ = \frac{3}{4} (16 \underset{˜}{y}) + n (\vec{Q O} + \vec{O A}) \\ = 12 \underset{˜}{y} + n (- 12 \underset{˜}{y} + 18 \underset{˜}{x}) \\ = (12 - 12 n) \underset{˜}{y} + 18 n \underset{˜}{x} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} 6 \underset{˜}{x} + m (- 6 \underset{˜}{x} + 16 \underset{˜}{y}) = (12 - 12 n) \underset{˜}{y} + 18 n \underset{˜}{x} \\ 6 \underset{˜}{x} - 6 m \underset{˜}{x} + 16 m \underset{˜}{y} = 18 n \underset{˜}{x} + 12 \underset{˜}{y} - 12 n \underset{˜}{y} \\ Dengan cara perbandingan; \\ 6 - 6 m = 18 n \\ 1 - m = 3 n \\ m = 1 - 3 n .............. (1) \\ 16 m = 12 - 12 n \\ 4 m = 3 - 3 n .............. (2) \\ Gantikan (1) ke dalam (2), \\ 4 (1 - 3 n) = 3 - 3 n \\ 4 - 12 n = 3 - 3 n \\ 9 n = 1 \\ n = \frac{1}{9} \\ Gantikan n = \frac{1}{9} ke dalam (1), \\ m = 1 - 3 (\frac{1}{9}) \\ m = \frac{2}{3} \end{array}

(c)

\begin{array}{l} | \underset{˜}{x} | = 2, | \underset{˜}{y} | = 1 \\ \vec{P R} = \frac{2}{3} \vec{P B} \\ = \frac{2}{3} (- 6 \underset{˜}{x} + 16 \underset{˜}{y}) \\ = - 4 \underset{˜}{x} + \frac{32}{3} \underset{˜}{y} \\ | \vec{P R} | = \sqrt{{[- 4 (2)]}^{2} + {[\frac{32}{3} (1)]}^{2}} \\ = \sqrt{\frac{1600}{9}} \\ = \frac{40}{3} units \end{array}

4.7.9 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (10 markah):
Rajah 5 menunjukkan segi tiga ABC. Garis lurus AE bersilang dengan garis lurus BC di titik D. Titik V terletak pada garis lurus AE.

\begin{array}{l} Diberi bahawa \vec{B D} = \frac{1}{3} \vec{B C}, \vec{A C} = 6 \underset{˜}{x} dan \vec{A B} = 9 \underset{˜}{y} . \\ (a) Ungkapkan dalam sebutan \underset{˜}{x} dan / atau \underset{˜}{y} : \\ (i) \vec{B C}, \\ (i i) \vec{A D} . \\ (b) Diberi bahawa \vec{A V} = m \vec{A D} dan \vec{B V} = n (\underset{˜}{x} - 9 \underset{˜}{y}), \\ dengan keadaan m dan n ialah pemalar . \\ Cari nilai m dan nilai n . \\ (c) Diberi \vec{A E} = h \underset{˜}{x} + 9 \underset{˜}{y}, dengan keadaan h ialah pemalar, \\ cari nilai h . \end{array}

Penyelesaian:
(a)(i)

\begin{array}{l} \vec{B C} = \vec{B A} + \vec{A C} \\ = - 9 \underset{˜}{y} + 6 \underset{˜}{x} \\ = 6 \underset{˜}{x} - 9 \underset{˜}{y} \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{B D} \\ = 9 \underset{˜}{y} + \frac{1}{3} \vec{B C} \\ = 9 \underset{˜}{y} + \frac{1}{3} (6 \underset{˜}{x} - 9 \underset{˜}{y}) \\ = 9 \underset{˜}{y} + 2 \underset{˜}{x} - 3 \underset{˜}{y} \\ = 2 \underset{˜}{x} + 6 \underset{˜}{y} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} Diberi \vec{A V} = m \vec{A D} \\ = m (2 \underset{˜}{x} + 6 \underset{˜}{y}) \\ = 2 m \underset{˜}{x} + 6 m \underset{˜}{y} \\ \vec{A V} = \vec{A B} + \vec{B V} \\ = 9 \underset{˜}{y} + n (\underset{˜}{x} - 9 \underset{˜}{y}) \\ = 9 \underset{˜}{y} + n \underset{˜}{x} - 9 n \underset{˜}{y} \\ = n \underset{˜}{x} + (9 - 9 n) \underset{˜}{y} \\ Dengan menyamakan pekali bagi \underset{˜}{x} dan \underset{˜}{y}, \\ 2 m \underset{˜}{x} + 6 m \underset{˜}{y} = n \underset{˜}{x} + (9 - 9 n) \underset{˜}{y} \\ 2 m = n \\ n = 2 m ............. (1) \\ 6 m = 9 - 9 n ............. (2) \\ Gantikan (1) ke dalam (2), \\ 6 m = 9 - 9 (2 m) \\ 6 m = 9 - 18 m \\ 24 m = 9 \\ m = \frac{9}{24} = \frac{3}{8} \\ Daripada (1) : \\ n = 2 (\frac{3}{8}) = \frac{3}{4} \end{array}

