Bab 17 Pilir Atur dan Gabungan

6.2 Gabungan
1.      Bilangan gabungan r objek daripada n objek

   n C r = n! r!(nr)!     

2.      Bilangan gabungan r objek daripada n objek yang berlainan ialah bilangan pilihan r objek daripada n objek dengan tanpa mengambil kira tertib susunan.

  Peringatan:   (i)   n C 0 =1   (ii)   n C n =1   (iii)   n C r = n C nr     

Contoh 1:
Hitung nilai  7 C 2 7 C 2 = 7! ( 72 )! ×2! = 7! 5! ×2! = 7 ×6 ×5! 5! ×2! = 7×6 2×1 =21




Contoh 2:
6 biji guli yang mempunyai warna yang berbeza akan dibahagikan sama rata kepada 2 orang kanak-kanak. Cari bilangan cara pembahagian guli tersebut dapat dibuat.

Penyelesaian:
Bilangan cara memberi 3 biji guli kepada kanak-kanak pertama = 6 C 3  
Bilangan cara memberi baki 3 biji guli kepada kanak-kanak kedua = 3 C 3  

Bilangan cara pembahagian guli sama rata kepada 2 orang kanak-kanak
=   6 C 3 ×   3 C 3 =20×1 =20

Bab 17 Pilir Atur dan Gabungan

6.3 Pilir Atur dan Gabungan, SPM praktis (Kertas 1)
Soalan 5:
Satu jawatankuasa yang terdiri daripada 6 orang ahli dipilih secara rawak daripada 5 orang guru dan 4 orang pelajar. Cari bilangan cara jawatankuasa itu boleh dibentuk jika
(a)    tiada sebarang syarat dikenakan,
(b)   bilangan guru lebih daripada bilangan pelajar.

Penyelesaian:
(a)        
Jumlah ahli jawatankuasa = 5 + 4 = 9
6 orang ahli dipilih secara rawak daripada 9 orang dengan tiada sebarang syarat dikenakan
= 9 C 6 =84

(b)    
Jika bilangan guru mesti lebih daripada bilangan pelajar, gabungan adalah seperti berikut
= 4 orang guru 2 orang pelajar + 5 orang guru seorang pelajar
=   5 C 4 ×   4 C 2 +   5 C 5 ×   4 C 1
= 30 + 4
= 34


Soalan 6:
Suatu jawatankuasa sekolah yang terdiri daripada enam orang dipilih secara rawak daripada 6 orang guru lelaki, 4 orang guru wanita dan seorang guru besar lelaki. Cari bilangan cara jawatankuasa itu boleh dibentuk jika
(a) guru besar adalah pengerusi jawatankuasa itu,
(b) jawatankuasa itu mengandungi tepat 2 orang guru wanita,
(c) jawatankuasa itu mengandungi bilangan guru lelaki yang tidak melebihi empat orang.

Penyelesaian:
(a)
Jika guru besar adalah pengerusi jawatankuasa, bilangan jawatankuasa yang tinggal terdiri daripada 5 ahli.
Maka, bilangan cara jawatankuasa itu boleh dibentuk daripada 6 orang guru lelaki dan 4 orang guru wanita
=   10 C 5 =252

(b)
Tepat 2 orang guru wanita dalam jawatankuasa
4 C 2 ×   7 C 4 =210

(c)
Jawatankuasa mengandungi bilangan guru lelaki yang tidak melebihi empat orang
= 4 orang guru lelaki 2 orang guru wanita + 3 orang guru lelaki 3 orang guru wanita + 2 orang guru lelaki 4 orang guru wanita
=   7 C 4 ×   4 C 2 +   7 C 3 ×   4 C 3 +   7 C 2 ×   4 C 4  
= 210 + 140 + 21
= 371


Soalan 7:
Jawatankuasa pengawas sebuah sekolah terdiri daripada 6 orang ahli dipilih secara rawak daripada 6 orang pelajar Melayu, 5 orang pelajar Cina dan 4 orang pelajar India. Cari bilangan cara jawatankuasa itu boleh dibentuk jika jawatankuasa itu mempunyai bilangan pelajar Melayu, Cina dan India yang sama.

