Nota Ulangkaji SPM Matematik Tingkatan 4 dan Tingkatan 5

Tingkatan 4

Bab 1 Bentuk Piawai

  1. Angka Bererti
    1. Angka Bererti (Bahagian 1)
    2. Angka Bererti (Bahagian 2)
  2. Bentuk Piawai
    1. Bentuk Piawai (Bahagian 1)
    2. Bentuk Piawai (Bahagian 2)
  3. Soalan Model SPM
    1. Soalan Pendek (Kertas 1)

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

  1. Ungkapan Kuadratik
  2. Pemfaktoran Ungkapan Kuadratik
  3. Persamaan Kuadratik
  4. Punca Persamaan Kuadratik
  5. Soalan Model SPM
    1. Soalan Panjang (Kertas 2)


Bab 3 Set

  1. Set
  2. Subset, Set Semesta, dan Set Pelengkap
    1. Subset
    2. Set Semesta
    3. Set Pelengkap
  3. Operasi ke atas Set
    1. Persilangan Set
    2. Kesatuan Set
  4. Soalan Model SPM
    1. Soalan Pendek (Kertas 1)
    2. Soalan Panjang (Kertas 2)


Bab 4 Penaakulan Matematik

  1. Pernyataan
  2. Pengkuantiti 'Semua' dan 'Sebilangan'
  3. Operasi ke atas Pernyataan
  4. Implikasi
  5. Hujah
  6. Deduksi dan Aruhan
  7. Soalan Model SPM
    1. Soalan Panjang (Kertas 2)

Bab 5 Garis Lurus

  1. Kecerunan Garis Lurus
  2. Kecerunan Garis Lurus dalam Sistem Koordinat Cartesan
  3. Pintasan
  4. Persamaan Garis Lurus
  5. Garis Selari
  6. Soalan Model SPM
    1. Soalan Pendek (Kertas 1)
    2. Soalan Panjang (Kertas 2)


Bab 6 Statistik III

  1. Selang Kelas
  2. Mod dan Min bagi Data Terkumpul
  3. Histogram Selang Kelas Sama Saiz
  4. Poligon Kekerapan
  5. Kekerapan Longgokan
  6. Sukatan Serakan
  7. Soalan Model SPM
    1. Soalan Panjang (Kertas 2)


Bab 7 Kebarangkalian I

  1. Ruang Sampel
  2. Peristiwa
  3. Kebarangkalian suatu Peristiwa
  4. Soalan Model SPM
    1. Soalan pendek (Kertas 1)

Bab 8 Bulatan III

  1. Tangen kepada Bulatan
  2. Sudut di antara Tangen dengan Perentas
  3. Tangen Sepunya
  4. Soalan Model SPM
    1. Soalan pendek (Kertas 1)


Bab 9 Trigonometri II

  1. Nilai Sin θ, Kos θ, dan Tan θ (0o ≤ θ ≤ 360o)
    1. Bahagian 1
    2. Bahagian 2
  2. Graf Sinus, Kosinus, dan Tangen
  3. Soalan Model SPM
    1. Soalan Pendek (Kertas 1)


Bab 10 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk

  1. Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk
  2. Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk
  3. Soalan Model SPM
    1. Soalan Pendek (Kertas 1)


Bab 11 Garis dan Satah dalam Tiga Dimensi


  1. Sudut di antara Garis dengan Satah
  2. Sudut di antara Dua Satah

Tingkatan 5

Bab 1 Asas Nombor

  1. Nombor dalam Asas Dua, Asas Lapan, dan Asas Lima
    1. Bahagian 1
    2. Bahagian 2
    3. Bahagian 3
    4. Bahagian 4
  2. Soalan Model SPM
    1. Soalan Pendek (Kertas 1)


Bab 2 Garf Fungsi II

  1. Graf bagi beberapa Fungsi (Bahagian 1)
  2. Graf bagi beberapa Fungsi (Bahagian 2)
  3. Penyelesaian Persamaan dengan Kaedah Graf
  4. Rantau Ketaksamaan dalam Dua Pemboleh Ubah
  5. Soalan Model SPM
    1. Soalan Pendek (Kertas 1)
    2. Soalan Panjang (Kertas 2)