(c)

\begin{array}{l} A, D dan E adalah segaris . \\ \vec{A D} = k (\vec{A E}) \\ \vec{A D} = k (h \underset{˜}{x} + 9 \underset{˜}{y}) \\ 2 \underset{˜}{x} + 6 \underset{˜}{y} = k h \underset{˜}{x} + 9 k \underset{˜}{y} \\ Dengan menyamakan pekali bagi \underset{˜}{y} : \\ 9 k = 6 \\ k = \frac{6}{9} \\ k = \frac{2}{3} \\ Dengan menyamakan pekali bagi \underset{˜}{x} : \\ k h = 2 \\ (\frac{2}{3}) h = 2 \\ h = 2 \times \frac{3}{2} \\ h = 3 \end{array}

8.4.5 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (10 markah):
Satu kajian menunjukkan bahawa baki hutang kad kredit pelanggan-pelanggan adalah bertabur secara normal seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 6.

(a)(i) Cari sisihan piawai.
(ii) Jika 30 orang pelanggan dipilih secara rawak, cari pelanggan yang mempunyai baki hutang kad kredit di antara RM1800 dan RM3000.

(b) Didapati bahawa 25% pelanggan mempunyai jumlah baki hutang kad kredit kurang daripada RM y.
Cari nilai y.

Penyelesaian:
(a)(i)

\begin{array}{l} μ = 2870, x = 3770 \\ P (X > 3770) = 15.87 % \\ P (Z > \frac{3770 - 2870}{σ}) = 0.1587 \\ P (Z > 1.0) = 0.1587 \\ \frac{3770 - 2870}{σ} = 1.0 \\ σ = 900 \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} P (1800 < X < 3000) \\ = P (\frac{1800 - 2870}{900} < Z < \frac{3000 - 2870}{900}) \\ = P (- 1.189 < Z < 0.144) \\ = 1 - P (Z \leq - 1.189) - P (Z \geq 0.144) \\ = 1 - 0.1172 - 0.4427 \\ = 0.4401 \\ Bilangan pelanggan = 0.4401 \times 30 \\ = 14 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} μ = 2870, x = y \\ P (x < y) = 25 % \\ P (Z < \frac{y - 2870}{900}) = 0.25 \\ \frac{y - 2870}{900} = - 0.674 \\ y = 2263.40 \end{array}

8.4.4 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 8 (10 markah):
(a) Jisim bagi buah tembikai susu yang dihasilkan di sebuah ladang bertaburan secara normal dengan min 0.8 kg dan sisihan piawai 0.25 kg. Buah tempikai susu itu dikelaskan kepada tiga gred A, B dan C mengikut jisimnya:

Gred A > Gred B > Gred C

(i) Jisim minimum bagi sebiji tembikai susu gred A ialah 1.2 kg.
Jika sebiji tembikai susu diambil secara rawak dari ladang itu, cari kebarangkalian bahawa buah tembikai susu itu adalah gred A.

(ii) Cari jisim minimum, dalam kg, buah tembikai susu gred B jika 20% daripada buah-buah tembikai susu itu adalah gred C.

(b) Dalam permainan Menembak Itik di taman hiburan, kebarangkalian untuk menang ialah 25%.
Jacky telah membeli tiket untuk bermain permainan itu sebanyak n kali. Kebarangkalian untuk Jacky menang sekali dalam permainan itu adalah 10 kali ganda kebarangkalian kalah dalam semua permainan.

