Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 7 (4 markah):
(a) Diberi bahawa satu dari punca-punca bagi persamaan kuadratik x² + (p +3)x – p² = 0, dengan keadaan p ialah pemalar, adalah negatif kepada yang satu lagi.
Cari nilai bagi hasil darab punca.

(b) Diberi bahawa persamaan kuadratik mx² – 5nx + 4m = 0, dengan keadaan m dan n ialah pemalar, mempunyai dua punca yang sama.
Cari m : n.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l} x^{2} + (p + 3) x - p^{2} = 0 \\ a = 1, b = p + 3, c = - p^{2} \\ Punca 1 = α, Punca 2 = - α \\ HTP = - \frac{b}{a} \\ α + (- α) = - \frac{(p + 3)}{1} \\ - (p + 3) = 0 \\ p + 3 = 0 \\ p = - 3 \\ HDP = \frac{c}{a} \\ = \frac{- p^{2}}{1} \\ = - {(- 3)}^{2} \\ = - 9 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} m x^{2} - 5 n x + 4 m = 0 \\ a = m, b = - 5 n, c = 4 m \\ b^{2} = 4 a c \\ {(- 5 n)}^{2} = 4 (m) (4 m) \\ 25 n^{2} = 16 m^{2} \\ \frac{m^{2}}{n^{2}} = \frac{25}{16} \\ {(\frac{m}{n})}^{2} = {(\frac{5}{4})}^{2} \\ \frac{m}{n} = \frac{5}{4} \\ m : n = 5 : 4 \end{array}$

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 5 (3 markah):
Diberi bahawa lengkung y = (p – 2)x² – x + 7, dengan keadaan p ialah pemalar, bersilang dengan garis lurus y = 3x + 5 pada dua titik.
Cari julat nilai p.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} y = (p - 2) x^{2} - x + 7 ......... (1) \\ y = 3 x + 5 ........................... (2) \\ Gantikan (1) ke dalam (2) : \\ (p - 2) x^{2} - x + 7 = 3 x + 5 \\ (p - 2) x^{2} - 4 x + 2 = 0 \\ a = (p - 2), b = - 4, c = 2 \\ b^{2} - 4 a c > 0 \\ {(- 4)}^{2} - 4 (p - 2) (2) > 0 \\ 16 - 8 p + 16 > 0 \\ - 8 p > - 32 \\ 8 p < 32 \\ p < 4 \end{array}$

Soalan 6 (3 markah):
Diberi bahawa persamaan kuadratik hx² – 3x + k = 0, dengan keadaan h dan k ialah pemalar, mempunyai punca-punca β dan 2β.
Ungkapkan h dalam sebutan k.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} h x^{2} - 3 x + k = 0 \\ a = h, b = - 3, c = k \\ HTP = - \frac{b}{a} = - \frac{(- 3)}{h} = \frac{3}{h} \\ HDP = \frac{c}{a} = \frac{k}{h} \\ Diberi punca-punca = β dan 2 β . \\ HTP = β + 2 β = 3 β; \\ HDP = β (2 β) = 2 β^{2} \\ \frac{3}{h} = 3 β \\ β = \frac{1}{h} .............. (1) \\ \frac{k}{h} = 2 β^{2} ........... (2) \\ Gantikan (1) ke dalam (2) : \\ \frac{k}{h} = 2 {(\frac{1}{h})}^{2} \\ \frac{k}{h} = \frac{2}{h^{2}} \\ \frac{h^{2}}{h} = \frac{2}{k} \\ h = \frac{2}{k} \end{array}$

2.6.5 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 5:
Diberi α dan β adalah punca-punca persamaan kuadratik x (x – 3) = 2k – 4, dengan keadaan k ialah pemalar.

$\begin{array}{l} (a) Cari julat nilai jika α \neq β . \\ (b) Diberi \frac{α}{2} dan \frac{β}{2} adalah punca-punca bagi satu lagi persamaan kuadratik \\ 2 x^{2} + t x - 4 = 0, dengan keadaan t ialah pemalar, cari nilai t dan nilai k . \end{array}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} (a) \\ x (x - 3) = 2 k - 4 \\ x^{2} - 3 x + 4 - 2 k = 0 \\ a = 1, b = - 3, c = 4 - 2 k \\ b^{2} - 4 a c > 0 \\ {(- 3)}^{2} - 4 (1) (4 - 2 k) > 0 \\ 9 - 16 + 8 k > 0 \\ 8 k > 7 \\ k > \frac{7}{8} \end{array}$