Penyelesaian:
Bilangan cara jawatankuasa itu boleh dibentuk adalah terdiri daripada 2 pelajar Melayu, 2 pelajar Cina dan 2 pelajar India
=   6 C 2 ×   5 C 2  ×   4 C 2 =900


Soalan 8:
Dalam sebuah kotak terdapat 10 biji gula-gula yang berlainan perisa.
Cari
(a)  Bilangan cara 3 biji gula-gula boleh dipilih dari kotak itu.
(b) Bilangan cara sekurang-kurangnya 8 biji gula-gula boleh dipilih dari kotak itu.

Penyelesaian:
(a)
Bilangan cara memilih 3 daripada 10 biji gula-gula
=   10 C 3 =120  

(b)
Bilangan cara memilih 8 biji gula-gula = 10 C 8  
Bilangan cara memilih 9 biji gula-gula = 10 C 9  
Bilangan cara memilih 10 biji gula-gula = 10 C 10

Oleh itu, bilangan cara sekurang-kurangnya 8 biji gula-gula boleh dipilih dari kotak
=   10 C 8 10 C 9 +   10 C 10 =56

 

Bab 17 Pilir Atur dan Gabungan

6.3 Pilir Atur dan Gabungan, SPM praktis (Kertas 1)
Soalan 1:
Rajah di bawah menunjukkan lima keping kad huruf yang berlainan.
R      E      A      C      T
(a)    Cari bilangan cara susunan yang mungkin, dalam satu baris, semua kad itu.
(b)   Carikan bilangan cara susunan itu dengan keadaan huruf E dan huruf  A adalah bersebelahan.

Penyelesaian:
(a)
Bilangan cara susunan yang mungkin = 5! = 120

(b)
Jika huruf Edan huruf  A hendaklah disusun bersebelahan, EA dianggap sebagai satu unit.
Bersama-sama huruf-huruf ‘R’, ‘C’ dan ‘T’, kesemuanya 4 unit.
EA        R        C        T
Bilangan cara susunan = 4!

Huruf ‘E’ dan ‘A’ boleh juga disusun antaranya dalam kumpulan sendiri.
Bilangan cara susunan = 2!

Oleh itu, bilangan cara susunan perkataan ‘REACT’ dengan keadaan huruf E dan huruf  A adalah bersebelahan
= 4! × 2!
= 24 × 2
= 48


Soalan 2:
Sekumpulan 4 orang pelajar lelaki dan 3 orang pelajar perempuan akan duduk sebaris dalam suatu sesi mengambil gambar. Jika pelajar lelaki dan pelajar perempuan akan duduk secara alternatif (lelaki-perempuan-lelaki-perempuan…), hitung bilangan cara susunan itu boleh dibuat.

Penyelesaian:
Susunan 4 orang pelajar lelaki dan 3 orang pelajar perempuan duduk secara alternatif adalah berikut:
L        P        L        P        L       P      L
Bilangan cara menyusun tempat duduk untuk 4 pelajar lelaki = 4!
Bilangan cara menyusun tempat duduk untuk 3 pelajar perempuan = 3!

Oleh itu, bilangan cara untuk menyusun tempat duduk pelajar lelaki dan pelajar perempuan
= 4! × 3! = 144


Soalan 3:
Ahmad mempunyai 6 biji durian, 5 biji tembikai dan 2 biji betik. Jika dia ingin menyusun buah-buahan itu dalam satu baris dan buah-buahan yang sama jenis hendaklah dikumpul bersama, hitung bilangan cara susunan boleh dibuat. Saiz semua buah-buahan adalah berbeza.

Penyelesaian:
Bilangan cara menyusun buah-buahan yang sama jenis = 3!
DDDDDD        TTTTT        BB       
Bilangan cara menyusun 6 biji durian = 6!
Bilangan cara menyusun 5 biji tembikai = 5!
Bilangan cara menyusun 2 biji betik = 2!

Oleh itu, bilangan cara menyusun jenis buah-buahan yang sama dalam sebaris
= 3! × 6! × 5! × 2!
= 1036800


Soalan 4:
Cari bilangan susunan yang dapat diperoleh, tanpa ulangan, daripada perkataan `SOMETHING'  dengan syarat huruf pertama ialah huruf vokal.

