Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.3.2b Melakar Graf Fungsi Trigonometri (Bahagian 2)

Contoh:
Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri yang berikut untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(g) y = –sin x  
(h) y = –kos x
(i) y = | sin x |
(j) y = | kos x |
(k) y = tan 2x


Penyelesaian:
(g) y = –sin x



(h) y = –kos x



(i) y = | sin x |


 

(j) y = | kos x |




 (k) y = tan 2x





Bab 16 Fungsi Trigonometri


Soalan 19 (4 markah):
Diberi bahawa kos α = t dengan keadaan t ialah pemalar dan 0o ≤ α ≤ 90o.
Ungkapkan dalam sebutan t
(a) sin (180o + α),
(b) sek 2α.

Penyelesaian:
(a)




sin( 180 o +α ) =sin180kosα+kos180sinα =0sinα =sinα = 1 t 2

(b)
sek2α= 1 kos2α  = 1 2ko s 2 α1  = 1 2 t 2 1


5.8.4 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 5:
(a) Buktikan 2tanx 2 sek 2 x =tan2x.
(b)   (i) Lakar graf y = – tan 2x untuk 0 ≤ x ≤ π.
(b) (ii) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk
mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 3x π + 2tanx 2 sek 2 x =0  untuk 0 ≤ x ≤ π.
Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:
(a)
2 tan x 2 sek 2 x = tan 2 x Sebelah kiri: 2 tan x 2 sek 2 x = 2 tan x 2 ( 1 + tan 2 x ) = 2 tan x 2 tan 2 x = tan 2 x (Sebelah kanan)

(b)(i)



(b)(ii)
3x π + 2tanx 2 sek 2 x =0 3x π +tan2x=0 dari (a) tan2x= 3x π  y= 3x π Graf yang sesuai dilakar ialah y= 3x π .  

Apabila x = 0, y = 0
Apabila x = π, y = 3
Bilangan penyelesaian = 3

5.8.3 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 4 (10 markah):
(a) Buktikan bahawa 2 tan x kos2 x = sin 2x.
(b) Seterusnya, selesaikan persamaan 4 tan x kos2 x = 1 untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(c)(i) Lakar graf y = sin 2x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(c)(ii) Seterusnya, menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 4π tan x kos2 x = x – 2π untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
Nyatakan bilangan penyelesaian.

Penyelesaian: 
(a)

2tanxko s 2 x=sin2x Sebelah kiri =2tanxko s 2 x =2× sinx kosx ×ko s 2 x =2sinxkosx =sin2x = Sebelah kanan ( Terbukti )

(b)
4tanxko s 2 x=1, 0x2π 2( 2tanxko s 2 x )=1 2sin2x=1 sin2x= 1 2 Sudut asas= π 6 2x= π 6 ,( π π 6 ),( 2π+ π 6 ),( 3π π 6 ) 2x= π 6 , 5π 6 , 13π 6 , 17π 6 x= π 12 , 5π 12 , 13π 12 , 17π 12



(c)(i)
y = sin 2x, 0 ≤ x ≤ 2π.




(c)(ii)
4πtanxko s 2 x=x2π 2π( 2tanxko s 2 x )=x2π 2πsin2x=x2π sin2x= x 2π 2π 2π sin2x= x 2π 1 y= x 2π 1


Bilangan penyelesaian = 4

5.8.2 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 3 (10 markah):
( a ) Buktikan sin( 3x+ π 6 )sin( 3x π 6 )=kos3x ( b ) Seterusnya, ( i ) selesaikan persamaan sin( 3x 2 + π 6 )sin( 3x 2 π 6 )= 1 2  untuk 0x2π  dan beri jawapan anda dalam bentuk pencahan termudah dalam sebutan π radian, ( ii ) lakar graf bagi y=sin( 3x+ π 6 )sin( 3x π 6 ) 1 2  untuk 0xπ.

Penyelesaian:
( a ) Sebelah kiri, sin( 3x+ π 6 )sin( 3x π 6 ) =[ sin3xkos π 6 +kos3xsin π 6 ][ sin3xkos π 6 kos3xsin π 6 ] =2[ kos3xsin π 6 ] =2[ kos3x( 1 2 ) ] =kos3x( sebelah kanan )



( b )( i ) sin( 3x 2 + π 6 )sin( 3x 2 π 6 )= 1 2 ,0x2π kos 3x 2 = 1 2 3x 2 = π 3 ,( 2π π 3 ),( 2π+ π 3 ) 3x 2 = π 3 , 5π 3 , 7π 3 x= 2π 9 , 10π 9 , 14π 9


( b )( ii )  y=sin( 3x+ π 6 )sin( 3x π 6 ) 1 2  untuk 0xπ. y=kos3x 1 2




Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.6.4 Menyelesaikan Persamaan Trigonometri (Melibatkan Rumus Penambahan dan Rumus bagi Sudut Berganda)

Contoh 1 (Rumus penambahan):
Selesaikan persamaan yang berikut untuk 0ox ≤ 360o:
(a)    sin ( x – 25o) = 3 sin ( x + 25o)
(b)   3 kos (2x + 10o) = 2  

Penyelesaian:
(a)
sin ( x – 25o) = 3 sin ( x + 25o)  
sin x kos 25o – kos x sin 25o = 3 (sin x kos 25o + kos x sin 25o)
sin x kos 25o – kos x sin 25o = 3 sin x kos 25o + 3 kos x sin 25o
– sin x kos 25o = 4 kos x sin 25o
sinx kosx = 4sin 25 2kos 25  
tan x = – 2 tan 25o
tan x = – 2 (0.4663)
tan x = – 0.9326
Sudut asas x = 43o

Sudut yang dirujuk x = 43o berada di sukuan kedua dan keempat.
Oleh itu, x = 180o – 43o, 360o – 43o
x = 137o , 317o

(b)
3 kos (2x + 10o) = 2   ← (Ambil julat sudut dalam 0ox ≤ 720o, bagi 2 putaran lengkap)
kos ( 2x + 10o) =
Sudut asas ( 2x + 10o) = 48.19o
2x + 10o = 48.19o, 360o – 48.19o , 360o + 48.19o, 720o – 48.19o 
2x + 10o = 48.19o, 311.81o , 408.19o, 671.81o
2x = 38.19o, 301.81o , 398.19o, 661.81o
x = 19.10o, 150.91o , 199.10o, 330.91o


Contoh 2 (Rumus sudut berganda):
Cari semua sudut yang memuaskan 5 kos 2A + 9 sin A = 7, 0° < A < 360°.

Penyelesaian:
5 kos 2A + 9 sin A = 7
5 (1 – 2 sin2A) + 9 sin A = 7  ← (ganti kos 2A = 1 – 2sin2 A, seluruh persamaan sekarang dalam sebutan sin A)
5 – 10 sin2A + 9 sin A – 7 = 0
– 10 sin2A + 9 sin A – 2 = 0
10 sin2A – 9 sin A + 2 = 0
(2 sin A – 1)(5 sin A – 2) = 0
sin A = ½ = 0.5       atau      sin A = 2 5   = 0.4

Apabila sin A = 0.5,         
Sudut asas A = 30º
A = 30º, 180º – 30º
A = 30º, 150º

Apabila sin A = 0.4,         
Sudut asas A = 23.58º
A = 23.58º, 180º – 23.58º
A = 23.58º, 156.42º

Oleh itu A = 23.58º, 30º, 150º, 156.42º.


Contoh 3 (Rumus sudut berganda):
Cari semua sudut θ antara 0 dan 2π rad yang memuaskan persamaan sin 2θ = sin θ

Penyelesaian:
sin 2θ = sin θ
2 sin θ kos θ = sin θ   ←  (sin 2θ = 2 sin θ kos θ)
2 sin θ kosθ – sin θ = 0
sin θ (2 kos θ – 1) = 0   ← (Pemfaktoran)
sin θ = 0       atau      2 kos θ – 1 = 0

Apabila sin θ = 0
θ = 0, π, 2π

Apabila 2 kos θ – 1= 0
kos θ = ½

θ= 1 3 π,  5 3 π Oleh itu, θ=0,  1 3 π, π,  5 3 π, 2π.

Bab 16 Fungsi Trigonometri


5.8.1 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:
(a) Lakar graf y = kos 2x untuk 0ox ≤ 180o.
(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 2  sin 2 x=2 x 180 untuk 0o ≤ x ≤ 180o.
Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:
(a)(b)


(b)
2  sin 2 x=2 x 180 12  sin 2 x=1( 2 x 180 ) kos2x= x 180 1 y= x 180 1

x = 0, y = –1
x = 180, y = 0
Bilangan penyelesaian = 2



Soalan 2:
(a) Lakar graf y= 3 2 kos2x untuk 0x 3 2 π.  
(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu garis lurus yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan 4 3π xkos2x= 3 2  untuk 0x 3 2 π  
Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:
(a)(b)



(b)
4 3π xkos2x= 3 2 kos2x= 4 3π x 3 2 3 2 kos2x= 3 2 ( 4 3π x 3 2 ) y= 2 π x 9 4 Untuk melakar graf y= 2 π x 9 4 x=0, y= 9 4 x= 3π 2 , y= 3 4
Bilangan penyelesaian
= bilangan titik persilangan
= 3