$\begin{array}{l} (b) \\ Dari persamaan x^{2} - 3 x + 4 - 2 k = 0, \\ α + β = - \frac{b}{a} \\ = - \frac{- 3}{1} \\ = 3............. (1) \\ α β = \frac{c}{a} \\ = \frac{4 - 2 k}{1} \\ = 4 - 2 k ............. (2) \\ Dari persamaan 2 x^{2} + t x - 4 = 0, \\ \frac{α}{2} + \frac{β}{2} = - \frac{t}{2} \\ α + β = - t ............. (3) \\ \frac{α}{2} \times \frac{β}{2} = - \frac{4}{2} \\ α β = - 8............. (4) \\ Gantikan (1) = (3), \\ 3 = - t \\ t = - 3 \\ Gantikan (2) = (4), \\ 4 - 2 k = - 8 \\ 4 + 8 = 2 k \\ k = 6 \end{array}$

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on October 16, 2016 by user

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:

Diberi 3t dan (t – 7) ialah punca-punca persamaan kuadratik 4x² – 4x + m= 0 dengan m sebagai pemalar.

(a) Cari nilai t dan nilai m.

(b) Seterusnya, bentuk satu persamaan kuadratik dengan punca-punca 4t dan 2t + 6.

Penyelesaian:

(a)

Diberi 3t dan (t – 7) ialah punca-punca persamaan kuadratik 4x² – 4x + m= 0

a = 4, b = – 4, c = m

$\begin{array}{l} Hasil tambah punca = - \frac{b}{a} \\ 3 t + (t - 7) = - \frac{- 4}{4} \end{array}$

3t + t– 7 = 1

4t = 8

t = 2

$\begin{array}{l} Hasil darab punca = \frac{c}{a} \\ 3 t (t - 7) = \frac{m}{4} \end{array}$

4 [3(2) (2 – 7)] = m ← (gantikan t = 2)

4 [3(2) (2 – 7)] = m

4 (–30) = m

m = –120

(b)

t = 2

4t = 4(2) = 8

2t + 6 = 2(2) + 6 = 10

Hasil tambah punca = 8 + 10 = 18

Hasil darab punca = 8(10) = 80

Guna rumus, x²– (hasil tambah punca)x + hasil darab punca = 0

Oleh itu, persamaan kuadratik ialah

x ² – 18x + 80 = 0

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on October 16, 2016 by user

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Jika α dan β ialah punca-punca persamaan kuadratik 3x² + 2x– 5 = 0, bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca yang berikut.

$\begin{array}{l} (a) \frac{2}{α} dan \frac{2}{β} \\ (b) (α + \frac{2}{β}) dan (β + \frac{2}{α}) \end{array}$

Penyelesaian:

3x² + 2x – 5 = 0

a = 3, b = 2, c = –5

Punca adalah α dan β.

$\begin{array}{l} α + β = - \frac{b}{a} = - \frac{2}{3} \\ α β = \frac{c}{a} = \frac{- 5}{3} \end{array}$

(a)

$\begin{array}{l} Punca-punca yang baru ialah \frac{2}{α} dan \frac{2}{β} . \\ Hasil tambah punca-punca baru \\ = \frac{2}{α} + \frac{2}{β} = \frac{2 β + 2 α}{α β} \\ = \frac{2 (α + β)}{α β} = \frac{2 (- \frac{2}{3})}{- \frac{5}{3}} = \frac{4}{5} \end{array}$

$\begin{array}{l} Hasil darab punca-punca \\ = (\frac{2}{α}) (\frac{2}{β}) = \frac{4}{α β} \\ = \frac{4}{- \frac{5}{3}} = - \frac{12}{5} \end{array}$

Guna rumus, x² – (hasil tambah punca)x + hasil darab punca = 0

Persamaan kuadratik yang baru ialah

$x^{2} - (\frac{4}{5}) x + (- \frac{12}{5}) = 0$

5x² – 4x– 12 = 0

(b)

$\begin{array}{l} Punca-punca yang baru ialah (α + \frac{2}{β}) dan (β + \frac{2}{α}) . \\ Hasil tambah punca-punca baru \\ = (α + \frac{2}{β}) + (β + \frac{2}{α}) \end{array}$

$\begin{array}{l} = α + β + (\frac{2}{α} + \frac{2}{β}) = α + β + \frac{2 α + 2 β}{α β} \\ = α + β + \frac{2 (α + β)}{α β} \\ = \frac{4}{5} + \frac{2 (\frac{4}{5})}{- \frac{12}{5}} \\ = \frac{4}{5} - \frac{2}{3} = \frac{2}{15} \end{array}$

$\begin{array}{l} Hasil darab punca-punca \\ = (α + \frac{2}{β}) (β + \frac{2}{α}) \\ = α β + 2 + 2 + \frac{4}{α β} \end{array}$

