Soalan 9 (4 markah):
Diberi bahawa p, 2 dan q ialah tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri.
Ungkapkan dalam sebutan q
(a) sebutan pertama dan nisbah sepunya janjang itu.
(b) hasil tambah sebutan hingga ketakterhinggaan janjang itu.

Penyelesaian:
(a)
$\begin{array}{l}{T}_1=p,T_2=2,T_3=q\\ \frac{T_2}{T_1}=\frac{T_3}{T_2}\\ \frac{2}{p}=\frac{q}{2}\\ p=\frac{4}{q}\\ Sebutanpertama,T_1=p=\frac{4}{q}\\ \text{Nisbah sepunya}=\frac{q}{2}\end{array}$

(b)
$\begin{array}{l}a=\frac{4}{q},r=\frac{q}{2}\\ S_{\infty }=\frac{a}{1-r}\\ =\frac{\frac{4}{q}}{1-\frac{q}{2}}\\ =\frac{4}{q}÷\left[1-\frac{q}{2}\right]\\ =\frac{4}{q}÷\left[\frac{2-q}{2}\right]\\ =\frac{4}{q}\times \frac{2}{2-q}\\ =\frac{8}{2q-q^2}\end{array}$

Soalan 10 (3 markah):
Seorang murid mempunyai seutas dawai dengan panjang 13.16 m. Murid itu membahagikan dawai itu kepada beberapa bahagian. Setiap bahagian akan membentuk satu segi empat sama. Rajah menunjukkan tiga buah segi empat sama yang pertama yang dibentuk oleh murid itu.


Rajah

Berapa buah segi empat sama yang boleh dibentuk oleh murid itu?

Penyelesaian:
$\begin{array}{l}\text{Perimeter segi empat sama;}\\ T_1=4\left(4\right)=16\text{ cm}\\ T_2=4\left(7\right)=28\text{ cm}\\ T_3=4\left(10\right)=40\text{ cm}\\ \\ \text{Sebutan pertama, }a=16,\\ \text{Beza sepunya, }d\\ =28-16\\ =12\\ \\ \text{Jumlah perimeter, }{S}_n=13.16\text{ m}=1316\text{ cm}\\ \frac{n}{2}\left[2\left(16\right)+\left(n-1\right)12\right]=1316\\ n\left[32+12n-12\right]=2632\\ 12n^2+20n-2632=0\\ 3n^2+5n-658=0\\ \left(n-14\right)\left(3n+47\right)=0\\ n-14=0\\ n=14\\ \text{Atau}\\ 3n+47=0\\ n=-\frac{47}{3}\left(\text{ditolak}\right)\\ \\ 14\text{ buah segi empat sama boleh dibentuk }\\ \text{dengan menggunakan dawai 13}\text{.16 m}\text{.}\end{array}$

Soalan 7 (2 markah):
Diberi bahawa sebutan ke-n bagi suatu janjang geometri ialah $T_n=\frac{3r^{n-1}}{2},r\ne k.$  
Nyatakan
(a) nilai k,
(b) sebutan pertama bagi janjang itu.

Penyelesaian:
(a)
k = 0, k = 1 atau k = -1 (salah satu daripada jawapan ini).

(b)
$\begin{array}{l}{T}_n=\frac{3}{2}{r}^{n-1}\\ T_1=\frac{3}{2}{r}^{1-1}\\ =\frac{3}{2}{r}^0\\ =\frac{3}{2}\left(1\right)\\ =\frac{3}{2}\end{array}$

Soalan 8 (3 markah):
Diberi bahawa hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah $S_n=\frac{n}{2}\left[13-3n\right]$  
Cari sebutan ke-n.

Penyelesaian:
$\begin{array}{l}{S}_n=\frac{n}{2}\left[13-3n\right]\\ S_{n-1}=\frac{n-1}{2}\left[13-3\left(n-1\right)\right]\\ =\frac{1}{2}\left(n-1\right)\left(13-3n+3\right)\\ =\frac{1}{2}\left(n-1\right)\left(16-3n\right)\\ \\ T_n=S_n-S_{n-1}\\ =\frac{n}{2}\left(13-3n\right)-\frac{1}{2}\left(n-1\right)\left(16-3n\right)\\ =\frac{13n}{2}-\frac{3n^2}{2}-\frac{1}{2}\left(16n-3n^2-16+3n\right)\\ =\frac{13n}{2}-\frac{3n^2}{2}-\frac{1}{2}\left(19n-3n^2-16\right)\\ =\frac{13n}{2}-\frac{3n^2}{2}-\frac{19n}{2}+\frac{3n^2}{2}+8\\ =\frac{-6n}{2}+8\\ =8-3n\end{array}$

Soalan 6 (7 markah):
Rajah menunjukkan sebahagian daripada dinding berbentuk segi empat tepat yang dicat dengan warna hijau, H, biru, B dan ungu, U secara berselang seli. 
Tinggi dinding ialah 2 m. Panjang sisi segi empat tepat berwarna yang pertama ialah 5 cm dan panjang sisi bagi setiap segi empat tepat berwarna berikutnya bertambah sebanyak 3 cm.


Diberi bahawa jumlah segi empat tepat berwarna ialah  54.
(a) Cari
(i) panjang sisi, dalam cm, bagi segi empat tepat berwarna yang terakhir,
(ii) jumlah panjang, dalam cm, dinding yang dicat.
(b) Segi empat tepat berwarna yang ke berapa mempunyai keluasan 28000 cm²?
  Seterusnya, nyatakan warna bagi segi empat tepat berkenaan.


Penyelesaian: 
(a)
5, 8, 11, …
a = 5, d = 3

(i)
T₅₄ = 1 + (54 – 1)d
= 5 + 53(3)
= 164 cm

(ii)
$\begin{array}{l}{S}_n=\frac{n}{2}\left(a+l\right)\\ S_{54}=\frac{54}{2}\left(5+164\right)\\ =4563\text{ cm}\end{array}$


(b)
Luas bagi segi empat tepat pertama
= 2 m × 5 cm
= 200 × 5
= 1000 cm

Luas bagi segi empat tepat kedua
= 200 × (5 + 3)
= 1600 cm

Luas bagi segi empat tepat ketiga
= 200 × (5 + 3 + 3)
= 2200 cm

1000, 1600, 2200, …
a = 1000, d = 600
T_n = 28 000
a + (n – 1)d = 28 000
1000 + (n – 1)600 = 28 000
600(n – 1) = 27 000
n – 1 = 45
n = 46

Warna bagi segi empat tepat berkenaan berwarna hijau.

Soalan 5 (6 markah):
Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik, S_n diberi oleh $S_n=\frac{3n\left(n-33\right)}{2}.$  
Cari
(a) hasil tambah 10 sebutan pertama,
(b) sebutan pertama dan beza sepunya,
(c) nilai q, diberi bahawa sebutan ke-q adalah sebutan positif pertama bagi janjang itu.

Penyelesaian:
(a)
$\begin{array}{l}{S}_n=\frac{3n\left(n-33\right)}{2}\\ S_{10}=\frac{3\left(10\right)\left(10-33\right)}{2}\\ S_{10}=-345\end{array}$

(b)
$\begin{array}{l}{S}_n=\frac{3n\left(n-33\right)}{2}\\ S_1=\frac{3\left(1\right)\left(1-33\right)}{2}\\ S_1=-48\\ T_1=S_1=-48\\ \\ \text{Sebutan pertama, }a=T_1=-48\\ T_n=S_n-S_{n-1}\\ T_2=S_2-S_1\\ T_2=\frac{3\left(2\right)\left(2-33\right)}{2}-\left(-48\right)\\ T_2=-45\\ \\ \text{Beza sepunya, }d\\ =T_2-T_1\\ =-45-\left(-48\right)\\ =3\end{array}$

(c)
$\begin{array}{l}\text{Sebutan positif pertama, }{T}_q>0\\ T_q>0\\ a+\left(q-1\right)d>0\\ -48+\left(q-1\right)3>0\\ -48+3q-3>0\\ 3q>51\\ q>17\\ \text{Oleh itu, }q=18.\end{array}$

Soalan 4:
Sebutan ketiga dan keenam suatu janjang geometri masing-masing ialah 24 dan $7\frac{1}{9}$ . Cari
(a) Sebutan pertama dan nisbah sepunya,
(b) Hasil tambah lima sebutan pertama,
(c) Hasil tambah n sebutan pertama dengan n yang cukup besar hingga rⁿ ≈ 0.

