Bab 3 Fungsi Kuadratik

3.7 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 2:
  
Rajah di atas menunjukkan graf fungsi kuadratik y = f(x). Garis lurus y = –4 ialah tangen kepada lengkung y = f(x).
(a)    Tulis persamaan paksi simetri untuk fungsi f(x).
(b)   Ungkapakan f(x) dalam bentuk (x + p)2 + q , dengan keadaan p dan q ialah pemalar.
(c)    Cari julat nilai xsupaya
(i)     f(x) < 0,            (ii) f(x) ≥ 0.

Penyelesaian:
(a)
Koordinat-x titik minimum = titik tengah bagi (–2, 0) dan (6, 0)
= 2+6 2 =2 
Maka, persamaan paksi simetri untuk fungsi f(x) ialah x = 2.

(b)
Gantikan x = 2 dalam x + p = 0,
2 + p = 0
p = –2
dan q = –4 (nilai f(x) yang paling kecil)
Maka, f(x) = (x + p)2 + q
f(x) = (x – 2)2 – 4

(c)(i) Daripada graf, bagi f(x) < 0, julat nilai x ialah –2 < x < 6 ← (bahagian graf di bawah paksi-x).

(c)(ii) Daripada graf, bagi f(x) ≥ 0, julat nilai x ialah x ≤ –2 atau x ≥ 6 ← (bahagian graf di atas paksi-x).

Bab 12 Janjang

1.4 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)
Soalan 2:
Satu bulatan, jejari 10 cm dibahagikan kepada 4 sektor dengan keadaan luas sektor-sektor itu adalah dalam janjang geometri. Diberi bahawa luas sector yang paling besar ialah 8 kali luas sektor yang paling kecil. Cari luas sektor yang paling besar itu.

Penyelesaian:
Katakan luas yang terkecil
= ½ (10)2θ ← (Luas sektor = ½ j2 θ)
= 50 θ
nisbah sepunya = r
janjang geometri ialah 50 θ, 50 θr, 50 θr2, 50 θr3.

diberi bahawa luas sektor yang paling besar ialah 8 kali luas sektor yang paling kecil,
50 θr3 = 8 (50 θ)
r3 = 8
r= 2

Jumlah luas semua sektor
= luas bulatan = πj2
= π (10)2 = 100π

S4 = 100π
50θ( r 4 1 ) r1 =100π 50θ( 2 4 1 ) 21 =100π 50θ( 15 )=100π θ= 2π 15

T4 = 50 θr3
T 4 =50( 2π 15 ) ( 2 ) 3  
T4 = 167.6 (π = 3.142)
Luas sektor terbesar = 167.6 cm2

Bab 12 Janjang

1.4 Janjang, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 1:
Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada susunan batu-bata  yang sama saiz dalam suatu tapak pembinaan.



Bilangan bata pada garis yang paling bawah ialah 100 ketul. Bagi baris-baris yang berikutnya, bilangan bata adalah 2 ketul kurang daripada baris yang di bawahnya. Tinggi setiap ketul bata itu ialah 7 cm.
Rahman membina sebuah tembok dengan mneyusun bata mengikut susunan itu. Bilangan bata pada garis yang paling atas ialah 4 ketul.
Hitungkan
(a)    tinggi, dalam cm, tembok itu.
(b)   jumlah harga bata yang digunakan jika harga seketul bata ialah 50 sen.

Penyelesaian:
100, 98, 96, …, 4 adalah satu janjang aritmetik
a= 100 dan d = –2

(a)
Tn= 4
a + (n – 1) d = 4
100 + (n – 1)(–2) = 4
100 – 2n + 2 = 4
2n = 98
n= 49
Maka, tinggi tembok = 49 × 7 = 343 cm

(b)
Jumlah bata yang digunakan
= S49
= 49 2 ( 100+4 ) rumus,  S n = n 2 ( a+l )  
= 2548
Maka, jumlah harga = 2548 × RM0.50
                                     = RM1,274

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 2:
Diberi α dan β ialah punca-punca bagi persamaan kuadratik (2x + 5)(x + 1) + p = 0 dengan keadaan αβ = 3 dan p ialah pemalar.
Cari nilai p, α dan β.

Penyelesaian:
(2x + 5)(x + 1) + p = 0
2x2 + 2x + 5x + 5 + p = 0
2x2 + 7x + 5 + p = 0
*Bandingkan dengan, x2 – (hasil tambah dua punca)x + hasil darab dua punca = 0
x 2 + 7 2 x+ 5+p 2 =0 bahagi kedua-dua belah dengan 2  
Hasil darab dua punca, αβ = 3
5+p 2 =3 
5 + p = 6
p = 1

Hasil tambah dua punca = 7 2  
  α+β= 7 2   (1) dan αβ=3   (2) daripada (2), β= 3 α    (3) Gantikan (3) ke dalam (1), α+ 3 α = 7 2  

2+ 6 = 7α  ← (darab kedua-dua belah dengan 2α)
2+ 7α + 6 = 0
(2α + 3)(α + 2) = 0
2α + 3 = 0      atau     α + 2 = 0
α= 3 2                        α = –2

Gantikan α= 3 2  dalam (3), β= 3 3 2 =3( 2 3 )=2  

Gantikan α = –2 dalam (3),

β= 3 2 Oleh itu, p=1, dan apabila α= 3 2 ,β=2 dan α=2,β= 3 2 .  