$\begin{array}{l} = - \frac{12}{5} + 4 + \frac{4}{- \frac{12}{5}} \\ = - \frac{12}{5} + 4 - \frac{5}{3} = - \frac{1}{15} \end{array}$

Persamaan kuadratik yang baru ialah

$x^{2} - (\frac{2}{15}) x + (- \frac{1}{15}) = 0$

15x² – 2x– 1 = 0

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on October 10, 2016 by user

2.3d Pembentukan Persamaan Kuadratik Baru daripada Persamaan Kuadratik yang diberi (Contoh Soalan)

Contoh:

Dineri punca-punca bagi x ² – 3x – 7 = 0 ialah αdan β, cari persamaan yang mempunyai punca-punca α² β dan α β².

Penyelesaian:

Bahagian 1 : Cari HTP dan HDP bagi persamaan kuadratik yang diberi

x ² – 3x – 7 = 0

a = 1, b = –3, c = –7

HTP: α + β→ (α, β ialah punca-punca persamaan kuadratik ax ² + bx + c = 0)

$\begin{array}{l} = - \frac{b}{a} \\ = - (\frac{- 3}{1}) = 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} HDP : α β = \frac{c}{a} \\ = \frac{- 7}{1} = - 7 \end{array}$

Bahagian 2 : Bentukkan persamaan kuadratik baru dengan mencari HTP dan HDP

Persamaan kuadratik baru mempunyai punca-punca α² β dan α β²

HTP = α² β + α β²

= αβ (α + β)

= –7 (3) = –21 → (Daripada bahagian 1, α + β = 3, αβ = –7)

HDP = α² β (α β²)

= α³β³= (α β)³

= (–7)³ = –343

Untuk membentuk persamaan kuadratik baru,

x ² – (HTP)x + HDP = 0

x ² – (–21)x + (–343) = 0

x ² + 21 x –343 = 0

Maka, persamaan yang mempunyai punca-punca α² β dan α β² ialah,

x ² + 21 x –343 = 0

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on October 10, 2016 by user

2.1.2 Punca Persamaan Kuadratik

Punca persamaan kuadratik ialah nilai bagi pembolehubah yang memuaskan persamaan kuadratik itu.

Contoh 1:
Tentukan sama ada 1, 2, dan 3 ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik x² − 5x + 6 = 0.

Penyelesaian:

Apabila x = 1,
x² − 5x + 6 = 0

(1)²− 5(1) + 6 = 0

2 = 0 ← (tidak sama nilai di kedua-dua belah)

x = 1 bukan punca persamaan itu

Apabila x= 2,
x² − 5x + 6 = 0

(2)²− 5(2) + 6 = 0

0 = 0 ← (sama nilai di kedua-dua belah)

x = 2 ialah punca persamaan itu.

Apabila x= 3
x² − 5x + 6 = 0

(3)²− 5(3) + 6 = 0

0 = 0 ← (sama nilai di kedua-dua belah)

x = 3 ialah punca persamaan itu.

Kesimpulan:
1. 2 dan 3 memuaskan persamaan x² − 5x + 6 = 0, maka ia adalah punca-punca bagi persamaan itu.

2. 1 tidak memuaskan persamaan x² − 5x + 6 = 0, maka ia bukan punca-punca bagi persamaan itu.

Contoh 2 (Punca yang memuaskan suatu persamaan):

Peringatan: Punca persamaan kuadratik ialah nilai bagi pembolehubah yang memuaskan persamaan kuadratik itu.
(a) Diberi x= 3 adalah punca bagi persamaan kuadratik x ² + 2x + p = 0, cari nilai p.
(b) Punca-punca bagi persamaan kuadratik 3x ² + hx + k = 0 ialah −2 dan 4. Cari nilai h dan nilai k.

Penyelesaian:

(a)

x ² + 2x + p = 0

3²+ 2(3) + p = 0 → ganti x = 3 (punca persamaan)

p = –15

(b)

3x ² + hx + k = 0

x = − 2 dan 4 ialah punca-punca persamaan,

3 (− 2)²+ h (−2) + k = 0 → ambil x = −2

12 – 2h+ k = 0

2h – k = 12 ------ (1)

3 (4 )²+ h (4) + k = 0 → ambil x = 4

48 + 4h + k = 0

4h + k= –48 ----- (2)

(1) + (2),

6h = –36

h = –6

2 (–6) – k= 12

k = –24

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on September 29, 2016 by user

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 2:

Diberi α dan β ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik (2x + 5)(x + 1) + p = 0 dengan keadaan αβ = 3 dan p ialah pemalar.

Cari nilai p, α dan β.

