Bab 8 Bulatan III

8.3 Tangen Sepunya (Contoh Soalan)

Contoh 1:

Dalam rajah di atas, O dan F ialah pusat bagi dua bulatan yang bersilang. ABG dan CDG ialah tangen-tangen sepunya kepada bulatan-bulatan itu. Cari nilai
     (a)  x,                     (b) y,               (c) z

Penyelesaian:
(a)
Dalam ∆ BFG,
BFG = ½ × 56o = 28o
FBG= 90o ← (jejari berserenjang dengan tangen)
xo+ 28o + 90o = 180o
xo= 180o – 118o
xo= 62o
x = 62

(b)
AOF= xo = 62o ← (AO // BF)
yo= 2 × 62o
yo= 124o
y = 124

(c)
Sudut luaran bagi AOC = 360o – 124o = 236o
EOC = ½ × 236o = 118o
zo= (180o – 118o) × ½  ← (∆ EOC ialah segitiga kaki sama, OEC = OCE)
zo= 31o
z = 31

Bab 8 Bulatan III

Soalan 5:
Dalam rajah di atas, PAQ ialah tangen kepada bulatan ABCD di titik A. AEC dan BED ialah garis lurus. Nilai bagi y ialah

Penyelesaian:
ABD = ACD = 40o
ACB = PAB = 60o
y= 180 ACBCBD ABD
y= 180– 60o – 25o– 40o = 55o


Soalan 6:
Dalam rajah di atas, KPL ialah tangen kepada bulatan PQRSdi titik P. Nilai bagi x ialah

Penyelesaian:
PQS = SPL= 55o
SPQ = 180– 30o – 55o= 95o
Dalam sisi empat kitaran,
SPQ + SRQ = 180o
95o+ xo = 180o
x = 85o


Soalan 7:
Dalam rajah di atas, APB ialah tangen kepada bulatan PQRdi titik P. QRB ialah garis lurus. Nilai bagi x ialah

Penyelesaian:
PQR = RPB= 45o
QPR = (180– 45o) ÷ 2 = 67.5o
PQR + BPQ + xo = 180o
45o+ (67.5o + 45o) + xo = 180o
x = 22.5o


Soalan 8:

Rajah di atas menunjukkan dua bulatan berpusat di O dan V. AB ialah tangen sepunya kepada bulatan-bulatan itu. OPRV ialah garis lurus. Panjang PR, dalam cm, ialah

Penyelesaian:


cos 86 o = OM OV 0.070= 1 OV OV= 1 0.070 OV=14.29cm PR=14.2954           =5.29cm

Bab 8 Bulatan III

Soalan 1:

Dalam rajah di atas, FAD ialah tangen kepada bulatan berpusat O. AEB dan OECD ialah garis lurus. Nilai bagi y ialah

Penyelesaian:
OAD = 90o
AOD= 180– 90o – 34o= 56o
yo = 56÷ 2 = 28o


Soalan 2:
Dalam rajah di atas, PQR ialah tangen kepada bulatanQSTU di Q dan TUPV ialah garis lurus. Nilai bagi y ialah

Penyelesaian:
QTS= RQS=  40 o SQT= QTS=  40 o ( Segitiga kaki sama ) PQT=  180 o    40 o   40 o =  100 o TPQ=  180 o    115 o =  65 o y o =  180 o    100 o   65 o =1 5 o


Soalan 3:
Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan BDE berpusat O, di B.
Cari nilai bagi y.

Penyelesaian:
BOD= 2×BED             = 2× 35 o = 70 o ODB=OBD             =( 180 o  70 o )÷2= 55 o EDB=EBA= 75 o   y o + ODB= 75 o y o +  55 o = 75 o y=20


Soalan 4:
Dalam rajah di atas, ABCD ialah tangen kepada bulatan CEF di titik C. EGC ialah garis lurus. Nilai bagi y ialah

Penyelesaian:
CEF=DCF= 70 AEG+ 70 + 210 = 360 AEG= 80 Dalam sisi empat kitaran ABGE, ABG+AEG= 180 y + 80 = 180 y=100

Bab 15 Matriks

4.10 SPM Practis (Soalan Panjang)

Soalan 1:
Diberi bahawa matriks A = ( 3 1 5 2 )  
(a)  Cari matriks songsang bagi A.
(b)  Tulis persamaan linear serentak berikut dalam persamaan matriks:
      3uv = 9
      5u – 2v = 13
Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai u dan nilai v.

