Bab 7 Statistik

7.4 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:
Jadual di bawah menunjukkan umur 40 orang pelancong melawat suatu tempat pelancongan.

Umur
Pelancong
10 – 19
4
20 – 29
m
30 – 39
n
40 – 49
10
50 – 59
8

Diberi umur median ialah 35.5, cari nilai m dan n.

Penyelesaian:
Diberi umur median ialah 35.5,

Umur
Kekerapan
 Kekerapan longgokan
10 – 19
4
4
20 – 29
m
4 + m
30 – 39
Kelas median
n
4 + m + n
40 – 49
10
14 + m + n
50 – 59
8
22 + m + n

22 + m + n = 40
n = 18 – m -----(1)
Diberi umur median = 35.5, maka kelas median ialah 30 – 39.
35.5=29.5+( 20( 4+m ) n )×10 6=( 16m n )×10  
6n = 160 – 10m
3n = 80 – 5m -----(2)

Gantikan (1) ke dalam (2).
3 (18 – m) = 80 – 5m
54 – 3m = 80 – 5m
2m = 26
m = 13

Ganti m = 13 ke dalam (1).
n = 18 – 13
n = 5
Dengan itu, m = 13, n= 5.


Soalan 2:
Satu set markah ujian x1, x2, x3, x4, x5, x6 mempunyai min 6 dan sisihan piawai 2.4.
(a) Cari
        (i) hasil tambah markah itu, ∑x,
        (ii) hasil tambah kuasa dua markah itu, ∑x2.
(b) Setiap markah itu didarab dengan 2 dan kemudian ditambah dengan 3. Cari bagi set markah baru itu,
        (i) min,
        (ii) varians.

Penyelesaian:
(a)(i)
Diberi min = 6 Σ x 6 = 6 Σ x = 36  

(a)(ii)
Diberi σ=2.4 σ 2 = 2.4 2 Σ x 2 n X ¯ 2 =5.76 Σ x 2 6 6 2 =5.76 Σ x 2 6 =41.76 Σ x 2 =250.56

(b)(i)
Markah min baru
= 6(2) + 3
= 15

(b)(ii)
Varians bagi set markah asal
 = 2.42 = 5.76

Varians bagi set markah baru
= 22 (5.76)
= 23.04

Bab 7 Statistik

7.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 3:
Min bagi lima nombor ialah p . hasil tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah  120 dan sisihan piawai ialah 2q. Ungkap p dalam sebutan q.

Penyelesaian:
Min  x ¯ = x N p = x 5 x=5 p Sisihan piawai, σ= x 2 N x ¯ 2 2q= 120 5 ( p ) 2 4 q 2 =24p p=244 q 2


Soalan 4:
Satu set integer positif terdiri daripada 1, 4 dan p. Varians bagi set integer ini ialah 6. Cari nilai p.

Penyelesaian:
Varians,  σ 2 = x 2 N x ¯ 2 6= 1 2 + 4 2 + p 2 3 ( 1+4+p 3 ) 2 6= 17+ p 2 3 ( 5+p 3 ) 2 6= 17+ p 2 3 [ 25+10p+ p 2 9 ] 6= 51+3 p 2 2510p p 2 9
2p2 – 10p + 26 = 54
2p2 – 10p + 28 = 0
p2 – 5p + 14 = 0
(p – 7)(p + 2) = 0
p= –2 (tidak diterima)
Maka p = 7

Bab 7 Statistik

7.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 1:
Sisihan piawai bagi lima nombor ialah 6 dan hasil tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah 260. Cari min bagi set nombor itu.

Penyelesaian:
Diberi σ=6Σ x 2 =260. σ=6 Σ x 2 n X ¯ 2 =6 Σ x 2 n X ¯ 2 =36 260 5 X ¯ 2 =36 X ¯ 2 =16 X ¯ =±4 min = ±4



Soalan 2:
Kedua-dua min dan sisihan piawai bagi set nombor 1, 3, 7, 15, m dan n ialah 6.  Cari
(a) nilai m+ n,
(b) nilai yang mungkin bagi n.

Penyelesaian:
(a)
Diberi min = 6 Σx n =6 Σx 6 =6  
1 + 3 + 7 + 15 + m + n= 36
26 + m + n = 36
m + n = 10

(b)
σ=6 σ 2 =36 Σ x 2 n X ¯ 2 =36 1+9+49+225+ m 2 + n 2 6 6 2 =36 284+ m 2 + n 2 6 36=36 284+ m 2 + n 2 6 =72  
284 + m2 + n2 = 432
m2 + n2 = 148
Daripada (a), m = 10 – n
(10 – n)2 + n2 = 148
100 – 20n + n2+ n2 = 148
2n2 – 20n – 48 = 0
n2 – 10n – 24 = 0
(n – 6)(n + 4) = 0
n = 6   atau   n = –4 

Bab 7 Statistik

7.1c Median
1.      Median ialah nilai yang terletak di tengah-tengah sesuatu set data setelah set data itu disusun mengikut tertib tertentu.

(A)      Data Tak Terkumpul

               Median, m=Cerapa n n+1 2    

Contoh 1:
Cari median bagi setiap set data yang berikut.
(a) 15, 18, 21, 25, 20, 18
(b) 13, 6, 9, 17, 11

Penyelesaian:
(a)
Susun data mengikut tertib menaik
15, 18, 18, 20, 21, 25

Median =Cerapa n n+1 2 =Cerapa n 6+1 2 =Cerapa n 3 1 2 = 18+20 2 =19  

(b)
6, 9, 11, 13, 17

Median =Cerapa n n+1 2 =Cerapa n 5+1 2 =Cerapa n 3 =11  


(B)  Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)

                 Median, m=Cerapa n n+1 2    

Contoh 2:
Jadual kekerapan yang berikut menunjukkan markah ujian biologi bagi 40 orang pelajar.

Markah
50
55
60
65
70
Bilangan Pelajar
6
8
15
10
1
Hitung markah median.

Penyelesaian:
Median =Cerapa n n+1 2 =Cerapa n 40+1 2 =Cerapa n 20 1 2 =60(Cerapan ke-20 1 2  ialah 60 markah)



(C)      Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)

m = median
L = sempadan bawah kelas median
N = jumlah kekerapan
F = kekerapan longgokan sebelum kelas median
fm = kekerapan kelas median
c = saiz kelas median (Sempadan atas kelas – sempadan bawah kelas)

1.  Median boleh ditentukan daripada jadual kekerapan longgokan dan ogif.

Contoh 3:
Jadual yang berikut menunjukkan taburan skor yang diperoleh 100 orang pelajar tingkatan 4 dalam satu pertandingan.

Skor
Kekerapan
5 – 9
4
10 – 14
10
15 – 19
19
20 – 24
26
25 – 29
21
30 – 34
12
35 – 39
8
Cari median.

Penyelesaian:
Kaedah 1: guna rumus
Skor
Kekerapan
Kekerapan Longgokan
5 – 9
4
4
10 – 14
10
14
15 – 19
19
33 (F)
20 – 24
Kelas median
26 (fm)
59
cerapan ke-50 berada di sini
25 – 29
21
80
30 – 34
12
92
35 – 39
8
100










Langkah 1:
Kelas median = Cerapa n n 2 = Cerapa n 100 2 =Cerapa n 50 Maka kelas median berada di 2024

Langkah 2:
m=L+( N 2 F f m )c m=19.5+( 100 2 33 26 )5 m=19.5+3.269=22.77

Bab 7 Statistik

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 3)

7.2c Varians dan Sisihan Piawai
1. Varians ialah sukatan minbagi kuasa dua sisihan-sisihan daripada min.
2. Sisihan piawai merujuk kepada punca kuasa dua positif bagi varians.

(A) Data Tak Terkumpul
Varians,  σ 2 = x 2 N x ¯ 2  

Sisihan piawai, σ =  varians  

Contoh 1:
Cari varians dan sisihan piawai bagi set data,
15, 17, 21, 24 dan 31

Penyelesaian:
Varians,  σ 2 = x 2 N x ¯ 2 σ 2 = 15 2 + 17 2 + 21 2 + 24 2 + 31 2 5          ( 15+17+21+24+31 5 ) 2 σ 2 = 2492 5 21.6 2 σ 2 =31.84 Sisihan piawai, σ =  varians σ =  31.84 σ = 5.642  



(B) Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)

Varians,  σ 2 = f x 2 f x ¯ 2  

Sisihan piawai, σ =  varians

Contoh 2:
Data di bawah menunjukkan bilangan kanak-kanak oleh 30 keluarga:

Bilangan kanak-kanak
2
3
4
5
6
7
8
Kekerapan
6
8
5
3
3
3
2




Cari varians dan sisihan piawai bagi set data.

Penyelesaian:
Min  x ¯ = fx f = ( 6 )( 2 )+( 8 )( 3 )+( 5 )( 4 )+( 3 )( 5 )+( 3 )( 6 )+( 3 )( 7 )+( 2 )( 8 ) 6+8+5+3+3+3+2 = 126 30 =4.2 f x 2 f = ( 6 ) ( 2 ) 2 +( 8 ) ( 3 ) 2 +( 5 ) ( 4 ) 2 +( 3 ) ( 5 ) 2 +( 3 ) ( 6 ) 2 +( 3 ) ( 7 ) 2 +( 2 ) ( 8 ) 2 6+8+5+3+3+3+2 = 634 30 =21.13


Varians,  σ 2 = f x 2 f x ¯ 2 σ 2 =21.133 4.2 2 σ 2 =3.493 Sisihan piawai, σ =  varians σ =  3.493 σ = 1.869



(C) Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)
Varians,  σ 2 = f x 2 f x ¯ 2  

Sisihan piawai, σ =  varians

Contoh 3:

Gaji harian (RM)
Bilangan pekerja
5 – 9
4
10 – 14
10
15 – 19
19
20 – 24
26
25 – 29
21
30 – 34
12
35 – 39
8

Hitung min gaji harian dan sisihan piawai.

Penyelesaian:

Gaji harian (RM)
Bilangan pekerja, f
Nilai tengah, x
fx
fx2
10 – 14
40
12
480
5760
15 – 19
25
17
425
7225
20 – 24
15
22
330
7260
25 – 29
12
27
324
8748
30 – 34
8
32
256
8192
Total
100

1815
37185

Min  x ¯ = fx f Min gaji harian= 1815 100 =18.15  


Varians,  σ 2 = f x 2 f x ¯ 2 Sisihan piawai, σ =  varians σ 2 = 37185 100 18.15 2 σ 2 =42.43 σ =  42.43 σ = 6.514


Bab 7 Statistik

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 2)

7.2b Julat antara Kuartil 2
(C) Julat antara Kuartil untuk Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)

Julat antara kuartil bagi data terkumpul boleh ditentukan melalui Kaedah 1 (guna jadual kekerapan longgokan) atau Kaedah2 (ogif).

Kuartil pertama,  k 1 = L 1 +( 1 4 N F 1 f k 1 )C Kuartil ketiga,  k 3 = L 3 +( 3 4 N F 3 f k 3 )C  

*Rumus-rumus ini diubahsuai daripada rumus median.



Contoh 1:
Jadual yang berikut menunjukkan taburan markah yang diperoleh sekumpulan pelajar tingkatan 4 dalam satu ujian matematik.

Markah
Kekerapan
20 – 29
4
30 – 39
8
40 – 49
20
50 – 59
16
60 – 69
9
70 – 79
3

Anggarkan julat antara kuartil.

Penyelesaian:
Kaedah 1: Melalui Jadual Kekerapan Longgokan

Langkah 1:
Kuartil pertama, k1 = cerapan ke- ¼ (60)
                             = cerapan ke-15
Kuartil ketiga, k3 = cerapan ke- ¾ (60)
                          = cerapan ke- 45

Markah
Kekerapan
Kekerapan
longgokan
20 – 29
4
4
30 – 39
8
12
40 – 49
20
32  (k1 terletak di sini)
50 – 59
16
48 (k3 terletak di sini)
60 – 69
9
57
70 – 79
3
60

Langkah 2:
Kuartil pertama,  k 1 = L 1 +( 1 4 N F 1 f k 1 )C                              =39.5+( 1512 20 )10                              =39.5+1.5                              =41

Langkah 3:
Kuartil ketiga,  k 3 = L 3 +( 3 4 N F 3 f k 3 )C                                =49.5+( 4532 16 )10                                =49.5+8.125                                =57.625  

Langkah 4:
Julat antara kuartil
= kuartil ketiga – Kuartil pertama
= k3k1
= 57.625 – 41
= 16.625


Bab 7 Statistik

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 1)

7.2b Julat antara Kuartil 1
(A) Julat antara Kuartil untuk Data Tak Terkumpul


Contoh 1:
Cari julat antara kuartil bagi setiap set data yang berikut.
(a) 7, 5, 1, 3, 6, 11, 8
(b) 12, 4, 6, 18, 9, 16, 2, 14

Penyelesaian:
(a)
Susun semula data mengikut tertib menaik.
1        3        5        6        7        8        11
          ↑                  ↑                  ↑
      kuartil          median          kuartil
pertama                               ketiga

Julat antara kuartil
= kuartil ketiga – Kuartil pertama
= 8 – 3
= 5

(b)
2        4    ⁞    6        9    ⁞    12        14    ⁞     16        18
                ↑                   ↑                       ↑
             kuartil          median               kuartil
       pertama                                    ketiga

Julat antara kuartil
= kuartil ketiga – Kuartil pertama
= 14+16 2 4+6 2  
= 15 – 5
= 10


(B) Julat antara Kuartil untuk Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)

Contoh 2:
Jadual yang berikut menunjukkan taburan markah yang diperoleh sekumpulan pelajar tingkatan 4 dalam satu ujian sains.

Markah
1
2
3
4
5
Bilangan pelajar
4
7
5
2
6

Tentukan julat antara kuartil bagi taburan itu.

Penyelesaian:
Kuartil pertama, k1 = cerapan ke- ¼ (24)
                               = cerapan ke- 6
                               = 2

Kuartil ketiga, k3 = cerapan ke- ¾ (24)
                               = cerapan ke- 18
                               = 4

Markah
kekerapan
Kekerapan
longgokan
1
4
4
2
7
11 (k1 terletak di sini)
3
5
16
4
2
18 (k3 terletak di sini)
5
6
24

Julat antara kuartil
= kuartil ketiga – Kuartil pertama
= k3k1
= 4 – 2
= 2

Bab 7 Statistik

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 1)
7.2a Julat

(A) Julat untuk Data Tak Terkumpul

   Julat
   = nilai cerapan terbesar – nilai cerapan terkecil

Contoh 1:
Cari julat bagi set data 2, 4, 7, 10, 13, 16 dan 18.
Penyelesaian:
Julat = nilai cerapan terbesar – nilai cerapan terkecil
        = 18 – 2
        = 16


(B) Julat untuk Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)

Julat
= nilai tengah kelas tertinggi – nilai tengah kelas terendah

Contoh 2:
Jadual yang berikut menunjukkan taburan kekerapan skor yang diperoleh 100 pelajar dalam suatu pertandingan.

Skor
Kekerapan
5 – 9
4
10 – 14
10
15 – 19
19
20 – 24
26
25 – 29
21
30 – 34
12
35 – 39
8

Cari julat bagi set data.

Penyelesaian:
Julat=nilai tengah kelasnilai tengah kelas                   tertinggi                   terendah Julat= 35+39 2 5+9 2            =377            =30


Bab 7 Statistik

7.1b Mod
Mod ialah cerapan yang mempunyai kekerapan paling tinggi dalam suatu set.

Contoh 1:
Cari mod bagi setiap set data yang berikut.
(a) 15, 18, 21, 25, 20, 18
(b) 3, 6, 9, 11, 17
(c) 0, 1, 2, 7, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 2

Penyelesaian:
(a) Mod ialah 18. ← (18 berulang sebanyak 2 kali)
(b) Tiada mod.
(c) Mod ialah 1 dan 2. ← (kedua-dua nombor berulang 4 kali)


Bab 7 Statistik

Bab 7 Statistik
7.1a Min

Min= Hasil tambah nilai data Bilangan data  

(A) Data Tak Terkumpul


Contoh 1:
(a) Cari min bagi set data 2, 4, 7, 10, 13, 16 dan 18.
(b) Apabila suatu nilai x ditambah ke dalam set data di (a), nilai baru min menjadi 9.5. Tentukan nilai x.

Penyelesaian:
(a)
x ¯ = 2+4+7+10+13+16+18 7 x ¯ = 70 7 =10

(b)
Min baru =9.5 70+x 8 =9.5 70+x=76 x=6


(B) Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)


Contoh 2:
Jadual kekerapan yang berikut menunjukkan markah ujian biologi bagi 40 orang pelajar.

Markah
50
55
60
65
70
Bilangan pelajar
6
8
15
10
1

Kira min markah.

Penyelesaian:
Min markah,  x ¯ x ¯ = ( 50 )( 6 )+( 55 )( 8 )+( 60 )( 15 )+( 65 )( 10 )+( 70 )( 1 ) 6+8+15+10+1 x ¯ = 2360 40 =59


(C) Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)


Contoh 3:
Jadual yang berikut menunjukkan taburan kekerapan skor yang diperoleh 100 pelajar dalam suatu pertandingan.

Skor
Kekerapan
5 – 9
4
10 – 14
10
15 – 19
19
20 – 24
26
25 – 29
21
30 – 34
12
35 – 39
8

Kira min skor.

Penyelesaian:

Skor
Kekerapan f
Nilai tengah x
fx
5 – 9
4
7
28
10 – 14
10
12
120
15 – 19
19
17
323
20 – 24
26
22
572
25 – 29
21
27
567
30 – 34
12
32
384
35 – 39
8
37
296
Jumlah

100
2290

Nilai tengah= 5+9 2 =7 Min skor,  x ¯ = fx f = 2290 100 =22.9