Penyelesaian:

(2x + 5)(x + 1) + p = 0

2x² + 2x + 5x + 5 + p = 0

2x² + 7x + 5 + p = 0

*Bandingkan dengan, x² – (hasil tambah dua punca)x + hasil darab dua punca = 0

$x^{2} + \frac{7}{2} x + \frac{5 + p}{2} = 0 \leftarrow \begin{array}{l} bahagi kedua-dua \\ belah dengan 2 \end{array}$

Hasil darab dua punca, αβ = 3

$\frac{5 + p}{2} = 3$

5 + p = 6

p = 1

Hasil tambah dua punca =

$- \frac{7}{2}$

$\begin{array}{l} α + β = - \frac{7}{2} \to (1) \\ dan α β = 3 \to (2) \\ daripada (2), β = \frac{3}{α} \to (3) \\ Gantikan (3) ke dalam (1), \\ α + \frac{3}{α} = - \frac{7}{2} \end{array}$

2α²+ 6 = –7α ← (darab kedua-dua belah dengan 2α)

2α²+ 7α + 6 = 0

(2α + 3)(α + 2) = 0

2α + 3 = 0 atau α + 2 = 0

$α = - \frac{3}{2}$ α = –2

$\begin{array}{l} Gantikan α = - \frac{3}{2} dalam (3), \\ β = \frac{3}{- \frac{3}{2}} = 3 (- \frac{2}{3}) = - 2 \end{array}$

Gantikan α = –2 dalam (3),

$\begin{array}{l} β = - \frac{3}{2} \\ Oleh itu, p = 1, dan \\ apabila α = - \frac{3}{2}, β = - 2 dan α = - 2, β = - \frac{3}{2} . \end{array}$

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on September 28, 2016 by user

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

(a) Cari nilai-nilai k supaya persamaan (1 – k) x²– 2(k + 5)x + k + 4 = 0 mempunyai punca yang sama.

Seterusnya, cari punca persamaan itu berdasarkan nilai-nilai k yang diperoleh.

(b) Diberi lengkung y = 5 + 4x – x²mempunyai persamaan tangen dalam bentuk y = px + 9. Hitung nilai-nilai p yang mungkin.

Penyelesaian:

(a)

Bagi punca-punca yang sama,

b²– 4ac = 0

[–2(k + 5)]² – 4(1 – k)( k + 4) = 0

4(k + 5)² – 4(1 – k)( k + 4) = 0

4(k² + 10k + 25) – 4(4 – 3k – k ² ) = 0

4k² + 40k + 100 – 16 + 12k + 4k²= 0

8k² + 52k + 84 = 0

2k² + 13k + 21 = 0

(2k + 7) (k + 3) = 0

$k = - \frac{7}{2}, - 3$

Jika

$k = - \frac{7}{2}$ , persamaan ialah

$\begin{array}{l} (1 + \frac{7}{2}) x^{2} - 2 (- \frac{7}{2} + 5) x - \frac{7}{2} + 4 = 0 \\ \frac{9}{2} x^{2} - 3 x + \frac{1}{2} = 0 \end{array}$

9x² – 6x + 1 = 0

(3x – 1) (3x – 1) = 0

x = ⅓

Jika k = –3, persamaan ialah

(1 + 3)x² – 2(–3 + 5)x – 3 + 4 = 0

4x² – 4x + 1 = 0

(2x – 1) (2x – 1) = 0

x = ½

(b)

y = 5 + 4x – x²----- (1)

y = px + 9 ---------- (2)

(1) = (2), 5 + 4x – x²= px + 9

x ² + px – 4x + 9 – 5 = 0

x ² + (p – 4)x + 4 = 0

Persamaan tangen mempunyai hanya satu titik persilangan, puncanya adalah sama.

b²– 4ac = 0

(p – 4)² – 4(1)(4) = 0

p ² – 8p + 16 – 16 = 0

p ² – 8p = 0

p (p – 8) = 0

Maka, p = 0 dan p = 8.

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on July 1, 2016 by user

2.2b Penyempurnaan Kuasa Dua (Contoh Soalan)

(A) Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan menggunakan cara penyempurnaan kuasa dua.

• pastikan pekali bagi x ialah 1.
• Tulis semula persamaan ax ² + bx + c = 0 dalam bentuk ax ² + bx = –c

• Tambah

${(\frac{pekali bagi x}{2})}^{2}$ pada kedua-dua belah persamaan.

Contoh:

Selesaikan setiap persamaan kuadratik berikut dengan cara penyempurnaan kuasa dua.
(a) 2x ² – 5x – 7 = 0

(b)

$x^{2} + 1 = \frac{10}{3} x$

Penyelesaian: