Bab 13 Hukum Linear

13 Ulangkaji Konsep Penting (Garis Lurus)
(A)      Persamaan Garis lurus

                                 Rajah 1


Persamaan dalam bentuk kecerunan
y = mx + c
m = kecerunan
c = pintasan-y




(B)      Kecerunan Garis Lurus
                              Rajah 2

Dalam rajah 2, kecerunan garis lurus, m, melalui titik A (x1, yl) dan titik B (x2, y2) ialah
m= y 2 y 1 x 2 x 1

(C) Titik Tengah Garis lurus
Dalam rajah 2, titik tengah , M bagi titik A(xl, y1) dan titik B(x2, y2) ialah
M=( x 1 + x 2 2 , y 1 + y 2 2 )

(D) Jarak antara Dua Titik atas Garis Lurus
Dalam rajah 2, jarak antara titik A dan titik B
= ( x 2 x 1 ) 2 + ( y 2 y 1 ) 2    


Bab 1 Fungsi

          1.2.2    Fungsi

(C) Domain, Kodomain, Objek, Imej, dan Julat bagi Suatu Fungsi
Contoh 3:
Gambar rajah anak panah di atas mewakili satu fungsi f : x → 2 x2 – 5. Nyatakan
(a)    domain,
(b)   julat,
(c)    imej bagi –2,
(d)   objek bagi,
            (i)     –3,
            (ii)   –5.

Penyelesaian:
(a)    Domain = {–2, –1, 0, 1, 2}.
(b)   Julat = {–5, –3, 3}.
(c)    Imej bagi –2 ialah 3.
(d)   (i) Objek bagi –3 ialah 1 dan –1.
            (ii)   Objek bagi –5 ialah 0.


(D)  Fungsi Nilai Mutlak
1.      Tanda |  | menandakan nilai mutlak bagi suatu nombor. Secara amnya, nilai mutlak bagi nombor x, iaitu | x|, ditakrifkan seperti berikut.

| x |={ x jika x0 x jika x<0  

2.      Ini bermakna tanda bagi suatu nilai mutlak sentiasa positif.
3.      | x | dibaca sebagai modulus bagi x.
4.      Nilai mutlak bagi fungsi f( x) ialah nilai berangka bagi f(x) dan ditandakan sebagai | f(x)|.

| f(x) |={ f(x) jika f(x)0 f(x) jika f(x)<0

Contoh 4:
Diberi fungsi f: x|x + 2|.
(a)    Cari imej bagi –4, –3, 0, dan 2.
(b)   Lakarkan graf bagi f (x) bagi domain –4 ≤ x ≤ 2.
Seterusnya, nyatakan nilai julat f (x) berdasarkan domain yang diberi.

Penyelesaian:
(a)
Diberi f (x) = |x + 2|
Imej bagi –4 ialah f(–4) = | –4 + 2| = | –2| = 2
Imej bagi –3 ialah f(–3) = | –3 + 2| = | –1| = 1
Imej bagi 0 ialah f(0) = | 0 + 2| = | 2 | = 2
Imej bagi 2 ialah f(2) = | 2 + 2| = | 4 | = 4

(b)
Daripada (a),
f(–4) = 2
f(–3) = 1
f(0) = 2
f(2) = 4
Tentukan titik supaya graf menyentuh paksi-x.
Pada paksi-x,f (x) = 0
|x + 2| = 0
x+ 2 = 0
x= –2

Oleh itu, julat bagi nilai f (x) ialah 0 ≤ f(x) ≤ 4.


Bab 1 Fungsi

1.2.1 Fungsi

(A)      Fungsi Sebagai Sejenis Hubungan Khas
1.      Dalam sesuatu fungsi, semua objek dalam domain mesti dipadankan dengan hanya satu unsur dalam kodomain. Tetapi, semua unsur dalam kodomain tidak semestinya dipadankan dengan unsur dalam domain.
2.      Fungsi ialah hubungan khas dengan setiap objek dalam domain mempunyai hanya satu imej . Bukan semua hubungan ialah fungsi.
3.      Hubungan satu kepada satu dan hubungan banyak kepada satu ialah fungsi


Contoh:





(B) Tatatanda Fungsi
Dalam tatatanda fungsi, sesuatu fungsi boleh diwakili oleh huruf abjad seperti f, g, hdan sebagainya. Misalnya, fungsi fyang memetakan objek x dalam domain kepada imej y dalam julat doleh ditulis sebagai
f : xy
atau     f(x) = y

Seperti yang ditunjukkan dalam rajah di atas, fungsi f : XY, setiap unsur x dalam domain Xmempunyai satu imej yang unik dalam kodomain Y.

Contoh 1:
Diberi fungsi f : x → 5x + 1, cari nilai bagi
(a) f (2)
(b) f (–3)
(c) f( 2 5 ) 

Penyelesaian:
(a)
 f (x) = 5x + 1
 f(2) = 5(2) + 1 = 11

(b)
 f (x) = 5x + 1
 f (– 3) = 5(–3) + 1 = –14

(c)
f (x) = 5x + 1
f( 2 5 )=5( 2 5 )+1=3  

Contoh 2:
Suatu fungsi x ditakrifkan sebagai
f:x 5 2x1 ,xk.    
Cari nilai k.

Penyelesaian:
f( x )= 5 2x1 , xk f( x ) tidak tertakrif apabila 2x1=0 oleh itu, 2x10                    2x1                      x 1 2 Maka k= 1 2  


Bab 8 Bulatan III

8.4 SPM Praktis, Bulatan III (Kertas 1)
Soalan 9:
Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan berpusat O , di titik B.
Cari nilai y.

Penyelesaian:
ABO = 90o
BOE = 2 × 40o = 80o
Dalam segi empat AEOB,
AEO= 360 ABO  BOE – 35o
= 360– 90o – 80o – 35o= 155o
yo + AEO = 180
yo + 155o = 180o
yo = 180o  – 155o
y o = 25


Soalan 10:


Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan berpusat O, di titik B.
Nilai x ialah

Penyelesaian:
OBC = 90
BOD = 2 × 50o = 100o
Dalam segi empat BODC,
xo = 360BOD OBC – 120o
= 360– 100o – 90o – 120o
= 50

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 4:
Diberi 3t dan (t – 7) ialah punca-punca persamaan kuadratik 4x2 – 4x + m= 0 dengan m sebagai pemalar.
(a)  Cari nilai t dan nilai m.
(b)  Seterusnya, bentuk satu persamaan kuadratik dengan punca-punca 4t dan 2t + 6.

Penyelesaian:
(a)
Diberi 3t dan (t – 7) ialah punca-punca persamaan kuadratik 4x2 – 4x + m= 0
a = 4, b = – 4, c = m
Hasil tambah punca= b a 3t+( t7 )= 4 4  
3t + t– 7 = 1
4t = 8
t = 2

Hasil darab punca= c a 3t( t7 )= m 4  
4 [3(2) (2 – 7)] = m ← (gantikan t = 2)
4 [3(2) (2 – 7)] = m
4 (–30) = m
m = –120

(b)
t = 2
4t = 4(2) = 8
2t + 6 = 2(2) + 6 = 10

Hasil tambah punca = 8 + 10 = 18
Hasil darab punca = 8(10) = 80

Guna rumus, x2– (hasil tambah punca)x + hasil darab punca = 0
Oleh itu, persamaan kuadratik ialah
x 2 – 18x + 80 = 0

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 3:
Jika α dan β ialah punca-punca persamaan kuadratik 3x2 + 2x– 5 = 0, bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca yang berikut.
(a)  2 α  dan  2 β (b) ( α+ 2 β ) dan ( β+ 2 α )  


Penyelesaian:
3x2 + 2x – 5 = 0
a = 3, b = 2, c = –5
Punca adalah α dan β.
α+β= b a = 2 3 αβ= c a = 5 3  

(a)
Punca-punca yang baru ialah 2 α dan 2 β . Hasil tambah punca-punca baru = 2 α + 2 β = 2β+2α αβ                  = 2( α+β ) αβ = 2( 2 3 ) 5 3 = 4 5  

Hasil darab punca-punca =( 2 α )( 2 β )= 4 αβ                  = 4 5 3 = 12 5

Guna rumus, x2 – (hasil tambah punca)x + hasil darab punca = 0
Persamaan kuadratik yang baru ialah
x 2 ( 4 5 )x+( 12 5 )=0
5x2 – 4x– 12 = 0

(b)
Punca-punca yang baru ialah ( α+ 2 β )dan( β+ 2 α ). Hasil tambah punca-punca baru =( α+ 2 β )+( β+ 2 α )  
=α+β+( 2 α + 2 β )=α+β+ 2α+2β αβ =α+β+ 2( α+β ) αβ = 4 5 + 2( 4 5 ) 12 5 = 4 5 2 3 = 2 15