Penyelesaian:
Huruf pertama boleh diisi oleh mana-mana huruf vokal O, E atau I = 3 P 1  
Susunan bagi huruf-huruf yang seterusnya = 7!
Oleh itu, bilangan susunan bagi perkataan `SOMETHING' yang huruf pertama ialah huruf vocal
3 P 1 ×7! =15120   

Bab 11 Nombor Indeks

11.3 Nombor Indeks, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:
Jadual di bawah menunjukkan harga dan indeks harga bagi empat bahan P, Q, R dan S, yang digunakan untuk membuat sejenis biskut.


Bahan
Harga sekilogram
( RM )
Indeks harga pada tahun 2008 berasaskan tahun 2006

Tahun 2006
Tahun 2008
P
0.80
x
125
Q
2.00
2.8
y
R
z
0.60
150
S
0.50
0.40
80

Rajah 2 menunjukkan carta pai yang mewakili kuantiti relatif bagi penggunaan bahan-bahan P, Q, R dan S itu.

Rajah 2

(a)    Cari nilai x, y dan z.                                                                      
(b)(i) Hitungkan nombor indeks gubahan bagi kos membuat biskut itu pada tahun 2008 berasaskan tahun 2006.
(b)(ii) Seterusnya, hitungkan kos membuat biskut itu yang sepadan bagi tahun 2008 jika kos membuatnya pada tahun 2006 ialah RM585.
(c)    Kos membuat biskut itu dijanka meningkat sebanyak 40% dari tahun 2008 ke 2010. Carikan nombor indeks gubahan kos membuat biskut itu yang dijangkakan pada tahun 2010 berasaskan tahun 2006.

Penyelesaian:
(a)
I= P 1 P 0 ×100 I= P 2008 P 2006 ×100 125= x 0.80 ×100 x=RM1.00

y= 2.80 2.00 ×100 y=140 150= 0.60 z ×100 z=RM0.40

(b)(i)


Bahan
Indeks harga pada tahun 2008 berasaskan tahun 2006

Pemberat
P
125
80
Q
y
120
R
150
100
S
80
60

Sektor P = 360o– 120o – 100o – 60o = 80o

Nombor indeks gubahan bagi kos membuat biskut pada tahun 2008 berasaskan tahun 2006
I ¯ = IW W I ¯ = ( 125 )( 80 )+( 140 )( 120 )+( 150 )( 100 )+( 80 )( 60 ) 80+120+100+60 I ¯ = 46600 360 I ¯ =129.44  

(b)(ii)
I ¯ = P 2008 P 2006 ×100 129.44= P 2008 585 ×100  
Oleh itu, kos membuat biskut itu bagi tahun 2008 ialah RM757.22.

(c)

tahun 2006  +29.44%  tahun 2008  +40%  tahun 2010
Oleh itu, indeks gubahan jangkaan pada tahun 2010 berasaskan tahun 2006,
  I ¯ =129.44× 140 100 =181.22

Bab 11 Nombor Indeks

11.2 Indeks Gubahan
1.      Indeks gubahan ialai nilai purata semua nombor indeks dan kepentingan setiap barangan yang terlibat diambil kira.

Indeks gubahan,    I ¯ = ΣIW ΣW     , dengan keadaan
I = Nombor indeks
W = Pemberat

v  Pemberat, w bagi sesuatu perkara mewakili kepentingannya berbanding dengan perkara-perkara lain yang dikaji.
v  Simbol Ʃ bermakna hasil tambah.


Contoh 1:

Mi
Indeks harga
Pemberat
Mi goreng
112
4
Mi Tomyam
104
3
Mi Rebus
109
2
Mi Wantan
111
1






Jadual di atas menunjukkan indeks harga bagi beberapa jenis mi yang dijual di satu restoran bagi tahun 2000 berasaskan tahun 1996 serta pemberat masing-masing. Hitung indeks gubahan bagi tahun 2000 berasaskan tahun 1996.