Penyelesaian:
(a) A 1 = 1 3( 2 )( 5 )( 1 ) ( 2 1 5 3 ) =1( 2 1 5 3 )=( 2 1 5 3 )

(b) ( 3 1 5 2 )( u v )=( 9 13 )               ( u v )=1( 2 1 5 3 )( 9 13 )               ( u v )=1( ( 2 )( 9 )+( 1 )( 13 ) ( 5 )( 9 )+( 3 )( 13 ) )               ( u v )=1( 5 6 )               ( u v )=( 5 6 ) u=5,v=6


Soalan 2:
Diberi bahawa matriks A = ( 2 5 1 3 )  dan matriks B = m( 3 k 1 2 )  dengan keadaan AB = ( 1 0 0 1 )  
(a)  Cari nilai m dan nilai k.
(b)  Tulis persamaan linear serentak berikut dalam persamaan matriks:
      2u – 5v = –15
      u+ 3v = –2
Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai u dan nilai v.

Penyelesaian:
(a)
AB= ( 1 0 0 1 ) , Songsang bagi matriks A ialah B.
m= 1 ( 2 )( 3 )( 5 )( 1 ) = 1 11  
k= 5

(b)
( 2 5 1 3 )( u v )=( 15 2 )               ( u v )= 1 11 ( 3 5 1 2 )( 15 2 )               ( u v )= 1 11 ( ( 3 )( 15 )+( 5 )( 2 ) ( 1 )( 15 )+( 2 )( 2 ) )               ( u v )= 1 11 ( 55 11 )               ( u v )=( 5 1 ) u=5,v=1

Bab 15 Matriks

Soalan 3:
Diberi bahawa Q( 3 2 6 5 )=( 1 0 0 1 ), dengan keadaan Q ialah matriks 2 × 2.
(a)  Cari matriks Q.
(b)  Tulis persamaan linear serentak berikut dalam persamaan matriks:
      3u + 2v = 5
      6u + 5v = 2
Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai u dan nilai v.

Penyelesaian:
(a) Q= ( 3 2 6 5 ) 1 Q= 1 3( 5 )2( 6 ) ( 5 2 6 3 ) Q= 1 3 ( 5 2 6 3 ) Q=( 5 3 2 3 2 1 )

(b) ( 3 2 6 5 )( u v )=( 5 2 )               ( u v )= 1 3 ( 5 2 6 3 )( 5 2 )               ( u v )= 1 3 ( ( 5 )( 5 )+( 2 )( 2 ) ( 6 )( 5 )+( 3 )( 2 ) )               ( u v )= 1 3 ( 21 24 )               ( u v )=( 7 8 ) u=7,v=8



Soalan 4:
Diberi bahawa Q( 3 2 5 4 )=( 1 0 0 1 ), dengan keadaan Q ialah matriks 2 × 2.
(a)  Cari matriks Q.
(b)  Tulis persamaan linear serentak berikut dalam persamaan matriks:
      3x – 2y = 7
      5x – 4y = 9
Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai x dan nilai y.

Penyelesaian:
(a) Q= 1 3( 4 )( 5 )( 2 ) ( 4 2 5 3 ) = 1 2 ( 4 2 5 3 ) =( 2 1 5 2 3 2 )

(b) ( 3 2 5 4 )( x y )=( 7 9 )               ( x y )= 1 2 ( 4 2 5 3 )( 7 9 )               ( x y )= 1 2 ( ( 4 )( 7 )+( 2 )( 9 ) ( 5 )( 7 )+( 3 )( 9 ) )               ( x y )= 1 2 ( 10 8 )               ( x y )=( 5 4 ) x=5,  y=4

Bab 15 Matriks

4.9 SPM Practis (Soalan Pendek)

Soalan 1:
( 1 4 6 2 )+3( 2 0 4 3 )( 3 0 2 5 )=

Penyelesaian:
( 1 4 6 2 )+3( 2 0 4 3 )( 3 0 2 5 ) =( 1 4 6 2 )+( 6 0 12 9 )( 3 0 2 5 ) =( 7 4 18 7 )( 3 0 2 5 ) =( 7(3) 40 18( 2 ) 7(5) ) =( 10 4 20 2 )