Bab 3 Penjelmaan

  1. Gabungan Dua Penjelmaan
    1. Menentukan Imej suatu Objek bagi Gabungan dua Penjelmaan Isometri
    2. Menentukan Imej suatu Objek bagi Gabungan Penjelmaan yang Melibatkan (a) Dua Pembesaran, (b) Satu Pembesaran dengan Satu daripada Penjelmaan Isometri
    3. Menyatakan Koordinat-koordinat Imej bagi suatu Titik di bawah Gabungan Dua Penjelmaan
    4. Menghuraikan Gabungan Dua Penjelmaan
  2. Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Penjelmaan
  3. Soalan Model SPM
    1. Soalan Panjang (Kertas 2)


Bab 4 Matriks

  1. Matriks
  2. Matriks Sama
  3. Penambahan dan Penolakan
  4. Pendaraban Matriks dengan Nombor
  5. Pendaraban Dua Matriks
  6. Matriks Identiti
  7. Matriks Songsang
  8. Penyelesaian Persamaan Linear Serentak dengan Kaedah Matriks
  9. Soalan Model SPM
    1. Soalan Pendek (Kertas 1)
    2. Soalan Panjang (Kertas 2)


Bab 5 Ubahan

  1. Ubahan Langsung
    1. Ubahan Langsung (Bahagian 1)
    2. Ubahan Langsung (Bahagian 2)
  2. Ubahan Songsang
  3. Ubahan Tercantum
  4. Soalan Model SPM
    1. Soalan Pendek (Kertas 1)


Bab 6 Kecerunan dan Luas di bawah Graf

  1. Kuantiti yang diwakili oleh Kecerunan Graf
    1. Graf Jarak-Masa
    2. Graf Laju-Masa
  2. Kuantiti yang diwakili oleh Luas di Bawah Graf
  3. Soalan Model SPM
    1. Soalan Panjang (Kertas 2)


Bab 7 Kebarangkalian II

  1. Kebarangkalian Suatu Peristiwa
  2. Kebarangkalian Peristiwa Pelengkap
  3. Kebarangkalian Peristiwa Bergabung
    1. Mencari Kebarangkalian Secara Menyenaraikan Kesudahan Peristiwa Bergabung
    2. Mencari Kebarangkalian Peristiwa Bergabung yang Melibatkan (a) A atau B (b) A dan B
  4. Soalan Model SPM
    1. Soalan Pendek (Kertas 1)
    2. Soalan Panjang (Kertas 2)


Bab 8 Bearing

  1. Bearing


Bab 9 Bumi sebagai Sfera

  1. Longitud
  2. Latitud
  3. Kedudukan Tempat
  4. Jarak pada Permukaan Bumi
    1. Jarak di antara dua titik diukur sepanjang bulatan agung
    2. Jarak di antara dua titik pada selarian latitud yang sama
    3. Jarak terpendek di antara dua titik 
  5. Soalan Model SPM
    1. Soalan Pendek (Kertas 1)
    2. Soalan Panjang (Kertas 2)


Bab 10 Pelan dan Dongakan

  1. Unjuran Ortogon
  2. Pelan dan Dongakan
  3. Soalan Model SPM
    1. Soalan Panjang (Kertas 2)


Bab 9 Pembezaan


Bab 9 Pembezaan

9.2.1 Terbitan Pertama untuk Fungsi Polinomial (Contoh)

Contoh:
Cari dy/dbagi setiap fungsi yang berikut:
(a) y = 12
(b) y = x4
(c) y = 3x
(d) y = 5x3
(e) y = 1 x (f) y = 2 x 4 (g) y = 2 5 x 2 (h) y = 3 x (i) y = 4 x 3


Penyelesaian
:
(a) y = 12
 dy/d= 0

(b)
y = x4
 dy/d= 4x3

(c)
y = 3x
 dy/d= 3

(d)
y = 5x3
 dy/d= 15x2

(e)
y = 1 x = x 1 d y d x = x 1 1 = 1 x 2

(f)
y = 2 x 4 = 2 x 4 d y d x = 4 ( 2 x 4 1 ) = 8 x 5 = 8 x 5

(g)
y = 2 5 x 2 = 2 x 2 5 d y d x = 2 ( 2 x 2 1 5 ) = 4 x 3 5 = 4 5 x 3

(h)
y = 3 x = 3 ( x ) 1 2 d y d x = 1 2 ( 3 x 1 2 1 ) = 3 2 x 1 2 = 3 2 x

(i)
y = 4 x 3 = 4 ( x 3 ) 1 2 = 4 x 3 2 d y d x = 3 2 ( 4 x 3 2 1 ) = 6 x 1 2 = 6 x

Bab 9 Pembezaan


9.4.1 Pembezaan Peringkat Kedua, Titik Pusingan: Titik Maksimum dan Titik Minimum (Contoh)

Contoh 1 (Nilai Maksimum suatu fungsi kuadratik)
Diberi bahawa = 3x (4 –  x), hitungkan
(a) nilai x apabila y adalah maksimum,
(b) nilai maksimum y.

