Bab 12 Janjang

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (4 markah):
Diberi bahawa p, 2 dan q ialah tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri.
Ungkapkan dalam sebutan q
(a) sebutan pertama dan nisbah sepunya janjang itu.
(b) hasil tambah sebutan hingga ketakterhinggaan janjang itu.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} T_{1} = p, T_{2} = 2, T_{3} = q \\ \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{T_{3}}{T_{2}} \\ \frac{2}{p} = \frac{q}{2} \\ p = \frac{4}{q} \\ S e b u t a n p e r t a m a, T_{1} = p = \frac{4}{q} \\ Nisbah sepunya = \frac{q}{2} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} a = \frac{4}{q}, r = \frac{q}{2} \\ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \\ = \frac{\frac{4}{q}}{1 - \frac{q}{2}} \\ = \frac{4}{q} \div [1 - \frac{q}{2}] \\ = \frac{4}{q} \div [\frac{2 - q}{2}] \\ = \frac{4}{q} \times \frac{2}{2 - q} \\ = \frac{8}{2 q - q^{2}} \end{array}$

Soalan 10 (3 markah):
Seorang murid mempunyai seutas dawai dengan panjang 13.16 m. Murid itu membahagikan dawai itu kepada beberapa bahagian. Setiap bahagian akan membentuk satu segi empat sama. Rajah menunjukkan tiga buah segi empat sama yang pertama yang dibentuk oleh murid itu.

Rajah

Berapa buah segi empat sama yang boleh dibentuk oleh murid itu?

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} Perimeter segi empat sama; \\ T_{1} = 4 (4) = 16 cm \\ T_{2} = 4 (7) = 28 cm \\ T_{3} = 4 (10) = 40 cm \\ Sebutan pertama, a = 16, \\ Beza sepunya, d \\ = 28 - 16 \\ = 12 \\ Jumlah perimeter, S_{n} = 13.16 m = 1316 cm \\ \frac{n}{2} [2 (16) + (n - 1) 12] = 1316 \\ n [32 + 12 n - 12] = 2632 \\ 12 n^{2} + 20 n - 2632 = 0 \\ 3 n^{2} + 5 n - 658 = 0 \\ (n - 14) (3 n + 47) = 0 \\ n - 14 = 0 \\ n = 14 \\ Atau \\ 3 n + 47 = 0 \\ n = - \frac{47}{3} (ditolak) \\ 14 buah segi empat sama boleh dibentuk \\ dengan menggunakan dawai 13 .16 m . \end{array}$

Bab 12 Janjang

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 7 (2 markah):
Diberi bahawa sebutan ke-n bagi suatu janjang geometri ialah

$T_{n} = \frac{3 r^{n - 1}}{2}, r \neq k .$
Nyatakan
(a) nilai k,
(b) sebutan pertama bagi janjang itu.

Penyelesaian:
(a)
k = 0, k = 1 atau k = -1 (salah satu daripada jawapan ini).

(b)

$\begin{array}{l} T_{n} = \frac{3}{2} r^{n - 1} \\ T_{1} = \frac{3}{2} r^{1 - 1} \\ = \frac{3}{2} r^{0} \\ = \frac{3}{2} (1) \\ = \frac{3}{2} \end{array}$

Soalan 8 (3 markah):
Diberi bahawa hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah

$S_{n} = \frac{n}{2} [13 - 3 n]$
Cari sebutan ke-n.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n}{2} [13 - 3 n] \\ S_{n - 1} = \frac{n - 1}{2} [13 - 3 (n - 1)] \\ = \frac{1}{2} (n - 1) (13 - 3 n + 3) \\ = \frac{1}{2} (n - 1) (16 - 3 n) \\ T_{n} = S_{n} - S_{n - 1} \\ = \frac{n}{2} (13 - 3 n) - \frac{1}{2} (n - 1) (16 - 3 n) \\ = \frac{13 n}{2} - \frac{3 n^{2}}{2} - \frac{1}{2} (16 n - 3 n^{2} - 16 + 3 n) \\ = \frac{13 n}{2} - \frac{3 n^{2}}{2} - \frac{1}{2} (19 n - 3 n^{2} - 16) \\ = \frac{13 n}{2} - \frac{3 n^{2}}{2} - \frac{19 n}{2} + \frac{3 n^{2}}{2} + 8 \\ = \frac{- 6 n}{2} + 8 \\ = 8 - 3 n \end{array}$

1.4.6 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 6 (7 markah):
Rajah menunjukkan sebahagian daripada dinding berbentuk segi empat tepat yang dicat dengan warna hijau, H, biru, B dan ungu, U secara berselang seli.
Tinggi dinding ialah 2 m. Panjang sisi segi empat tepat berwarna yang pertama ialah 5 cm dan panjang sisi bagi setiap segi empat tepat berwarna berikutnya bertambah sebanyak 3 cm.

Diberi bahawa jumlah segi empat tepat berwarna ialah 54.
(a) Cari
(i) panjang sisi, dalam cm, bagi segi empat tepat berwarna yang terakhir,
(ii) jumlah panjang, dalam cm, dinding yang dicat.
(b) Segi empat tepat berwarna yang ke berapa mempunyai keluasan 28000 cm²?
Seterusnya, nyatakan warna bagi segi empat tepat berkenaan.

Penyelesaian:
(a)
5, 8, 11, …
a = 5, d = 3

(i)
T₅₄ = 1 + (54 – 1)d
= 5 + 53(3)
= 164 cm

(ii)

$\begin{array}{l} S_{n} = \frac{n}{2} (a + l) \\ S_{54} = \frac{54}{2} (5 + 164) \\ = 4563 cm \end{array}$

(b)
Luas bagi segi empat tepat pertama
= 2 m × 5 cm
= 200 × 5
= 1000 cm

Luas bagi segi empat tepat kedua
= 200 × (5 + 3)
= 1600 cm

Luas bagi segi empat tepat ketiga
= 200 × (5 + 3 + 3)
= 2200 cm

1000, 1600, 2200, …
a = 1000, d = 600
T_n = 28 000
a + (n – 1)d = 28 000
1000 + (n – 1)600 = 28 000
600(n – 1) = 27 000
n – 1 = 45
n = 46

Warna bagi segi empat tepat berkenaan berwarna hijau.

1.4.5 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 5 (6 markah):
Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik, S_n diberi oleh

$S_{n} = \frac{3 n (n - 33)}{2} .$
Cari
(a) hasil tambah 10 sebutan pertama,
(b) sebutan pertama dan beza sepunya,
(c) nilai q, diberi bahawa sebutan ke-q adalah sebutan positif pertama bagi janjang itu.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} S_{n} = \frac{3 n (n - 33)}{2} \\ S_{10} = \frac{3 (10) (10 - 33)}{2} \\ S_{10} = - 345 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} S_{n} = \frac{3 n (n - 33)}{2} \\ S_{1} = \frac{3 (1) (1 - 33)}{2} \\ S_{1} = - 48 \\ T_{1} = S_{1} = - 48 \\ Sebutan pertama, a = T_{1} = - 48 \\ T_{n} = S_{n} - S_{n - 1} \\ T_{2} = S_{2} - S_{1} \\ T_{2} = \frac{3 (2) (2 - 33)}{2} - (- 48) \\ T_{2} = - 45 \\ Beza sepunya, d \\ = T_{2} - T_{1} \\ = - 45 - (- 48) \\ = 3 \end{array}$

(c)

$\begin{array}{l} Sebutan positif pertama, T_{q} > 0 \\ T_{q} > 0 \\ a + (q - 1) d > 0 \\ - 48 + (q - 1) 3 > 0 \\ - 48 + 3 q - 3 > 0 \\ 3 q > 51 \\ q > 17 \\ Oleh itu, q = 18. \end{array}$

1.4.4 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 4:
Sebutan ketiga dan keenam suatu janjang geometri masing-masing ialah 24 dan

$7 \frac{1}{9}$ . Cari
(a) Sebutan pertama dan nisbah sepunya,
(b) Hasil tambah lima sebutan pertama,
(c) Hasil tambah n sebutan pertama dengan n yang cukup besar hingga rⁿ ≈ 0.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} Diberi T_{3} = 24 \\ a r^{2} = 24 ........... (1) \\ Diberi T_{6} = 7 \frac{1}{9} \\ a r^{5} = \frac{64}{9} ........... (2) \\ \frac{(2)}{(1)} : \frac{a r^{5}}{a r^{2}} = \frac{\frac{64}{9}}{24} \\ r^{3} = \frac{8}{27} \\ r = \frac{2}{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} Gantikan r = \frac{2}{3} ke dalam (1) \\ a {(\frac{2}{3})}^{2} = 24 \\ a (\frac{4}{9}) = 24 \\ a = 24 \times \frac{9}{4} \\ = 54 \\ Jadi, sebutan pertama ialah 54 dan \\ nisbah sepunya ialah \frac{2}{3} . \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} S_{5} = \frac{54 [1 - {(\frac{2}{3})}^{5}]}{1 - \frac{2}{3}} \\ = 54 \times \frac{211}{243} \times \frac{3}{1} \\ = 140 \frac{2}{3} \\ Jadi, hasil tambah lima sebutan pertama \\ ialah 140 \frac{2}{3} . \end{array}$

(c)

$\begin{array}{l} Apabila - 1 < r < 1 dan n menjadi \\ cukup besar sehingga r^{n} \approx 0, \\ maka S_{n} = \frac{a}{1 - r} \\ = \frac{54}{1 - \frac{2}{3}} \\ = 162 \end{array}$

Jadi, hasil tambah n sebutan pertama dengan n yang cukup besar sehingga rⁿ ≈ 0 ialah 162.

1.4.3 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 3:
Suatu janjang aritmetik mempunyai 16 sebutan. Hasil tambah 16 sebutan itu ialah 188, manakala hasil tambah bagi sebutan-sebutan genap ialah 96. Cari
(a) sebutan pertama dan beza sepunya,
(b) sebutan terakhir.

Penyelesaian:
(a)
Katakan sebutan pertama = a
Beza sepunya = d

$\begin{array}{l} Diberi S_{16} = 188 \\ Maka, \frac{16}{2} [2 a + 15 d] = 188 \\ 8 [2 a + 15 d] = 188 \\ 2 a + 15 d = \frac{188}{8} \\ 2 a + 15 d = 23.5 - - - (1) \end{array}$

Diberi hasil tambah sebutan-sebutan genap = 96

$\begin{array}{l} T_{2} + T_{4} + T_{6} + ..... + T_{16} = 96 \\ (a + d) + (a + 3 d) + (a + 5 d) + ..... + (a + 15 d) = 96 \\ \frac{8}{2} [(a + d) + (a + 15 d)] = 96 \\ 4 [2 a + 16 d] = 96 \\ 2 a + 16 d = 24 - - - (2) \end{array}$

(2) – (1):
16d – 15d = 24 – 23.5
d = 0.5

Gantikan d = 0.5 ke dalam (2):
2a + 16 (0.5) = 24
2a + 8 = 24
2a = 16
a = 8
Maka, sebutan pertama = 8 dan beza sepunya = 0.5.

(b)
Sebutan terakhir = T₁₆
= 8 + 15 (0.5)
= 8 +7.5
= 15.5

Bab 12 Janjang

Posted on September 29, 2016 by user

1.4 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 2:

Satu bulatan, jejari 10 cm dibahagikan kepada 4 sektor dengan keadaan luas sektor-sektor itu adalah dalam janjang geometri. Diberi bahawa luas sector yang paling besar ialah 8 kali luas sektor yang paling kecil. Cari luas sektor yang paling besar itu.

Penyelesaian:

Katakan luas yang terkecil

= ½ (10)²θ ← (Luas sektor = ½ j² θ)

= 50 θ

nisbah sepunya = r

janjang geometri ialah 50 θ, 50 θr, 50 θr², 50 θr³.

diberi bahawa luas sektor yang paling besar ialah 8 kali luas sektor yang paling kecil,

50 θr³= 8 (50 θ)

r³ = 8

r= 2

Jumlah luas semua sektor

= luas bulatan = πj²

= π (10)² = 100π

S₄ = 100π

$\begin{array}{l} \frac{50 θ (r^{4} - 1)}{r - 1} = 100 π \\ \frac{50 θ (2^{4} - 1)}{2 - 1} = 100 π \\ 50 θ (15) = 100 π \\ θ = \frac{2 π}{15} \end{array}$

T₄ = 50 θr³

$T_{4} = 50 (\frac{2 π}{15}) {(2)}^{3}$

T₄ = 167.6 (π = 3.142)

Luas sektor terbesar = 167.6 cm²

Bab 12 Janjang

Posted on September 29, 2016 by user

1.4 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 1:

Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada susunan batu-bata yang sama saiz dalam suatu tapak pembinaan.

Bilangan bata pada garis yang paling bawah ialah 100 ketul. Bagi baris-baris yang berikutnya, bilangan bata adalah 2 ketul kurang daripada baris yang di bawahnya. Tinggi setiap ketul bata itu ialah 7 cm.

Rahman membina sebuah tembok dengan mneyusun bata mengikut susunan itu. Bilangan bata pada garis yang paling atas ialah 4 ketul.

Hitungkan

(a) tinggi, dalam cm, tembok itu.

(b) jumlah harga bata yang digunakan jika harga seketul bata ialah 50 sen.

Penyelesaian:

100, 98, 96, …, 4 adalah satu janjang aritmetik

a= 100 dan d = –2

(a)

T_n= 4

a + (n – 1) d = 4

100 + (n – 1)(–2) = 4

100 – 2n + 2 = 4

2n = 98

n= 49

Maka, tinggi tembok = 49 × 7 = 343 cm

(b)

Jumlah bata yang digunakan

= S₄₉

$= \frac{49}{2} (100 + 4) \leftarrow rumus, S_{n} = \frac{n}{2} (a + l)$

= 2548

Maka, jumlah harga = 2548 × RM0.50

= RM1,274

Bab 12 Janjang

Posted on July 5, 2016 by user

1.2.1 Janjang Geometri

(A) Ciri-ciri Janjang Geometri

Janjang Geometri (J.G.) ialah satu jujukan nombor yang setiap sebutan (kecuali sebutan pertama) diperoleh dengan mendarabkan satu pemalar kepada sebutan sebelumnya. Pemalar ini dikenal sebagai nisbah sepunya, r.

Contoh:

Tentukan sama ada jujukan nombor yang berikut ialah janjang geometri (J.G.) atau bukan janjang geometri.

(a) 1, 4, 16, 64, …..

(b) 10, –5, 2.5, –1.25, …..

(c) 2, 4, 12, 48, …..

[Tip pintar: Bagi suatu janjang geometri, sentiasa darab satu nombor tetap untuk mendapat nombor seterusnya]

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} \end{array}$

$\begin{array}{l} Nisbah sepunya, r = \frac{T_{n}}{T_{n - 1}} \\ \frac{T_{3}}{T_{2}} = \frac{16}{4} = 4, \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{4}{1} = 4 \\ \frac{T_{3}}{T_{2}} = \frac{T_{2}}{T_{1}} \end{array}$

1, 4, 16, 64, …. ialah JG, a = 1, r = 4.

(b)

$\begin{array}{l} Nisbah sepunya, \\ r = \frac{T_{2}}{T_{1}} = - \frac{5}{10} = - \frac{1}{2} \end{array}$

10, –5, 2.5, –1.25, ….., ialah JG, a = 1, r = – ½.

(c)

$\begin{array}{l} Nisbah sepunya, \\ r = \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{4}{2} = 2 \\ r = \frac{T_{3}}{T_{2}} = \frac{12}{4} = 3 \\ \frac{T_{2}}{T_{1}} \neq \frac{T_{3}}{T_{2}} \end{array}$

2, 4, 12, 48, …..Bukan JG.

kerana nisbah antara nombor-nombor yang berturutan tidak sama.

(B) Langkah-langkah untuk membuktikan sama ada jujukan nombor yang diberi ialah satu janjang geometri.

Langkah 1: Senaraikan tiga sebutan yang berturutan. [Contoh: T₁, T₂, T₃.]

Langkah 2: Hitung nilai bagi

$\frac{T_{3}}{T_{2}} dan \frac{T_{2}}{T_{1}} .$

Langkah 3: Jika

$\frac{T_{3}}{T_{2}} = \frac{T_{2}}{T_{1}} = r$ , maka jujukan nombor itu ialah satu janjang geometri.

Langkah 4: Jika

$\frac{T_{3}}{T_{2}} \neq \frac{T_{2}}{T_{1}}$ , maka jujukan nombor itu bukan satu janjang geometri.

Bab 12 Janjang

Posted on July 5, 2016 by user

1.1 Janjang Aritmetik

(A) Ciri-ciri Janjang Aritmetik

1. Jujukan ialah suatu set nombor yang mengikut suatu pola tertentu.Misalnya: 4, 7, 10, 13, … ialah satu jujukan.

2. Setiap nombor dalam suatu jujukan dikenali sebagai sebutan.

3. Janjang aritmetik (J.A.) ialah satu jujukan nombor yang setiap sebutan (kecuali sebutan pertama) diperoleh dengan menambahkan satu pemalar kepada sebutan sebelumnya. Pemalar ini dikenal sebagai beza sepunya, d.

Contoh:

Tentukan sama ada jujukan nombor yang berikut ialan janjang aritmetik (J.A.) atau bukan janjang aritmetik.

(a) –5, –3, –1, 1, …

(b) 10, 7, 4, 1, -2, …

(c) 2, 8, 15, 23, …

(d) 3, 6, 12, 24, …

Tip pintar: Bagi suatu janjang aritmetik, anda sentiasa tambah atau tolak satu nombor tetap.

Penyelesaian:

(B) Langkah-langkah untuk membuktikan sama ada jujukan nombor yang diberi ialah satu janjang aritmetik

Langkah 1: Senaraikan tiga sebutan yang berturutan. [Contoh: T₁ , T₂ , T₃.]

Langkah 2: Hitung nilai bagi T₃ − T₂ dan T₂ − T₁ .

Langkah 3: Jika T₃ − T₂ = T₂ − T₁ = d, maka jujukan nombor itu ialah satu janjang aritmetik.

Contoh:

Buktikan sama ada jujukan nombor yang berikut ialah satu janjang aritmetik (J.A.).

(a) 7, 10, 13, …

(b) –20, –15, –9, …

Penyelesaian:

(a)

7, 10, 13 ← (Langkah 1: Senaraikan T₁ , T₂ , T₃)

T₃– T₂ = 13 – 10 = 3 ← (Langkah 2: Cari T₃– T₂ dan T₂ – T₁)

T₂ – T₁ = 10 – 7 = 3 ← (Langkah 2: Cari T₃– T₂ dan T₂ – T₁)

T₃– T₂ = T₂ – T₁

Maka, 7, 10, 13, … ialah J.A.

(b)

–20, –15, –9

T₃– T₂ = –9 – (–15) = 6

T₂ – T₁ = –15 – (–20) = 5

T₃– T₂ ≠ T₂ – T₁

Maka. –20, –15, –9, … bukan satu J.A.