Soalan 2:
Cari nilai mdalam persamaan matriks berikut:
( 9 4 5 0 )+ 1 2 ( 8 m 6 10 )=( 13 7 2 1 )

Penyelesaian:
( 9 4 5 0 )+ 1 2 ( 8 m 6 10 )=( 13 7 2 1 ) 4+ 1 2 m=7 1 2 m=3 m=6


Soalan 3:
Diberi ( 2x 3y )4( 2 3 )=( 2 6 ) Cari nilai x dan y.

Penyelesaian:
2x + 8 = –2
2x = –10
x= –5

3y – 12 = 6
3y = 18
y= 6 


Soalan 4:
Diberi bahawa persamaan matriks 3(6   m) + n(3   4) = (12   7),
Cari nilai m+ n.

Penyelesaian:
3(6   m) + n(3   4) = (12   7)
18 + 3n = 12
3n = –6
n= –2

3m + 4n = 7
3m + 4(–2) = 7
3m = 15
m= 5

Maka m + n = 5 + (–2) = 3

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

2.4 Punca Persamaan Kuadratik
1.      Punca persamaan kuadratik ialah nilai bagi anu yang memuaskan persamaan kuadratik itu.
2.      Punca persamaan juga dikenali sebagai penyelesaianbagi persamaan tertentu.
3.      Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan kaedah pemfaktoran.
Langkah 1: Tulis persamaan kuadratik dalam bentuk am ax2+ bx + c = 0.
Langkah 2: Faktorkan ungkapan kuadratik ax2 + bx + c= 0 dalam bentuk (mx + p
(nx+ q) = 0.
Langkah 3: Nyatakan mx + p= 0 atau nx + q = 0.
Langkah 4: Selesaikan dua persamaan dalam langkah 3.

mx+p=0      atau      nx+q=0     x= p m       atau          x= q n


Contoh 1:
Selesaikan persamaan kuadratik, 2 x 2 5 3 =3x 
Penyelesaian:
2 x 2 5 3 =3x

2x2– 5 = 9x
2x2– 9x – 5 = 0
(x – 5) (2x + 1) = 0
x – 5 = 0   atau   2x + 1 = 0
x = 5                         x = – ½


Contoh 2:
Selesaikan persamaan kuadratik, 4x2 – 12 = –13x.
Penyelesaian:
4x2– 12 = –13x
4x2+ 13x – 12 = 0
(4x – 3) (x + 4) = 0
4x – 3 = 0   atau   x + 4 = 0
x= ¾                    x = – 4


Contoh 3:
Selesaikan persamaan kuadratik, 5x2 = 3(x + 2) – 4.
Penyelesaian:
5x2= 3(x + 2) – 4
5x2= 3x + 6 – 4
5x2 – 3x – 2 = 0
(x – 1) (5x + 2) = 0
x – 1 = 0   atau   5x + 2 = 0
x= 1                      x= 2 5         


Contoh 4:
Selesaikan persamaan kuadratik, 3x(x3) 4 =x+3.
Penyelesaian:
3x(x3) 4 =x+3

3x2– 9x = –4x + 12
3x2 – 5x – 12 = 0
(x – 3) (3x + 4) = 0
x – 3 = 0   atau   3x + 4 = 0
x = 3                         x= 4 3       


Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

2.3 Persamaan Kuadratik
1.      Persamaan Kuadratik adalah persamaan yang memenuhi syarat-syarat berikut:
           (a)  Ia mengandungi tatatanda kesamaan, ‘=’
           (b)  Ia melibatkan hanya satu anu.
           (c)  Kuasa tertinggi anu terlibat ialah 2.