Penyelesaian:
y = 3x (4 –  x)
y = 12x – 3x2
dy dx =126x Apabila y ialah maksimum,  dy dx =0  
0 = 12 – 6x
x = 2

y
= 12x – 3x2
apabila x = 2,
y = 12 (2) – 3 (2)2
y = 12


Contoh 2 (Menentukan titik pusingan dan ujian terbitan kedua)
Cari koordinat titik-titik pusingan bagi lengkung y = 2x3 + 3x2 – 12x + 7 dan tentukan jenis titik itu.

Penyelesaian:
y = 2 x 3 + 3 x 2 12 x + 7 d y d x = 6 x 2 + 6 x 12 di titik pusingan, d y d x = 0  
6x2 + 6x – 12 = 0
x2 + x – 2 = 0
(x – 1) (x + 2) = 0
x = 1 atau x = –2

apabila x = 1
y = 2 (1)3 + 3 (1)2 – 12 (11) + 7
y = 0
(1, 0) ialah suatu titik pusingan.

apabila x = –2
y = 2 (–2)3 + 3 (–2)2 – 12 (–2) + 7
y = 27
(-2, 27) ialah suatu titik pusingan.


d 2 y d x 2 =12x+6 Apabila x=1, d 2 y d x 2 =12( 1 )+6=18>0 (positif) Oleh itu, titik pusingan ( 1, 0 ) adalah titik minimum.


Apabila x=2, d 2 y d x 2 =12( 2 )+6=18<0 (negatif) Oleh itu, titik pusingan ( -2, 27 ) adalah titik maksimum.


8.4.5 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 12:
(a) Didapati bahawa 60% murid dari sebuah kelas tertentu mendapat gred A bagi Bahasa Inggeris dalam peperiksaan percubaan O level.
Jika 10 orang murid dari kelas itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa
(i) tepat 7orang murid mendapat gred A.
(ii) tidak lebih daripada 7 orang murid mendapat gred A.

(b) Rajah di bawah menunjukkan satu graf taburan normal piawai yang mewakili isi padu kicap dalam botol yang dihasilkan oleh sebuah kilang.

Diberi bahawa min ialah 950 cm3 dan  variansnya ialah 256 cm6. Jika peratus isi padu yang melebihi V ialah 30.5%, cari
(i) nilai V,
(ii) kebarangkalian bahawa isi padu antara 930 cm3 dan 960 cm3.


Penyelesaian:

(a)(i) P(X=r)= c n r . p r . q nr P(X=7)= C 10 7 ( 0.6 ) 7 ( 0.4 ) 3    =0.0860 ( ii ) P(X7) =1P(X>7) =1P( X=8 )P( X=9 )P( X=10 ) =1 C 10 8 ( 0.6 ) 8 ( 0.4 ) 2 C 10 9 ( 0.6 ) 9 ( 0.4 ) 1 C 10 10 ( 0.6 ) 10 ( 0.4 ) 0 =10.12090.04030.0060 =0.8328

(b)( i ) P( X>V )=30.5% P( Z> V950 16 )=0.305 P( Z>0.51 )=0.305    V950 16 =0.51 V=0.51( 16 )+950    =958.16  cm 3

( ii ) Kebarangkalian =P( 930<X<960 ) =P( 930950 16 <Z< 960950 16 ) =P( 1.25<Z<0.625 ) =1P( Z>1.25 )P( Z>0.625 ) =10.10560.2660 =0.6284

8.4.5 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 11:
(a) 30% daripada pen di dalam sebuah kotak berwarna biru. Charlie memilih 4 batang pen secara rawak. Cari kebarangkalian sekurang-kurangnya satu batang pen yang dipilih tidak berwarna biru.

(b) Jisim betik yang dituai dari sebuah ladang buah-buahan adalah mengikut taburan normal dengan min 2 kg dan sisihan piawai h kg. Diberi bahawa 15.87% daripada betik itu mempunyai jisim lebih daripada 2.5 kg.
(i) Hitung nilai h.
(ii) Diberi bilangan betik yang dituai dari lading buah-buahan itu ialah 1320, cari bilangan betik yang mempunyai jisim antara 1.0 kg hingga 2.5 kg.


Penyelesaian:
(a) P( X1 )=1P( X=0 )               =1 C 4 4 ( 0.3 ) 4 ( 0.7 ) 0               =0.9919

(b) μ=2, σ=h ( i ) P( X>2.5 )=15.87% P( Z> 2.52 h )=0.1587 P( Z>1.0 )=0.1587        2.52 h =1.0                 h=0.5


( ii ) p=P( 1.0<x<2.5 )   =P( 1.02 0.5 <Z< 2.52 0.5 )   =P( 2<Z<1 )   =1P( Z<2 )P( Z>1 )   =1P( Z>2 )P( Z>1 )   =10.02280.1587   =0.8185 Bilangan betik=0.8185×1320    =1080

8.4.5 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 10:
(a) Satu tinjauan dijalankan berkenaan kelab bulan sabit merah di sebuah sekolah.
Didapati bahawa min bilangan ahli kelab bulan sabit merah ialah 315, varians ialah 126 dan kebarangkalian seorang murid menyertai kelab bulan sabit merah ialah p.

(i) Cari nilai p.

(ii) Jika 8 orang murid dari sekolah itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalian lebih daripada 5 orang murid menyertai kelab bulan sabit merah.

(b) Jisim baja yang digunakan di sebuah dusun buah-buahan mempunyai taburan normal dengan min 5 kg dan varians 0.8 kg. Cari kebarangkalian dalam satu hari tertentu, lebih daripada 6 kg baja digunakan.


Penyelesaian:
(a)(i) np=315 np( 1p )=126 315( 1p )=126  1p= 126 315  1p=0.4    p=0.6 ( ii ) n=8,p=0.6 P(X=r)= c n r . p r . q nr P(X=r)= C 8 r ( 0.6 ) r ( 0.4 ) 8 P(X>5) =P( X=6 )+P( X=7 )+P( X=8 ) = C 8 6 ( 0.6 ) 6 ( 0.4 ) 2 + C 8 7 ( 0.6 ) 7 ( 0.4 ) 1 + C 8 8 ( 0.6 ) 8 ( 0.4 ) 0 =0.20902+0.08958+0.01680 =0.3154

(b) P( X>6 )=P( Z> 65 0.8 )    =P( Z>1.12 )    =0.1314

Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.3.2b Melakar Graf Fungsi Trigonometri (Bahagian 2)

Contoh:
Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri yang berikut untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(g) y = –sin x  
(h) y = –kos x
(i) y = | sin x |
(j) y = | kos x |
(k) y = tan 2x


Penyelesaian:
(g) y = –sin x



(h) y = –kos x



(i) y = | sin x |


 

(j) y = | kos x |




 (k) y = tan 2x





Bab 15 Vektor


4.4.1 Pengungkapan Suatu Vektor sebagai Gabungan Linear Vektor yang lain (Contoh)

Contoh:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segiempat selari ABCD. Titik Q terletak pada garis lurus AB dan titik S terletak pada garis lurus DC. Garis lurus AS dipanjangkan ke titik dengan keadaan AS = 2ST.


Diberi bahawa AQ : QB = 3 : 1, DS : SC = 3 : 1, AQ =6 a ˜  dan  AD = b ˜   
(a) Ungkapan dalam sebutan a ˜  dan  b ˜ :
 (i)  AS    (ii)  QC
(b) Seterusnya, tunjukkan titik Q, C dan T adalah segaris.


Penyelesaian:
(a)(i)
AS = AD + DS = AD + AQ AQ:QB= 3:1 dan  DS:SC= 3:1 AQ = DS = b ˜ +6 a ˜ =6 a ˜ + b ˜

(a)(ii)
QC = QB + BC  = 1 3 AQ + AD AQ:QB= 3:1 AQ QB = 3 1 QB= 1 3 AQ bagi segiempat selari,  BC//AD, BC=AD   = 1 3 ( 6 a ˜ )+ b ˜  =2 a ˜ + b ˜

(b)
QT = QA + AT   =  QA + 3 2 AS AS=2ST AT=3ST= 3 2 AS  =6 a ˜ + 3 2 ( 6 a ˜ + b ˜ )   =3 a ˜ + 3 2 b ˜    = 3 2 ( 2 a ˜ + b ˜ )    = 3 2 QC Maka Q, C dan T adalah segaris.


Bab 14 Pengamiran


3.5.1 Pengamiran Sebagai Penghasiltambahan Luas (Contoh)

Contoh 1:
Cari luas rantau berlorek.


Penyelesaian:
Luas rantau berlorek, L
= a b y d x = 0 4 ( 6 x x 2 ) d x = [ 6 x 2 2 x 3 3 ] 0 4 = [ 3 ( 4 ) 2 ( 4 ) 3 3 ] 0 = 26 2 3 unit 2



Contoh 2:
Cari luas rantau berlorek.
 


Penyelesaian:
= x -----(1)
= 8yy2 -----(2)
Gantikan (1) ke dalam (2),
= 8yy2
y2 – 7y = 0
y (y – 7) = 0
= 0 atau 7
Dari (1), = 0 atau 7
Maka, titik persilangan antara lengkung dengan garis lurus ialah (0, 0) dan (7, 7).

Titik persilangan lengkung dengan paksi-y adalah,
= 8yy2
pada y-axis, x = 0
0 = 8yy2
y (y – 8) = 0
y = 0 atau 8

Luas kawasan berlorek = (A1) Luas segitiga + (A2) Luas di bawah lengkung dari y = 7 hingga y = 8.
= 1 2 × tapak × tinggi + 7 8 x d y = 1 2 × ( 7 ) ( 7 ) + 7 8 ( 8 y y 2 ) d y = 49 2 + [ 8 y 2 2 y 3 3 ] 7 8 = 24 1 2 + [ 4 ( 8 ) 2 ( 8 ) 3 3 ] [ 4 ( 7 ) 2 ( 7 ) 3 3 ] = 24 1 2 + 85 1 3 81 2 3 = 28 1 6 unit 2


3.4.10 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)


Soalan 10:
(a) Rajah di bawah menunjukkan titik A dan garis lurus y + x = 5 dilukis pada suatu satah Cartesan.



Penjelmaan T ialah satu translasi (  5 2 )
Penjelmaan R ialah satu pantulan pada garis lurus y + x = 5.
Nyatakan koordinat imej bagi titik A di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) Penjelmaan T,
(ii) Penjelmaan gabungan TR.

(b) Rajah di bawah menunjukkan pentagon JKLMN, PQRST dan PUVWX, dilukis pada suatu satah Cartesan.

(i) PUVWX ialah imej bagi JKLMN di bawah gabungan penjelmaan CB.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) B   
(b) C

(ii) Diberi bahawa pentagon JKLMN mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 80 m2 .
Hitungkan luas, dalam m2 , kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.


Penyelesaian:
(a)

(i) (3, 4) → T → (8, 2)
(ii) (3, 4) → R → (1, 2) → T → (6, 0)


(b)


(b)(i)(a)
B: Putaran ikut arah jam melalui 90o pada pusat (0, 2).

(b)(i)(b)
Factor skala= PU PQ = 6 4 = 3 2 C: Satu pembesaran pada pusat P( 2,0 ) dengan faktor skala  3 2 .


(b)(ii)
Luas PQRST = Luas JKLMN = 80 m2

Luas PUVWX = ( 3 2 ) 2 ×luas PQRST = 9 4 ×80 =180  m 2  Luas rantau berlorek = luas of PUVWXluas PQRST    =18080    =100  m 2

3.4.9 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)


Soalan 9:
Rajah menunjukkan tiga segi tiga RPQ, UST dan RVQ, dilukis pada suatu satah Cartes.

(a) Penjelmaan R ialah satu putaran 90o , ikut arah  jam pada pusat O.
Penjelmaan T ialah satu translasi ( 2 3 )
Nyatakan koordinat imej bagi titik P di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) T2 ,
(ii) TR.

(b)(i) Segi tiga UST ialah imej bagi segi tiga RPQ di bawah gabungan penjelmaan VW.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) W   (b) V

(ii) Diberi bahawa segi tiga RPQ mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 15 m2 .
Hitungkan luas, dalam m2 , kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.

Penyelesaian:
(a)

(a)(i)
(–5, 3) → T → (–3, 6) ) → T → (–1, 9)

(a)(ii)
(–5, 3) → R → (3, 5) → T → (5, 8)

(b)(i)(a)
W: Satu pantulan pada garis lurus URQT.

(b)(i)(b)
Factok skala= US RV = 6 2 =3 V: Satu pembesaran pada pusat ( 4,2 ) dengan faktor skala 3.

(b)(ii)
Luas UST = (faktor skala)2 x Luas objek RPQ
= 32 x luas objek RPQ
= 32 x 15
= 135 m2

Oleh itu,
Luas rantau berlorek
= Luas UST – luas RPQ
= 135 – 15
= 120 m2