Penyelesaian:
I ¯ = IW W I ¯ = ( 112 )( 4 )+( 104 )( 3 )+( 109 )( 2 )+( 111 )( 1 ) 4+3+2+1 I ¯ = 448+312+218+111 10 I ¯ = 1089 10 =108.9



Contoh 2:

Barangan
Indeks harga
Pemberat
P
110
4
Q
x
2
R
120
1
S
115
3






Jadual di atas menunjukkan indeks harga bagi beberapa jenis barangan, P, Q, R dan S, bagi tahun 2002 berasaskan tahun 1997 dan pemberat masing-masing. Jika indeks gubahan bagi tahun 2002 berasaskan tahun 1997 ialah 116.5, cari nilai x.

Penyelesaian:
I ¯ = IW W 116.5= ( 110 )( 4 )+( x )( 2 )+( 120 )( 1 )+( 115 )( 3 ) 4+2+1+3 116.5= 440+2x+120+345 10 116.5= 905+2x 10
1165 = 905 + 2x
2x = 260
x = 130

Bab 11 Nombor Indeks

11.1 Nombor Indeks
1. Nombor indeks ialah suatu sukatan yang digunakan untuk menunjukkan perubahan suatu kuantiti terhadap masa. Kuantiti itu boleh jadi gaji, harga barang, penghasilan dan sebagainya.

Nombor indeks,   I= Q 1 Q 0 ×100   , dengan keadaan
Q0 = kuantititi pada masa asas
Q1 = kuantititi pada masa tertentu


Harga indeks,   I= P 1 P 0 ×100    , dengan keadaan
P0 = Harga pada masa asas
P1 = Harga pada masa tertentu

2.      Indeks harga ialah suatu peratusan, tetapi tanda % tidak ditulis.
3.      Indeks harga pada masa asas ialah 100, iaitu apabila Q 1 = Q0 I = 100.


Contoh 1:
Harga sebuah rumah yang Encik Sulaimanbeli pada tahun 1998 ialah RM110 000. Dalam tahun 2000, harga rumah tersebut meningkat hingga RM130 000. Hitung indeks harga rumah itu bagi tahun 2000 dengan menggunakan tahun 1998 sebagai tahun asas.

Penyelesaian:
P 0 =RM110000 P 1 =RM130000 I= P 1 P 0 ×100 I= 130000 110000 ×100 I=118.18  


Contoh 2:
Harga bagi sebotol minyak masak dalam tahun 1999 ialah RM15.00. Diberi indeks harga bagi tahun 2000 berasaskan tahun tahun 1999 ialah 105, hitung harga sebotol minyak masak dalam tahun 2000.

Penyelesaian:
P 0 =RM15 P 1 =x  (Harga 2000 ) I= P 1 P 0 ×100 105= x 15 ×100 1575=100x x=RM15.75  


Contoh 3:
Berasaskan tahun 1995, nombor indeks bagi sebuah ketuhar bagi tahun 1998 dan tahun 2001 adalah 110 dan 130 masing-masing. Cari nombor indeks bagi tahun 2001 dengan menggunakan tahun 1998 sebagai tahun asas.

Penyelesaian:
Diberi,  P 1998 P 1995 ×100=110  dan  P 2001 P 1995 ×100=130 P 2001 P 1998 ×100= P 2001 P 1995 × P 1995 P 1998 ×100                   = 130 100 × 100 110 ×100                    =118.18

Bab 11 Nombor Indeks

11.3 Nombor Indeks, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:
Jadual bawah menunjukkan harga, indeks harga dan pemberat bagi empat jenis alat tulis A, B, C dan D.

Alat tulis
Harga (RM) per unit
Indeks harga pada tahun 2009 berasaskan tahun 2008
Pemberat
Tahun 2008
Tahun 2009
A
2.50
2.00
x
2
B
3.50
4.20
120
3
C
2.00
y
135
m
D
z
5.80
116
4

(a)    Cari nilai
(i)    x,         (ii)        y,         (iii)       z.
(b)   Indeks gubahan bagi harga alat tulis tersebut pada tahun 2009 berasaskan tahun 2008 ialah 118.5. Hitung nilai m.
(c)    Jumlah perbelanjaan alat tulis tersebut pada tahun 2008 ialah RM350.
Hitung jumlah perbelanjaan yang sepadan pada tahun 2009.
(d)   Indeks harga bagi Bpada tahun 2010 berasaskan tahun 2008 ialah 132. Hitung indeks harga bagi B pada tahun 2010 berasaskan tahun 2009.

