Home › SPM Matematik Tambahan › Archive for Fungsi Kuadratik

Fungsi Kuadratik

3.6.5 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on by

Soalan 10 (3 markah):
Rajah menunjukkan graf y = a (x – p)2 + q, dengan keadaan a, p dan q ialah pemalar. Garis lurus y = –8 ialah tangen kepada lengkung pada titik H.

Rajah

(a) Nyatakan koordinat H.
(b) Cari nilai a.

Penyelesaian:
(a)
Koordinat x bagi H = −1+7 2 = 6 2 =3 Maka, koordinate bagi H=( 3,−8 ).

(b)
y=a ( x−p ) 2 +q y=a ( x−3 ) 2 +( −8 ) y=a ( x−3 ) 2 −8 ......... ( 1 ) Gantikan ( 7,0 ) ke dalam ( 1 ): 0=a ( 7−3 ) 2 −8 0=16a−8 16a=8 a= 1 2



Soalan 11 (3 markah):
Faizal mempunyai sekeping papan lapis berbentuk segi empat tepat yang berukuran 3x meter panjang dan 2x meter lebar. dia memotong sebahagian daripada papan lapis itu kepada bentuk segi empat sama yang bersisi x meter untuk membuat permukaan meja.
Cari julat nilai x jika luas papan lapis yang tinggal adalah sekurang-kurangnya (x2 + 4) meter2.

Penyelesaian:


Luas papan berlapis – luas segi empat sama ≥ (x2 + 4)
3x(2x) – x2 ≥ x2 + 4
6x2 – x2 – x2 ≥ 4
4x2 ≥ 4
x2 – 1 ≥ 0
(x + 1)(x – 1) ≥ 0
x ≤ –1 or x ≥ 1
Maka, x ≥ 1 (panjang > 0)




3.7.4 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on by

Soalan 6:


Rajah di atas menunjukkan graf lengkung y = x2 + x – kx + 5 dan y = 2(x – 3) – 4h yang bersilang pada dua titik pada paksi-x. Cari
(a) nilai k dan nilai h,
(b) nilai minimum bagi kedua-dua lengkung itu.


Penyelesaian:
(a)
y= x 2 +x−kx+5 = x 2 +( 1−k )x+5 = [ x+ ( 1−k ) 2 ] 2 − ( 1−k 2 ) 2 +5 paksi simetri bagi graf ini ialah x=− ( 1−k ) 2

y=2 ( x−3 ) 2 −4h paksi simetri bagi graf ini ialah x=3. Maka, − 1−k 2 =3             −1+k=6                      k=7

Gantikan k=7 ke dalam persamaan y= x 2 +x−7x+5   = x 2 −6x+5 Pada paksi−x,y=0; x 2 −6x+5=0 ( x−1 )( x−5 )=0 x=1,5

Pada titik ( 1,0 ) Gantikan x=1,y=0 ke dalam graf: y=2 ( x−3 ) 2 −4h 0=2 ( 1−3 ) 2 −4h 4h=2( 4 ) 4h=8 h=2

(b)
Lengkung y= x 2 −6x+5 = ( x−3 ) 2 −9+5 = ( x−3 ) 2 −4 Maka, nilai minimumnya=−4. Bagi lengkung y=2 ( x−3 ) 2 −8, nilai minimum=−8.

3.7.3 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on by

Soalan 5:
Diberi fungsi kuadratik f(x) = 2x2 – px + p mempunyai nilai minimum –18 pada nilai x = 1.
  1. Cari nilai p dan nilai q.
  2. Dengan nilai p dan nilai q yang diperoleh, cari nilai-nilai x di mana graf f(x), memotong paksi-x.
  3. Seterusnya, lakarkan graf bagi f(x).

Penyelesaian:
(a)
f( x )=2 x 2 −px+q =2[ x 2 − p 2 x+ q 2 ] =2[ ( x+ −p 4 ) 2 − ( −p 4 ) 2 + q 2 ] =2[ ( x− p 4 ) 2 − p 2 16 + q 2 ] =2 ( x− p 4 ) 2 − p 2 2 +q

Maka, p 4 =1−−−−−−( 1 ) dan − p 2 8 +q=−18−−−( 2 ) Dari( 1 ),p=4. Ganti p=4 ke dalam ( 2 ): − ( 4 ) 2 8 +q=−18   − 16 8 +q=−18              q=−18+2                =−16


(b)
f( x )=2 x 2 −4x−16 Memotong paksi-x,f( x )=0. 2 x 2 −4x−16=0 x 2 −2x−8=0 ( x−4 )( x+2 )=0 x=4,−2 Graf f( x ) memotong paksi-x di x=−2 dan x=4.

(c)


3.6.4 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on by

Soalan 7:
Cari julat nilai k jika persamaan kuadratik 3(x2 – kx – 1) = k – k2 mempunyai dua punca nyata yang berbeza.

Penyelesaian:
3( x 2 −kx−1 )=k− k 2 3 x 2 −3kx−3−k+ k 2 =0 3 x 2 −3kx+ k 2 −k−3=0 a=3,b=−3k,c= k 2 −k−3 Dua punca nyata berbeza. b 2 −4ac>0 ( −3k ) 2 −4( 3 )( k 2 −k−3 )>0 9 k 2 −12 k 2 +12k+36>0 −3 k 2 +12k+36>0 − k 2 +4k+12>0 k 2 −4k−12<0 ( k+2 )( k−6 )<0 k=−2,6



Julat nilai k ialah −2<k<6.



Soalan 8 (4 markah):
Fungsi kuadratik f ditakrifkan oleh f(x) = x2 + 4x + h, dengan keadaan h ialah pemalar.
(a) Ungkapkan f(x) dalam bentuk (x + m)2 + n, dengan keadaan m dan n ialah pemalar.

(b) Diberi nilai minimum bagi f(x) ialah 8, cari nilai h.

Penyelesaian:
(a)
f(x) = x2 + 4x + h
   = x2 + 4x + (2)2 – (2)2 + h
   = (x + 2)2 – 4 + h

(b)
Diberi nilai minimum bagi f(x) = 8
– 4 + h = 8
h = 12



Soalan 9 (3 markah):
Cari julat nilai x dengan keadaan fungsi kuadratik f(x) = 6 + 5x – x2 ialah negatif.

Penyelesaian:
(a)
f(x) < 0
6 + 5x – x2 < 0
(6 – x)(x + 1) < 0
x < –1, x > 6



3.6.2 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on by

Soalan 5:
Diberi persamaan kuadratik hx2 – (h + 2)x – (h – 4) = 0 mempunyai punca-punca yang nyata dan berbeza. Cari julat nilai h.

Penyelesaian:
Persamaan kuadratik h x 2 −( h+2 )x−( h−4 )=0 mempunyai punca-punca yang nyata dan berbeza. Maka,  b 2 −4ac>0 ( −h−2 ) 2 −4( h )( −h+4 )>0 h 2 +4h+4+4 h 2 −16h>0 5 h 2 −12h+4>0 ( 5h−2 )( h−2 )>0 Pekali  h 2  positif, graf melengkung ke bawah ( 5h−2 )( h−2 )=0 h= 2 5 ,2



Julat nilai h bagi ( 5h−2 )( h−2 )>0 ialah  h< 2 5  atau h>2.




Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan graf fungsi kuadratik f(x) = (x + 3)2 + 2h – 6, dengan keadaan h ialah pemalar.



(a) Nyatakan persamaan paksi simetri bagi lengkung itu.
(b) Diberi nilai minimum bagi fungsi itu ialah 4, cari nilai h.

Penyelesaian:
(a)
Apabila x + 3 = 0
x = –3
Maka, persamaan paksi simetri bagi lengkung itu ialah x = –3.

(b)
Apabila x + 3 = 0, f(x) = 2h – 6
Nilai minimum bagi f(x) ialah 2h – 6.
Maka, 2h – 6 = 4
2h = 10
h = 5

3.6.1 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on by

Soalan 3:
Garis lurus y = 5x – 1 tidak bersilang dengan lengkung y = 2x2 + x + h. Carikan julat nilai h.

Penyelesaian:
y=5x−1         ...... (1) y=2 x 2 +x+h ...... (2) Gantikan (1) ke dalam (2), 5x−1=2 x 2 +x+h 2 x 2 +x+h−5x+1=0 2 x 2 −4x+h+1=0                   b 2 −4ac<0 ( −4 ) 2 −4( 2 )( h+1 )<0              16−8h−8<0                             8<8h                             h>1


Soalan 4:
Cari nilai maksimum bagi fungsi 5 – x – 2x2 , dan nilai x apabila ini berlaku.

Penyelesaian:
5−x−2 x 2 =−2 x 2 −x+5 =−2[ x 2 + 1 2 x− 5 2 ] =−2[ x 2 + 1 2 x+ ( 1 4 ) 2 − ( 1 4 ) 2 − 5 2 ] =−2[ ( x+ 1 4 ) 2 − 1 16 − 5 2 ] =−2[ ( x+ 1 4 ) 2 − 41 16 ] =−2 ( x+ 1 4 ) 2 +5 1 8

Nilai 5−x−2 x 2  adalah maksimum apabila 2 ( x+ 1 4 ) 2 =0   x=− 1 4 Nilai maksimum bagi 5−x−2 x 2  ialah 5 1 8 .


Bab 3 Fungsi Kuadratik

Posted on by
3.7 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 3:
  
Rajah di atas menunjukkan graf fungsi kuadratik y = f(x). Garis lurus y = –4 ialah tangen kepada lengkung y = f(x).
(a)    Tulis persamaan paksi simetri untuk fungsi f(x).
(b)   Ungkapakan f(x) dalam bentuk (x + p)2 + q , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
(c)    Cari julat nilai xsupaya
(i)     f(x) < 0,            (ii) f(x) ≥ 0.

Penyelesaian:
(a)
Koordinat-x titik minimum = titik tengah bagi (–2, 0) dan (6, 0)
= −2+6 2 =2 
Maka, persamaan paksi simetri untuk fungsi f(x) ialah x = 2.

(b)
Gantikan x = 2 dalam x + p = 0,
2 + p = 0
p = –2
dan q = –4 (nilai f(x) yang paling kecil)
Maka, f(x) = (x + p)2 + q
f(x) = (x – 2)2 – 4

(c)(i) Daripada graf, bagi f(x) < 0, julat nilai x ialah –2 < x < 6 ← (bahagian graf di bawah paksi-x).

(c)(ii) Daripada graf, bagi f(x) ≥ 0, julat nilai x ialah x ≤ –2 atau x ≥ 6 ← (bahagian graf di atas paksi-x).



Soalan 4:
  1. Cari julat nilai k supaya persamaan x2 – kx + 3k – 5 = 0 tidak mempunyai punca.
  2. Buktikan bahawa punca-punca persamaan kuadratik hx2 – (h + 3)x + 1 = 0 adalah nyata dan berbeza untuk semua nilai h.

Penyelesaian:
(a)
x 2 −kx+( 3k−5 )=0 Jika persamaan di atas tidak mempunyai punca, maka  b 2 −4ac<0. k 2 −4( 3k−5 )<0 k 2 −12k+20<0 ( k−2 )( k−10 )<0

Graf fungsi y = (k – 2)(k – 10) memotong paksi ufuk di k = 2 dan k = 10.
Graf melekung ke bawah untuk b2 – 4ac < 0.


Julat nilai k yang memuaskan ketaksamaan di atas ialah 2 < k < 10.

(b)
h x 2 −( h+3 )x+1=0 b 2 −4ac= ( h+3 ) 2 −4( h )( 1 ) = h 2 +6h+9−4h = h 2 +2h+9 = ( h+ 2 2 ) 2 − ( 2 2 ) 2 +9 = ( h+1 ) 2 −1+9 = ( h+1 ) 2 +8

Nilai minimum bagi (h + 1) + 8 ialah 8, satu nilai positif. Oleh itu, b2 – 4ac > 0 untuk semua nilai h.
Maka, punca-punca persamaan kuadratik hx2 – (h + 3)x + 1 = 0 adalah nyata dan berbeza untuk semua nilai h.

Bab 3 Fungsi Kuadratik

Posted on by
3.7 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 1:
Tanpa menggunakan kaedah pembezaan atau melukis graf, cari nilai maksimum atau nilai minimum bagi fungsi y = 2 + 4x – 3x2. Seterusnya, cari persamaan paksi simetri bagi graf fungsi itu.

Penyelesaian:
Menyempurnakan kuasa dua bagi fungsi y dalam bentuk y = a(x+ p)2 + q untuk mencari nilai maksimum  atau nilai minimum bagi fungsi y.

y = 2 + 4x – 3x2
y = – 3x2 + 4x + 2 ← (Tulis dalam bentuk am)
y=−3[ x 2 − 4 3 x− 2 3 ] y=−3[ x 2 − 4 3 x+ ( − 4 3 × 1 2 ) 2 − ( − 4 3 × 1 2 ) 2 − 2 3 ] y=−3[ ( x− 2 3 ) 2 − ( − 2 3 ) 2 − 2 3 ]  

y=−3[ ( x− 2 3 ) 2 − 4 9 − 6 9 ] y=−3[ ( x− 2 3 ) 2 − 10 9 ] y=−3 ( x− 2 3 ) 2 + 10 3 ← Bentuk a (x+p) 2 +q

Didapati a = –3 < 0,
maka fungsi y mempunyai nilai maksimum 10 3 . 
x− 2 3 =0 x= 2 3
Persamaan paksi simetri bagi graf fungsi itu ialah x= 2 3 .  