(i) Cari nilai n.

(ii) Hitung sisihan piawai bagi bilangan kemenangan.

Penyelesaian:
μ = 0.8 kg, σ = 0.25 kg

(a)(i)

\begin{array}{l} P (gred A) = P (X > 1.2) \\ = P (Z > \frac{1.2 - 0.8}{0.25}) \\ = P (Z > 1.6) \\ = 0.0548 \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} P (gred C) = 0.2 \\ P (X < m) = 0.2 \\ P (Z < \frac{m - 0.8}{0.25}) = 0.2 \\ P (Z < - 0.842) = 0.2 \\ \frac{m - 0.8}{0.25} = - 0.842 \\ m - 0.8 = - 0.2105 \\ m = 0.5895 \\ Jisim minimum buah tembikai susu \\ gred B adalah sama dengan jisim \\ maximum buah tembikai susu gred C . \\ Jisim minimum gred B = 0.5895 kg \end{array}

(b)

\begin{array}{l} p = 0.25, X = B (n, 0.25) \\ P (X = r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n - r} \\ = {}^{n}C_{r} {(0.25)}^{r} {(0.75)}^{n - r} \end{array}

(b)(i)

\begin{array}{l} P (X = 1) = 10 P (X = 0) \\ {}^{n}C_{r} {(0.25)}^{1} {(0.75)}^{n - r} = 10 \times {}^{n}C_{0} {(0.25)}^{0} {(0.75)}^{n} \\ {}^{n}C_{1} {(0.25)}^{1} {(0.75)}^{n - 1} = 10 \times 1 \times 1 \times {(0.75)}^{n} \\ n \times 0.25 \times {(0.75)}^{n - 1} = 10 \times {(0.75)}^{n} \\ 0.25 n \times \frac{{(0.75)}^{n - 1}}{{0.75}^{n}} = 10 \\ 0.25 n \times {0.75}^{- 1} = 10 \\ \frac{1}{4} n {(\frac{3}{4})}^{- 1} = 10 \\ \frac{1}{4} n (\frac{4}{3}) = 10 \\ \frac{1}{3} n = 10 \\ n = 30 \end{array}

(b)(ii)

\begin{array}{l} n = 30, p = 0.25, q = 0.75 \\ Sisihan piawai \\ = \sqrt{n p q} \\ = \sqrt{30 \times 0.25 \times 0.75} \\ = 2.372 \end{array}

5.8.4 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 5:

(a) Buktikan

\frac{2 \tan x}{2 - {sek}^{2} x} = \tan 2 x .

(b) (i) Lakar graf y = – tan 2x untuk 0 ≤ x ≤ π.
(b) (ii) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan

\frac{3 x}{π} + \frac{2 \tan x}{2 - {sek}^{2} x} = 0

untuk 0 ≤ x ≤ π.
Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} \frac{2 \tan x}{2 - {sek}^{2} x} = \tan 2 x \\ Sebelah kiri: \\ \frac{2 \tan x}{2 - {sek}^{2} x} = \frac{2 \tan x}{2 - (1 + \tan^{2} x)} \\ = \frac{2 \tan x}{2 - \tan^{2} x} \\ = \tan 2 x (Sebelah kanan) \end{array}

(b)(i)

(b)(ii)

\begin{array}{l} \frac{3 x}{π} + \frac{2 \tan x}{2 - {sek}^{2} x} = 0 \\ \frac{3 x}{π} + \tan 2 x = 0 \leftarrow dari (a) \\ - \tan 2 x = \frac{3 x}{π} \\ y = \frac{3 x}{π} \\ Graf yang sesuai dilakar ialah y = \frac{3 x}{π} . \end{array}

Apabila x = 0, y = 0

Apabila x = π, y = 3

Bilangan penyelesaian = 3

5.8.3 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 4 (10 markah):
(a) Buktikan bahawa 2 tan x kos² x = sin 2x.
(b) Seterusnya, selesaikan persamaan 4 tan x kos² x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(c)(i) Lakar graf y = sin 2x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(c)(ii) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 4π tan x kos² x = x – 2π untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
Nyatakan bilangan penyelesaian.

Penyelesaian:
(a)