Penyelesaian:
(a)(i)
I= P 1 P 0 ×100 x= P 2009 P 2008 ×100 x= 2 2.5 ×100 x=80

(a)(ii)
135= P 2009 2 ×100 135= y 2 ×100 y=RM2.70

(a)(iii)
116= 5.80 P 2008 ×100 116= 5.80 z ×100 z=RM5

(b)
Indeks gubahan bagi harga alat tulis pada tahun 2009 berasaskan tahun 2008, I ¯ =118.5 
I ¯ = IW W 118.5= ( 80 )( 2 )+( 120 )( 3 )+( 135 )( m )+( 116 )( 4 ) 2+3+m+4 118.5= 984+135m 9+m  
1066.5 + 118.5m = 984 + 135m
16.5m = 82.5
m = 5

(c)
I ¯ = P 2009 P 2008 ×100 118.5= P 2009 350 ×100  
Oleh itu, jumlah perbelanjaan pada tahun 2009, P2009 = RM414.75.

(d)
Bagi alat tulis B,
Diberi  P 2010 P 2008 ×100=132  P 2010 P 2008 = 132 100 dan  P 2009 P 2008 ×100=120  P 2009 P 2008 = 120 100

Indeks harga bagi alat tulis B pada tahun 2010 berasaskan tahun 2009
I 10/09 = P 2010 P 2009 ×100 I 10/09 = P 2010 P 2008 × P 2008 P 2009 ×100 I 10/09 = 132 100 × 100 120 ×100 I 10/09 =110

Bab 11 Nombor Indeks

Soalan 2:
Rajah di bawah menunjukkan carta palang bagi perbelanjaan mingguan untuk barangan A, B, C, D dan E pada tahun 2000. Jadual 1 menunjukkan harga dan indeks harga barangan tersebut.

Baragan
Harga pada 2000
Harga pada 2006
Indeks Harga 2006 dengan 2000 sebagai tahun asas
A
x
RM 1.75
140
B
RM 2.00
RM 2.50
125
C
RM 4.00
RM4.80
y
D
RM 6.00
z
125
E
RM 2.50
2.75
110
Jadual 1

(a)    Cari nilai
        i.      x
      ii.      y
    iii.      z                                                                                          

(b)   Kirakan nombor indeks gubahan bagi harga barangan itu pada tahun 2006 dengan tahun 2000 sebagai tahun asas.
                                                                                                                            
(c)    Jumlah perbelanjaan bulanan bagi barangan itu pada tahun 2000 ialah RM456. Hitungkan jumlah perbelanjaan bulanan yang sepadan pada tahun 2006.
                                                                                                                            
(d)   Kos barangan itu meningkat 15% dari tahun 2006 ke tahun 2009.
Carikan nombor indeks gubahan tahun 2009 dengan tahun 2000 sebagai tahun asas.

Penyelesaian:
(a)(i)
I= P 1 P 0 ×100 I= P 2006 P 2000 ×100 140= 1.75 x ×100 x=RM1.25

(a)(ii)
I= P 2006 P 2000 ×100 y= 4.80 4.00 ×100 y=120

(a)(iii)
I= P 2006 P 2000 ×100 125= z 6.00 ×100 z=RM7.50

(b)

Baragan
Indeks Harga 2006 dengan 2000 sebagai tahun asas
Pemberat
(dari rajah di atas)
A
140
15
B
125
30
C
120
24
D
125
33
E
110
12

Nombor indeks gubahan bagi harga barangan itu pada tahun 2006 dengan tahun 2000 sebagai tahun asas,
I ¯ = IW W I ¯ = ( 140 )( 15 )+( 125 )( 30 )+( 120 )( 24 )+( 125 )( 33 )+( 110 )( 12 ) 15+30+24+33+12 I ¯ = 14175 114 I ¯ =124.34

(c)
I= P 1 P 0 ×100 
Katakan jumlah perbelanjaan bagi barangan itu pada tahun 2006 ialah P2006
I= P 2006 P 2000 ×100 124.34= P 2006 RM456 ×100 P 2006 =RM567

(d)
Katakan nombor indeks gubahan tahun 2009 berasaskan tahun 2000 ialah  
I ¯ 2009 =124.34× 115 100 I ¯ 2009 =143


Bab 11 Nombor Indeks

11.3 Nombor Indeks, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:
Jadual di bawah menunjukkan indeks harga dan peratus penggunaan bagi empat bahan , P, Q, R dan S, yang meruapakan bahan utama dalam pengeluaran suatu jenis barang mainan.

Bahan
Indeks harga dalam tahun 2007 berasaskan tahun 2004
Peratus penggunaan
(%)
P
125
30
Q
x
20
R
115
10
S
135
40

(a) Hitung
(i)    harga bahan S pada tahun 2004 jika harganya pada tahun 2007 ialah RM43.20,
(ii)   indeks harga P pada tahun 2007 berasaskan tahun 2002 jika indeks harga pada tahun 2004 berasaskan tahun 2002 ialah 110.
(b)  Indeks gubahan bagi kos pengeluaran barang mainan itu pada tahun 2007 berasaskan tahun 2004 ialah 125.
Hitung
(i)    nilai  x ,
(ii)   harga bagi barang mainan itu pada tahun 2004 jika harga yang sepadan pada tahun 2007 ialah RM75.

Penyelesaian:
(a)(i)
135= 43.2 P 2004 ×100 P 2004 = 43.2×100 135 =32  

Maka, harga bahan Spada tahun 2004 ialah RM32.

(a)(ii)
Diberi  P 2004 P 2002 ×100=110  P 2004 P 2002 = 110 100 dan  P 2007 P 2004 ×100=125  P 2007 P 2004 = 125 100

Indeks harga Ppada tahun 2007 berasaskan tahun 2002,
I= P 2007 P 2002 ×100 I= P 2007 P 2004 × P 2004 P 2002 ×100 I= 125 100 × 110 100 ×100 I=137.50  

(b)(i)
Diberi indeks gubahan  I ¯ =125 I ¯ = IW W 125= ( 125 )( 30 )+( x )( 20 )+( 115 )( 10 )+( 135 )( 40 ) 30+20+10+40 125= 10300+20x 100 12500=10300+20x x=110  

(b)(i)
Katakan harga bagi barang mainan itu pada tahun 2004 ialah P2004

P 2004 × 125 100 =75 P 2004 =RM60

Bab 6 Geometri Koordinat

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 6:
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak akan diterima.
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga OPQ.  Titik S terletak pada garis PQ.

(a)   Suatu titik Y bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik S adalah sentiasa 5 uint.
      Cari persamaan lokus Y.   
            (b)   Diberi bahawa titik P dan titik Q terletak pada lokus Y.
Hitung
            (i)     nilai k,
            (ii)   koordinat Q.
(c)    Seterusnya, cari luas, dalam uint2, bagi segi tiga OPQ.

Penyelesaian:
(a)
Katakan koordinat titik Yialah (x, y), dan YS = 5 unit
( x5 ) 2 + ( y3 ) 2 =5 
x2 – 10x + 25 + y2 – 6y + 9 = 25
x2 + y2 – 10x – 6y + 9 = 0

(b)(i)
Diberi titik P (2,k) terletak pada lokus Y
(2)2 + (k)2– 10 (2) – 6 (k) + 9 = 0
4 + k2 – 20 – 6k + 9 = 0
k2 – 6k – 7 = 0
(k – 7) (k + 1) = 0
k = 7  atau  k = –1
Berdasarkan rajah, k = 7  

(b)(ii)
Diberi P dan Q terletak pada lokus Y, Sialah titik tengah PQ. P = (2, 7), S = (5, 3)
Katakan koordinat Q = (x, y),
( 2+x 2 , 7+y 2 )=( 5,3 ) 2+x 2 =5       dan        7+y 2 =3  
2 + x = 10       dan   7 + y= 6
       x = 8        dan         y = –1

Koordinat Q = (8, –1).

(c)
Luas ∆ OPQ
= 1 2 | 0     8     2    0  1     7   0 0 | = 1 2 |0+( 8 )( 7 )+00( 1 )( 2 )0| = 1 2 | 58| =29  unit 2