Contoh,


2.      Bentuk am bagi sesuatu persamaan kuadratik boleh ditulis sebagai:
           (a)  ax2 + bx + c = 0 ,
di mana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0,
contoh: 4x2 + 13x – 12 = 0

           (b)  ax2 + bx = 0 ,
di mana a ≠ 0, b ≠ 0 tetapi c = 0,
contoh: 7x2 + 9x = 0

           (c)  ax2 + c = 0 ,
di mana a ≠ 0, c ≠ 0 tetapi b = 0,
contoh: 9x2 – 3 = 0

Contoh 1:
Tulis setiap persamaan kuadratik berikut dalam bentuk am.
(a)  x2 – 5x = 12
(b)  –2 + 5x2 – 6x = 0
(c)  7p2 – 3p = 4p2 + 4p – 3
(d)  (x – 2)(x + 6) = 0
(e)  3 – 13x = 4 (x2 + 2)
(f) 2y= 13y y (g)  p 4 = 2 p 2 3 10 (h)  y 2 +5 4 = y1 2 (i)  4p 7 =p(7p6)

Penyelesaian:
Bentuk am bagi sesuatu persamaan kuadratik ialah ax2 + bx + c = 0
(a)  x2 – 5x = 12
x2 – 5x -12 = 0

(b)  –2 + 5x2 – 6x = 0
5x2 – 6x –2 = 0

(c)  7p2 – 3p = 4p2 + 4p – 3
7p2 – 3p – 4p2 – 4p + 3 = 0
3p2 – 7p  + 3 = 0

(d)  (x – 2)(x + 6) = 0
x2 + 6x – 2x – 12 = 0
x2 + 4x – 12 = 0

(e)  3 – 13x = 4 (x2 + 2)
3 – 13x = 4x2 + 8
–4x2 – 8 + 3 – 13x = 0
–4x2 – 13x – 5 = 0
     4x2 + 13x + 5 = 0

(f) 2y= 13y y
2yy2 = 1 – 3y
2yy2 – 1 + 3y = 0
 – y2 + 3y – 1 = 0
y2 – 3y + 1 = 0

  (g)  p 4 = 2 p 2 3 10

10p = 8p2 – 12
–8p2 + 10p +12 = 0
8p2 – 10p – 12 = 0

(h)  y 2 +5 4 = y1 2

2y2 + 10 = 4y – 4
2y2 – 4y + 10 + 4 = 0
2y2 – 4y + 14 = 0

(i)  4p 7 =p(7p6)
4p = 7p (7p – 6)
4p = 49p2 – 42p
– 49p2 + 42p + 4p  = 0
49p2 – 46p = 0


Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

2.1 Ungkapan Kuadratik (Contoh Soalan)

Contoh 1:
Bentukkan suatu ungkapan kuadratik dengan mendarab setiap yang berikut.
(a)  (6p – 2)(2p – 1)
(b)  (m + 5)(4 – 7m)
(c)  (x + 2) (2x – 3)

Penyelesaian:
(a)  (6p – 2)(2p – 1)
= (6p)(2p) + (6p)( –1) + (–2)(2p) + (–2)( –1)
= 12p2– 6p – 4p + 2
= 12p2– 10p + 2

(b)  (m + 5)(4 – 7m)
= (m)(4) + (m)(-7m) + (5)(4) + (5)(-7m)
= 4m – 7m2 + 20 – 35m
= –7m2– 31m + 20

(c)  (x + 2) (2x – 3)
= (x)(2x) + (x)( –3) + (2)(2x) + (2)( –3)
= 2x2– 3x + 4x – 6
= 2x2 + x - 6

Bab 3 Set

3.4 SPM Practis (Soalan Panjang)

Soalan 3:
(a)  Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set Pdan set Q dengan keadaan set semesta, ξ=PQ
Lorek set PQ.
(b)  Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set X, set Y dan set Z dengan keadaan set semesta, ξ=XYZ
Lorek set (XZ)Y.

Penyelesaian:
(a)   

·        PQ menunjukkan persilangan rantau P dengan rantau Q.

(b)   

·        (XZ) bermaksud kesatuan rantau X dengan rantau Z.
·        Persilangan rantau ini dengan rantau Y untuk membentuk (XZ)Y.


Soalan 4:
Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set P, set Q dan set R dengan keadaan set semesta, ξ=PQR
Pada rajah di ruang jawapan, lorekkan
(a)  P R’,
(b) P'(QR).
Penyelesaian:
(a)  PR

(b) P'(QR).


Posted in Set