Hasil darab punca-punca =( α+ 2 β )( β+ 2 α ) =αβ+2+2+ 4 αβ  
= 12 5 +4+ 4 12 5 = 12 5 +4 5 3 = 1 15  

Persamaan kuadratik yang baru ialah
x 2 ( 2 15 )x+( 1 15 )=0
15x2 – 2x– 1 = 0

Bab 5 Indeks dan Logaritma

5.6 Indeks dan Logaritma, SPM Praktis (Soalan Panjang)
Soalan 3:
Diberi bahawa p= 3r dan q = 3t, ungkapkan yang berikut dalam sebutan rdan/ atau t.
(a)  log 3 p q 2 27 , 
(b)  log9p – log27 q.

Penyelesaian:
(a)
Diberi p = 3r, log3 p = r
q= 3t, log3 q =t

log 3 p q 2 27
= log3 pq2 – log327
= log3 p + log3 q2 – log3 33
= r + 2 log3 q – 3 log3 3
= r + 2 log3 q – 3(1)
= r + 2t – 3

(b)
log9 p– log27 q
= log 3 p log 3 9 log 3 q log 3 27 = r log 3 3 2 t log 3 3 3 = r 2 log 3 3 t 3 log 3 3 = r 2 t 3   



Soalan 4:
(a)  Permudahkan:
log2(2x + 1) – 5 log4 x2 + 4 log2 x
(b)  Seterusnya, selesaikan persamaan:
log2(2x + 1) – 5 log4 x2 + 4 log2 x = 4

Penyelesaian:
(a)
log2 (2x + 1) – 5 log4 x2 + 4 log2 x
= log 2 ( 2x+1 ) 5 log 2 x 2 log 2 4 +4 log 2 x = log 2 ( 2x+1 ) 5 2 log 2 x 2 + log 2 x 4 = log 2 ( 2x+1 ) log 2 ( x 2 ) ( 5 2 ) + log 2 x 4  
= log 2 ( 2x+1 ) log 2 x 5 + log 2 x 4 = log 2 ( 2x+1 )( x 4 ) x 5 = log 2 2x+1 x  

(b)
log2 (2x + 1) – 5 log4 x2 + 4 log2 x = 4
log 2 2x+1 x =4        2x+1 x = 2 4        2x+1 x =16       2x+1=16x          14x=1             x= 1 14


Bab 15 Matriks

4.9 SPM Practis (Kertas 1)
Soalan 5:
Diberi bahawa ( 3   x )( x 1 )=( 18 ),  cari nilai x.

Penyelesaian:
( 3   x )( x 1 )=( 18 )
[3 × x + x (–1)] = (18)
3xx = 18
2x = 18
x = 9


Soalan 6:
( 3 4 2 3 )( 5 2 )= 


Penyelesaian:
( 3 4 2 3 ) ( 5 2 ) = ( ( 3 ) ( 5 ) + ( 4 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 5 ) + ( 3 ) ( 2 ) )                        = ( 15 8 10 6 )                        = ( 7 16 )



Soalan 7:
( 2 4 3 4 0 1 )( 1 3 )=

Penyelesaian:
Peringkat hasil darab dua matriks
=( 3 ×2 )( 2× 1 )=( 3×1 )

( 2 4 3 4 0 1 )( 1 3 )=( 2( 1 )+4( 3 ) ( 3 )( 1 )+0( 3 ) ( 4 )( 1 )+1( 3 ) )                      =( 212 3+0 43 )                      =( 10 3 1 )



Soalan 8:
( 1  1   2 )( 5 1 3 2 0 4 )=

Penyelesaian:
Peringkat hasil darab dua matriks
=( 1 ×3 )( 3× 2 )=( 1×2 )

( 1  1   2 )( 5 1 3 2 0 4 )=
= (1×5 + (–1)(–3) + (2)(2)  1×1 + (–1)(0) + (2)(4))
= (5 + 3 + 4   1 + 0 + 8)
= (12   9)


Bab 18 Kebarangkalian II

7.5 Kebarangkalian II, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan dua kad huruf dalam kotak A dan tiga kad nombor di dalam kotak B.

Satu kad dipilih secara rawak daripada kotak A dan kemudian satu kad pula dipilih secara rawak daripada kotak B.
Dengan menyenaraikan sampel bagi semua kesudahan peristiwa yang mungkin, cari kebarangkalian
(a)    satu kad berlabel M dan kad nombor genap dipilih,
(b)   satu kad berlabel Q atau kad nombor gandaan 2 dipilih.

Penyelesaian:
Ruang sampel, S
= {(M, 2), (M, 3), (M, 6), (Q, 2), (Q, 3), (Q, 6)}
n(S) = 6

(a)
{(M, 2), (M, 6)}
P( M dan nombor genap )= 2 6 = 1 3

(b)
{(Q , 2), (Q, 3), (Q , 6), (M, 2), (M , 6)}
P( Q atau gandaan 2 )= 5 6



Soalan 4:
Jadual di bawah menunjukkan nama peserta daripada dua sekolah menengah yang menghadiri satu program latihan pengucapan awam.

Lelaki
Perempuan
Sekolah A
Karim
Rosita
Sally
Linda
Sekolah B
Ahmad
Billy
Nancy

Dua peserta dikehendaki memberi ucapan di akhir program itu.

(a)  Seorang peserta dipilih secara rawak daripada Sekolah Adan kemudian seorang peserta lagi dipilih secara rawak juga daripada Sekolah A.
(i)    Senaraikan semua kesudahan peristiwa yang mungkin dalam ruang sampel ini.
(ii) Seterusnya, cari kebarangkalian bahawa seorang lelaki dan seorang perempuan dipilih.
(b)  Seorang peserta dipilih secara rawak daripada kumpulan lelaki dan kemudian seorang peserta lagi dipilih secara rawak daripada daripada kumpulan perempuan.
(i)    Senaraikan semua kesudahan peristiwa yang mungkin dalam ruang sampel ini.
(ii) Seterusnya, cari kebarangkalian bahawa kedua-dua peserta yang dipilih adalah daripada Sekolah B.

Penyelesaian:
(a)(i)
Ruang sampel, S
= {(Karim, Rosita), (Karim, Sally), (Karim, Linda), (Rosita, Sally), (Rosita, Linda), (Sally, Linda)}
n(S) = 6

(a)(ii)
{(Karim, Rosita), (Karim, Sally), (Karim, Linda}
P (seorang lelaki dan seorang perempuan)
= 3 6 = 1 2

(b)(i)
Ruang sampel, S
= {(Karim, Rosita), (Karim, Sally), (Karim, Linda), (Karim, Nancy), (Ahmad, Rosita), (Ahmad, Sally), (Ahmad, Linda), (Ahmad, Nancy), (Billy, Rosita), (Billy, Sally), (Billy, Linda), (Billy, Nancy)}
n(S) = 12

(b)(ii)
{(Ahmad, Nancy), (Billy, Nancy)}
P (kedua-dua peserta daripada Sekolah B)
= 2 12 = 1 6


Bab 5 Garis Lurus

5.6 Garis Lurus, SPM Praktis (Soalan Pendek)
Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus RS dengan persamaan 3y = –px– 12, dengan p sebagai pemalar.

Diberi bahawa OR: OS = 3 : 2.
Cari nilai p.

Penyelesaian:
Kaedah 1:
Gantikan x= –6 dan y = 0 ke dalam 3y = –px– 12:
3(0) = –p (–6) – 12
0 = 6p – 12
–6p = –12
p = 2

Kaedah 2:
OR: OS = 3 : 2
OR OS = 3 2 6 OS = 3 2 OS=6× 2 3 =4 unit  
Koordinat titik S= (0, –4)
Kecerunan garis lurus RS = 4 6 = 2 3  

Diberi 3y= –px – 12
Menyusun semula persamaan dalam bentuk y = mx+ c
y= p 3 x4 Kecerunan garis lurus RS= P 3 P 3 = 2 3       P=2


Soalan 7:

Rajah di atas menunjukkan dua garis lurus, KL dan LM, pada satah Cartesan. Jarak KL ialah 10 unit dan kecerunan bagi LM ialah 2. Cari pintasan-x bagi LM.

Solution:

Katakan koordinat titik Nialah = (0, 2).
Guna rumus Pythagoras,
 LN = √102 – 62 = 8
Titik L = (0, 2 + 8) = (0, 10)
pintasan- y bagi LM = 10

Guna rumus kecerunan, m= pintasan-y pintasan-x 2=( 10 pintasan-x ) pintasan-x bagi LM= 10 2 =5