Penyelesaian:
(a)
$\begin{array}{l}\text{Diberi }{T}_3=24\\ a{r}^2=24\mathrm{...........}\left(1\right)\\ \text{Diberi }{T}_6=7\frac{1}{9}\\ a{r}^5=\frac{64}{9}\mathrm{...........}\left(2\right)\\ \frac{\left(2\right)}{\left(1\right)}:\frac{a{r}^5}{a{r}^2}=\frac{\frac{64}{9}}{24}\\ r^3=\frac{8}{27}\\ r=\frac{2}{3}\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{Gantikan }r=\frac{2}{3}\text{ ke dalam }\left(1\right)\\ a{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=24\\ a\left(\frac{4}{9}\right)=24\\ a=24\times \frac{9}{4}\\ =54\\ \text{Jadi, sebutan pertama ialah 54 dan}\\ \text{nisbah sepunya ialah }\frac{2}{3}.\end{array}$

(b)
$\begin{array}{l}{S}_5=\frac{54\left[1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^5\right]}{1-\frac{2}{3}}\\ =54\times \frac{211}{243}\times \frac{3}{1}\\ =140\frac{2}{3}\\ \\ \text{Jadi, hasil tambah lima sebutan pertama }\\ \text{ialah }140\frac{2}{3}.\end{array}$

(c)
$\begin{array}{l}\text{Apabila }-1<r<1\text{ dan }n\text{ menjadi }\\ \text{cukup besar sehingga }{r}^n\approx 0,\\ \text{maka }{S}_n=\frac{a}{1-r}\\ =\frac{54}{1-\frac{2}{3}}\\ =162\end{array}$

Jadi, hasil tambah n sebutan pertama dengan n yang cukup besar sehingga rⁿ ≈ 0 ialah 162.

Soalan 3:
Suatu janjang aritmetik mempunyai 16 sebutan. Hasil tambah 16 sebutan itu ialah 188, manakala hasil tambah bagi sebutan-sebutan genap ialah 96. Cari
(a) sebutan pertama dan beza sepunya,
(b) sebutan terakhir.

Penyelesaian:
(a)
Katakan sebutan pertama = a
Beza sepunya = d

$\begin{array}{l}\text{Diberi }{S}_{16}=188\\ \text{Maka, }\frac{16}{2}\left[2a+15d\right]=188\\ 8\left[2a+15d\right]=188\\ 2a+15d=\frac{188}{8}\\ 2a+15d=23.5---\left(1\right)\end{array}$

Diberi hasil tambah sebutan-sebutan genap = 96
$\begin{array}{l}{T}_2+T_4+T_6+\mathrm{.....}+T_{16}=96\\ \left(a+d\right)+\left(a+3d\right)+\left(a+5d\right)+\mathrm{.....}+\left(a+15d\right)=96\\ \frac{8}{2}\left[\left(a+d\right)+\left(a+15d\right)\right]=96\\ 4\left[2a+16d\right]=96\\ 2a+16d=24---\left(2\right)\end{array}$

(2) – (1):
16d – 15d = 24 – 23.5
d = 0.5

Gantikan d = 0.5 ke dalam (2):
2a + 16 (0.5) = 24
2a + 8 = 24
2a = 16
a = 8
Maka, sebutan pertama = 8 dan beza sepunya = 0.5.

(b)
Sebutan terakhir = T₁₆
= 8 + 15 (0.5)
= 8 +7.5
= 15.5

$\begin{array}{l}\end{array}$ $\begin{array}{l}\text{Nisbah sepunya,}r=\frac{T_n}{T_{n-1}}\\ \frac{T_3}{T_2}=\frac{16}{4}=4,\frac{T_2}{T_1}=\frac{4}{1}=4\\ \frac{T_3}{T_2}=\frac{T_2}{T_1}\end{array}$
$\begin{array}{l}\text{Nisbah sepunya,}\\ r=\frac{T_2}{T_1}=\frac{4}{2}=2\\ r=\frac{T_3}{T_2}=\frac{12}{4}=3\\ \frac{T_2}{T_1}\ne \frac{T_3}{T_2}\end{array}$