Bab 16 Fungsi Trigonometri


5.2.2 Sudut Khas
 
1. Nilai fungsi trigonometri bagi sudut-sudut khas
(a) Nilai bagi sudut khas 30odan 60o

 
  (a)sin 30 o = 1 2  (b)kos 30 o = 3 2 (c)tan 30 o = 1 3   (d)sin 60 o = 3 2   (e)kos 60 o = 1 2    (f)tan 60 o = 3    
(b)  Nilai bagi sudut khas 45o

    (a)sin 45 o = 1 2   (b)kos 45 o = 1 2   (c)tan 45 o =1   

(c)  Nilai bagi sudut khas 0o, 90o, 180o ,270o ,360o
(i) Graf y = sin x, 0ox ≤ 360o


  
x
0o
90o
180o
270o
360o
sin
0
1
0
-1
0


(ii) Graf y = kos x, 0ox ≤ 360o





(iii) Graf y = tan x, 0ox ≤ 360o



x
0o
90o
180o
270o
360o
tan
0
0
0


Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.7.6 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 15:
Buktikan identiti 2 kos2A+1 =se k 2 A

Peneyelesaian:
Sebelah kiri 2 kos2A+1 = 2 ( 2ko s 2 A1 )+1 kos2A=2ko s 2 A1 = 2 2ko s 2 A = 1 ko s 2 A =se k 2 A =Sebelah kanan


Soalan 16:
Buktikan identiti 2tanA 2se k 2 A =tan2A

Peneyelesaian:
Sebelah kiri 2tanA 2se c 2 A = 2tanA 2( tan 2 A+1 ) tan 2 A+1=se c 2 A = 2tanA 1 tan 2 A =tan2A =Sebelah kanan


Soalan 17:
Buktikan identiti tan x + kot x = 2 kosek 2x

Peneyelesaian:
Sebelah kiri,
tan x + kot x
= sin x k o s x + k o s x sin x = sin 2 x + k o s 2 x k o s x sin x = 1 k o s x sin x sin 2 x + k o s 2 x = 1 = 1 1 2 sin 2 x sin 2 x = 2 sin x k o s x 1 2 sin 2 x = sin x k o s x = 2 sin 2 x = 2 ( 1 sin 2 x ) = 2 k o s e k   2 x = Sebelah kanan


Soalan 18:
Buktikan identiti kosxsin2x kos2x+sinx1 = 1 tanx   

Peneyelesaian:
Sebelah kiri kosxsin2x kos2x+sinx1 = kosx2sinxkosx ( 12 sin 2 x )+sinx1 kos2x=12 sin 2 x = kosx( 12sinx ) sinx2 sin 2 x = kosx( 12sinx ) sinx( 12sinx ) = kosx sinx =kotx = 1 tanx Sebelah kanan

Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.7.5 Fungsi Trigonometri, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 11:
Buktikan identiti ko s 2 x 1sinx =1+sinx 

Peneyelesaian:
Sebelah kiri = ko s 2 x 1sinx = 1 sin 2 x 1sinx sin 2 x+ko s 2 x=1 = ( 1+sinx )( 1sinx ) 1sinx =1+sinx = Sebelah kanan  


Soalan 12:
Buktikan identiti sin 2 xko s 2 x= tan 2 x1 tan 2 x+1   

Peneyelesaian:
Sebelah kanan  tan 2 x1 tan 2 x+1 = sin 2 x cos 2 x 1 sin 2 x cos 2 x +1 tanx= sinx cosx = sin 2 x cos 2 x cos 2 x sin 2 x+ cos 2 x cos 2 x = sin 2 x cos 2 x sin 2 x+ cos 2 x = sin 2 x cos 2 x sin 2 x+ cos 2 x=1 =Sebelah kiri


Soalan 13:
Buktikan identiti tan2 θ – sin2 θ = tan2θ sin2 θ

Peneyelesaian:
Sebelah kiri = tan 2 θ sin 2 θ = sin 2 θ cos 2 θ sin 2 θ = sin 2 θ sin 2 θ cos 2 θ cos 2 θ = sin 2 θ( 1 cos 2 θ ) cos 2 θ = sin 2 θ sin 2 θ cos 2 θ =( sin 2 θ cos 2 θ )( sin 2 θ ) = tan 2 θ sin 2 θ =Sebelah kanan


Soalan 14:
Buktikan identiti kosek2 θ (sek2 θ – tan2 θ) – 1 = kot2 θ

Peneyelesaian:
Sebelah kiri,
kosek2 θ (sek2θ – tan2 θ) – 1
= kosek2 θ (1) – 1  ← (tan2 θ + 1 = sek2θ
                                    sek2 θ – tan2θ  = 1)
= kosek2 θ – 1
= kot2 θ  (1 + kot2 θ = kosek2 θ
                        kosek2 θ – 1 = kot2 θ  )
= Sebelah kanan