Soalan 2:
Fungsi kuadratik f(x) = x2 – 4px + 5p2 + 1 mempunyai nilai minimum m2 + 2p, dengan keadaan m dan p adalah pemalar.
(a) Dengan menggunakan kaedah menyempurnakan kuasa dua, tunjukkan bahawa m = p – 1.
(b) Seterusnya, atau dengan cara lain, carikan nilai p dan nilai m jika graf bagi fungsi itu bersimetri pada x = m2 – 1.

Penyelesaian:
(a)
f( x )= x 2 −4px+5 p 2 +1 = x 2 −4px+ ( −4p 2 ) 2 − ( −4p 2 ) 2 +5 p 2 +1 = ( x−2p ) 2 + p 2 +1 Nilai minimum, m 2 +2p= p 2 +1 m 2 = p 2 −2p+1 m 2 = ( p−1 ) 2 m=p−1

(b)
x= m 2 −1 2p= m 2 −1 p= m 2 −1 2 Diberi m=p−1⇒p=m+1 m+1= m 2 −1 2 2m+2= m 2 −1 m 2 −2m−3=0 ( m−3 )( m+1 )=0 m=3 atau −1 Apabila m=3, p= 3 2 −1 2 =4

Bab 3 Fungsi Kuadratik

Posted on by
3.2 Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Fungsi Kuadratik

Titik Maksimum dan Titik Minimum

1.      Suatu fungsi kuadratik  f ( x ) = ax 2 + bx + c  boleh diungkapkan dalam bentuk f ( x ) = a ( x + p ) 2   + q  dengan cara menyempurnakan kuasa dua.
2.      Titik maksimum atau titik minimum boleh ditentukan daripada persamaan f (x ) = a (x + p )2 + q  .

(A) Titik Minimum
1. Fungsi kuadratik f (x ) mempunyai nilai minimum jika a ialah positif . 
2. Fungsi kuadratik f (x ) mempunyai nilai minimum apabila (x + p) = 0.
3. Nilai minimum ialah q.
4. Titik minimum ialah (–p, q).

(B) Titik Maksimum
1. Fungsi kuadratik f (x ) mempunyai nilai maksimum jika a ialah negatif .
2. Fungsi kuadratik f (x ) mempunyai nilai maksimum apabila (x + p) = 0.
3. Nilai maksimum ialah q.
4. Titik maksimum ialah (–p, q).


Contoh:
Cari titik maksimum atau titik minimum bagi setiap persamaan kuadratik yang berikut.
(a) f (x ) = (x – 3)2 + 7
(b) f (x ) = – 5 – 3(x + 15)2

Penyelesaian:
(a) f (x ) = (x – 3)2 + 7
a = 1, p = – 3, q = 7

a > 0, fungsi kuadratik mempunyai titik minimum.
Titik minimum = (–p, q) = (3, 7)

(b) f (x ) = – 5 – 3(x + 15)2
a = – 3 , p = 15, q = – 5

a < 0, fungsi kuadratik mempunyai titik maksimum.
Titik maksimum = (– p, q) = ( –15 , – 5 )

Bab 3 Fungsi Kuadratik

Posted on by
3.4 Ketaksamaan Kuadratik (Bahagian 1)

(A) Menyelesaikan Ketaksamaan Kuadratik
1.      Penyelesaian bagi suatu ketaksamaan kuadratik adalah nilai-nilai julat yang memuaskan ketaksamaan itu.
2.      Terdapat dua acara untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik.
(a) Kaedah graf
(b) Kaedah garis nombor

(B)(i) Langkah-langkah untuk menyelesaikan suatu ketaksamaan kuadratik (Kaedah graf)

Langkah 1 : Tulis semula ketaksamaan kuadratik dengan sifar di satu belah dan pastikan a > 0.
Langkah 2 : Selesaikan persamaan y = 0 untuk mencari titik persilangan graf dengan paksi-x.
Langkah 3 : Lakarkan graf dan lorekkan kawasan itu untuk mencari julat nilai x.


Contoh 1:
Cari julat nilai x bagi setiap ketaksamaan kuadratik yang berikut:
(a) x 2 – 4x + 3 < 0
(b) 12 + 10x –2x2 < 0

Penyelesaian: