3.4.10 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)


Soalan 10:
(a) Rajah di bawah menunjukkan titik A dan garis lurus y + x = 5 dilukis pada suatu satah Cartesan.



Penjelmaan T ialah satu translasi (  5 2 )
Penjelmaan R ialah satu pantulan pada garis lurus y + x = 5.
Nyatakan koordinat imej bagi titik A di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) Penjelmaan T,
(ii) Penjelmaan gabungan TR.

(b) Rajah di bawah menunjukkan pentagon JKLMN, PQRST dan PUVWX, dilukis pada suatu satah Cartesan.

(i) PUVWX ialah imej bagi JKLMN di bawah gabungan penjelmaan CB.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) B   
(b) C

(ii) Diberi bahawa pentagon JKLMN mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 80 m2 .
Hitungkan luas, dalam m2 , kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.


Penyelesaian:
(a)

(i) (3, 4) → T → (8, 2)
(ii) (3, 4) → R → (1, 2) → T → (6, 0)


(b)


(b)(i)(a)
B: Putaran ikut arah jam melalui 90o pada pusat (0, 2).

(b)(i)(b)
Factor skala= PU PQ = 6 4 = 3 2 C: Satu pembesaran pada pusat P( 2,0 ) dengan faktor skala  3 2 .


(b)(ii)
Luas PQRST = Luas JKLMN = 80 m2

Luas PUVWX = ( 3 2 ) 2 ×luas PQRST = 9 4 ×80 =180  m 2  Luas rantau berlorek = luas of PUVWXluas PQRST    =18080    =100  m 2

3.4.9 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)


Soalan 9:
Rajah menunjukkan tiga segi tiga RPQ, UST dan RVQ, dilukis pada suatu satah Cartes.

(a) Penjelmaan R ialah satu putaran 90o , ikut arah  jam pada pusat O.
Penjelmaan T ialah satu translasi ( 2 3 )
Nyatakan koordinat imej bagi titik P di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) T2 ,
(ii) TR.

(b)(i) Segi tiga UST ialah imej bagi segi tiga RPQ di bawah gabungan penjelmaan VW.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) W   (b) V

(ii) Diberi bahawa segi tiga RPQ mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 15 m2 .
Hitungkan luas, dalam m2 , kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.

Penyelesaian:
(a)

(a)(i)
(–5, 3) → T → (–3, 6) ) → T → (–1, 9)

(a)(ii)
(–5, 3) → R → (3, 5) → T → (5, 8)

(b)(i)(a)
W: Satu pantulan pada garis lurus URQT.

(b)(i)(b)
Factok skala= US RV = 6 2 =3 V: Satu pembesaran pada pusat ( 4,2 ) dengan faktor skala 3.

(b)(ii)
Luas UST = (faktor skala)2 x Luas objek RPQ
= 32 x luas objek RPQ
= 32 x 15
= 135 m2

Oleh itu,
Luas rantau berlorek
= Luas UST – luas RPQ
= 135 – 15
= 120 m2

3.4.8 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)


Soalan 8 (12 markah):
(a) Rajah 8.1 menunjukkan K (5, 1) dilukis pada suatu satah Cartes.
Rajah  8.1

Penjelmaan T ialah translasi ( 3  4 )
Penjelmaan P ialah pantulan pada garis lurus y = 2.
Nyatakan koordinat imej bagi titik K di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) T2,
(ii) TP.

(b) Rajah 8.2 menunjukkan dua pentagon KLMNP dan QRSTU dilukis pada suatu satah Cartes.

Rajah  10.2

(i)
Pentagon QRSTU  ialah imej bagi pentagon KLMNP di bawah gabungan penjelmaan WV.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) V,
(b) W.

(ii)
Diberi bahawa pentagon QRSTU mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 90 m2.
Hitungkan luas, dalam m2, pentagon KLMNP.

Penyelesaian:
(a)



(i)
TT = K(5, 1) → T1 → K’(2, 5) ) → T2 → K’’(–1, 9)
(ii) TP =  K(5, 1) → P → K’(5, 3) → T → K’’(2, 7)

(b)


(b)(i)(a)

V: Putaran ikut arah jam melalui 90o pada titik K(3, 7).

(b)(i)(b)
W: Satu pembesaran pada pusat titik (1, 6) dengan faktor skala 3.

(b)(ii)
Luas QRSTU = (faktor skala)2 × Luas objek
Luas QRSTU = 32 × Luas KLMNP
90 m2 = 9 × Luas KLMNP
Luas KLMNP = 90/9 = 10 m2


3.4.7 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)


Soalan 7 (12 markah):
(a) Rajah 7.1 menunjukkan titik P (5, 1) dilukis pada suatu satah Cartes.

Rajah 7.1

Penjelmaan T ialah translasi (  4 3 )
Penjelmaan S ialah satu pembesaran pada pusat (–5, 2) dengan factor skala 2.
Nyatakan koordinat imej bagi titik P di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) T2,
(ii) TS.

(b) Rajah  9.2 menunjukkan bentuk geometri KLMNP, KSRQP dan KTUVW dilukis pada suatu satah Cartes.

Rajah  7.2

(i)
KTUVW ialah imej bagi KLMNP di bawah  gabungan penjelmaan YZ.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) Z,
(b) Y.

(ii) Diberi bahawa KSRQP mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 30 m2.
Hitungkan luas, dalam m2, kawasan yang berlorek.

Penyelesaian:
(a)


(i)
TT = P(–3, 3) → T1 → P’(1, 0) ) → T2 → P’’(5, –3)
(ii) TS =  P (–3, 3) → S → P’(–1, 4) → T → P’’(3, 1)

(b)(i)(a)
Z: Pantulan pada garis x = 0.

(b)(i)(b)
Y: Satu pembesaran pada pusat (0, 0) dengan faktor skala 2.

(b)(ii)
Luas KTUVW = (faktor skala)2 × Luas objek
= 22 × 30
= 120 m2

Oleh itu,
Luas kawasan yang berlorek
= Luas KTUVW – luas KSRQP
= 120 – 30
= 90 m2


3.4.6 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)


Soalan 6:
(a) Rajah 6.1 menunjukkan titik A dan titik B ditanda pada suatu satah Cartes.

Rajah 6.1

Penjelmaan R ialah satu putaran 90o, ikut arah jam pada pusat B.

Penjelmaan T ialah satu translasi (  5 2 )

Nyatakan koordinat imej bagi titik A di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) RT,
(ii) R2.

(b)
Rajah 8.2 menunjukkan tiga trapezium ABCD, PQRS dan TUVS, dilukis pada suatu satah Cartes.

Rajah 6.2

(i)
Trapezium PQRS ialah imej bagi trapezium ABCD di bawah gabungan penjelmaan MN.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) N,  
(b) M.

(ii)
Diberi bahawa trapezium ABCD mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 30 m2.
Hitungkan luas, dalam m2, kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.


Penyelesaian:
(a)


(i)
A (–1, 6) → T → (4, 4 ) → R → (3, 1)
(ii) A (–1, 6) → R → (5, 6) → R → (5, 0)

(b)(i)(a)
N: Satu pantulan pada garis lurus y = 4.

(b)(ii)(b)
M: Satu pembesaran pada pusat S (1, 5) dengan faktor skala 2.

(b)(ii)
Luas PQRS = (faktor skala)2 x Luas objek ABCD
 = 22 x 30
 = 120 m2

Oleh itu,
Luas rantau berlorek
= Luas PQRS – luas ABCD
= 120 – 30
= 90 m2



3.4.5 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)


Soalan 5:
(a) Rajah di bawah menunjukkan titik M ditanda pada suatu satah Cartesan.

Penjelmaan T ialah satu translasi ( 2 3 ) dan penjelmaan R ialah satu putaran 90o lawan arah jam pada pusat O.
Nyatakan koordinat imej bagi titik M di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) RT,
(ii) TR,

(b) Rajah di bawah menunjukkan dua heksagon, A, B dan C, dilukis pada grid segi empat sama.


(i) JKLANO ialah imej bagi ABCDEF di bawah gabungan penjelmaan WV.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) V    (b) W
(ii) Diberi bahawa ABCDEF mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 45 m2, hitung luas, dalam m2, kawasan yang diwakili oleh kawasan berlorek.

Penyelesaian:
(a)
 
(b)



(i)(a)
V: Satu pantulan pada garis EC.

(i)(b)
Faktor skala= KL BC = 6 2 =3 W: Satu pembesaran pada pusat J dengan faktor skala 3.

(ii)
Luas JKLANO
= 32 x luas ABCDEF
= 9 x 45
= 405 m2

Luas kawasan berlorek
= luas JKLANO – luas ABCDEF
= 405 – 45
= 360 m2


3.4.4 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)


Soalan 4:
Rajah menunjukkan titik J(1, 2) dan sisi empat ABCD dan sisi empat EFGH, dilukis pada suatu satah Cartes.



(a)
Penjelmaan U ialah satu putaran 90o, ikut arah  jam pada pusat O.
Penjelmaan T ialah satu translasi ( 2 3 )  
Penjelmaan R ialah satu pantulan pada garis x = 3.

Nyatakan koordinat imej bagi titik J di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) RU,
(ii) TR.

(b)
EFGH ialah imej bagi ABCD di bawah gabungan penjelmaan MN.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(i) N,   
(ii) M.

(c)
Diberi bahawa sisi empat ABCD mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 18 m2.
Hitungkan luas, dalam m2, kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.


Penyelesaian:



(a)
(i) J (1, 2) → U → (2, –1 ) → R → (4, –1)
(ii) J (1, 2) → R → (5, 2) → T → (7, 5)

(b)(i)
N: Satu pantulan pada garis lurus x = 6.

(b)(ii)
M: Satu pembesaran pada pusat (8, 7) dengan faktor skala 3.

(c)
Luas EFGH = (faktor skala)2 x Luas objek ABCD
 = 32 x 18
 = 162 m2

Oleh itu,
Luas rantau berlorek
= Luas EFGH – luas ABCD
= 162 – 18
= 144 m2


3.4.3 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)


Soalan 3:
(a) Rajah di bawah menunjukkan dua titik, M dan N, pada suatu satah Cartesan.



Penjelmaan T ialah satu translasi (  3 1 ) dan penjelmaan R ialah satu putaran 90o lawan arah jam pada pusat (0, 2).
(i) Nyatakan koordinat imej bagi titik M di bawah penjelmaan R.
(ii) Nyatakan koordinat imej bagi titik N di bawah penjelmaan berikut:
(a) T2,
(b) TR,

(b) Rajah di bawah menunjukkan tiga pentagon, A, B dan C, dilukis pada suatu satah Cartesan.


(i) C ialah imej bagi A di bawah gabungan penjelmaan WV.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) V    (b) W
(ii) Diberi bahawa A mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 12 m2, hitung luas, dalam m2, kawasan yang diwakili oleh C.



Penyelesaian:
(a)




(b)


(b)(i)(a)
V: Satu pantulan pada garis x  = 8

(b)(i)(b)
W: Satu pembesaran pada pusat (14, 0) dengan faktor skala.

(b)(ii)
Luas B = luas A = 12 m2
Luas C = (faktor skala)2 x Luas objek
 = 22 x luas B
 = 22 x 12
 = 48 m2


Bab 14 Penjelmaan


3.1d Menghuraikan Gabungan Dua Penjelmaan
 
Contoh 1:

 
Dalam rajah di atas, segi tiga KLM, ialah imej bagi segi tiga ABC di bawah gabungan penjelmaan VW. Huraikan selengkapnya penjelmaan W dan penjelmaan V.
 
Penyelesaian:


Segi tiga ABC W→ Segi tiga KB’C’ V → Segi tiga KLM
W = Translasi ( 0 4 )  
= Pembesaran pada pusat (1, 1) dengan faktor skala 3.


Contoh 2:


Dalam rajah di atas, segi tiga CKL, ialah imej bagi segi tiga ABC di bawah gabungan penjelmaan UY. Huraikan selengkapnya penjelmaan Y dan penjelmaan U.


Penyelesaian:

 
Segi tiga ABC Y→ Segi tiga AB’C U→ Segi tiga CKL
Y = Pantulan pada garis lurus y = 6
= Pembesaran pada pusat (12, 6) dengan faktor skala 2.


Contoh 3:

 
Dalam rajah di atas, segi tiga PQR, ialah imej bagi segi tiga ABC di bawah gabungan penjelmaan TW.
Huraikan selengkapnya penjelmaan W dan penjelmaan T.


Penyelesaian:



Segi tiga ABC W→ Segi tiga PBC’ T→ Segi tiga PQR
W = Putaran ikut arah jam melalui 90o pada pusat (5, 5).
= Pembesaran pada pusat (1, 5) dengan faktor skala 2.

Bab 14 Penjelmaan


3.1c Menyatakan Koordinat-koordinat Imej bagi suatu Titik di bawah Gabungan Dua

1.  Koordinat-koordinat bagi imej satu titik, K, di bawah suatu gabungan penjelmaan AB, boleh ditentukan dengan langkah-langkah berikut:
Step 1: Menentukan koordinat-koordinat K’, imej bagi K, di bawah penjelmaan pertama, B.
Step 2: Menentukan koordinat-koordinat K”, imej bagi K’, di bawah penjelmaan kedua, AK” ialah imej bagi K, di bawah gabungan penjelmaan AB.


Contoh:
T, P, R dan E adalah empat penjelmaan yang ditakrifkan seperti berikut:
= pantulan pada paksi-y.
= Putaran 90o ikut arah jam pada asalan.
= Satu pembesaran pada asalan dengan faktor skala 3.

Cari koordinat-koordinat bagi imej titik A (3, –2) di bawah setiap gabungan penjelmaan berikut.
(a) TT  
(b) PT
(c) ET 
(d) ER
(e) EP
 
Penyelesaian:
(a)


A(3, –2) → TA’(–1, 1) → TA”(–5, 4).



(b)

 
A(3, –2) → TA’(–1, 1) → PA”(1, 1).


(c)


A(3, –2) → TA’(–1, 1) → EA”( –3, 3).


(d)


A(3, –2) → RA’(–2, 3) → EA”( –6, –9).



(e)


A(3, –2) → PA’(–3, –2) → EA”( –9, –6).