Bab 5 Indeks dan Logaritma

5.6 Indeks dan Logaritma, SPM Praktis (Soalan Panjang)
Soalan 1
(a)  Cari nilai bagi
        i.       2 log2 12 + 3 log25 – log2 15 – log2 150.
     ii.       log832
(b) Tunjukkan bahawa 5n  + 5n + 1 + 5n + 2 boleh dibahagi dengan 31 bagi semua nilai nyang merupakan integer positif.

Penyelesaian:
(a)(i)
2 log2 12 + 3 log2 5 – log215 – log2 150
= log2 122 + log2 53– log2 15 – log2 150
= log 2 12 2 × 5 3 15×150  
= log2 8
= log2 23
= 3

(a)(ii)
log 8 32= log 2 32 log 2 8            = log 2 2 5 log 2 2 3 = 5 3  

(b)
5n   + 5n + 1 + 5n + 2
= 5n   + (5 × 5n ) + (52 × 5n )
= 5n  (1 + 5 + 52)
= 31 × 5n  
Oleh itu, 5n   + 5n + 1 + 5n + 2 boleh dibahagi dengan 31 bagi semua nilai nyang merupakan integer positif.


Soalan 2:
(a)  Diberi log10 x = 3 dan log10y = –2. Tunjukkan bahawa 2xy – 10000y2 = 19.
(b)  Selesaikan persamaan log3 x = log9(x + 6).

Penyelesaian:
(a)
log10x = 3      → (x = 103)
log10y = –2    → (y = 10-2)
2xy – 10000y2 = 19
Sebelah kiri:
2xy – 10000y2
= 2 × 103 × 10-2 – 10000 (10-2)2
= 20 – 10000 (10-4)
= 20 – 1
= 19
= sebelah kanan

(b)
log 3 x= log 9 ( x+6 ) log 3 x= log 3 ( x+6 ) log 3 9 log 3 x= log 3 ( x+6 ) log 3 3 2 log 3 x= log 3 ( x+6 ) 2  
2log3 x= log3 (x + 6)
log3 x2= log3 (x + 6)
x2 = x + 6
x2 x – 6 = 0
(x + 2) (x – 3) = 0
x = – 2 atau 3.
log3 (– 2) tidak wujud.
Jadi, x = 3.

Bab 3 Fungsi Kuadratik

3.7 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 1:
Tanpa menggunakan kaedah pembezaan atau melukis graf, cari nilai maksimum atau nilai minimum bagi fungsi y = 2 + 4x – 3x2. Seterusnya, cari persamaan paksi simetri bagi graf fungsi itu.

Penyelesaian:
Menyempurnakan kuasa dua bagi fungsi y dalam bentuk y = a(x+ p)2 + q untuk mencari nilai maksimum  atau nilai minimum bagi fungsi y.

y = 2 + 4x – 3x2
y = – 3x2 + 4x + 2 ← (Tulis dalam bentuk am)
y=3[ x 2 4 3 x 2 3 ] y=3[ x 2 4 3 x+ ( 4 3 × 1 2 ) 2 ( 4 3 × 1 2 ) 2 2 3 ] y=3[ ( x 2 3 ) 2 ( 2 3 ) 2 2 3 ]  

y=3[ ( x 2 3 ) 2 4 9 6 9 ] y=3[ ( x 2 3 ) 2 10 9 ] y=3 ( x 2 3 ) 2 + 10 3 Bentuk a (x+p) 2 +q

Didapati a = –3 < 0,
maka fungsi y mempunyai nilai maksimum 10 3 . 
x 2 3 =0 x= 2 3
Persamaan paksi simetri bagi graf fungsi itu ialah x= 2 3 .  


Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:
(a)  Cari nilai-nilai k supaya persamaan (1 – k) x2– 2(k + 5)x + k + 4 = 0 mempunyai punca yang sama.
Seterusnya, cari punca persamaan itu berdasarkan nilai-nilai k yang diperoleh.
(b)  Diberi lengkung y = 5 + 4x x2 mempunyai persamaan tangen dalam bentuk y = px + 9. Hitung nilai-nilai p yang mungkin.

Penyelesaian:
(a)
Bagi punca-punca yang sama,
b2 – 4ac = 0
[–2(k + 5)] 2 – 4(1 – k)( k + 4) = 0
4(k + 5) 2 – 4(1 – k)( k + 4) = 0
4(k2 + 10k + 25) – 4(4 – 3k k 2 ) = 0
4k2 + 40k + 100 – 16 + 12k + 4k2= 0
8k2 + 52k + 84 = 0
2k2 + 13k + 21 = 0
(2k + 7) (k + 3) = 0
k= 7 2 , 3

Jika k= 7 2 , persamaan ialah
( 1+ 7 2 ) x 2 2( 7 2 +5 )x 7 2 +4=0 9 2 x 2 3x+ 1 2 =0  

9x2 – 6x + 1 = 0
(3x – 1) (3x – 1) = 0
x

Jika k = –3, persamaan ialah
(1 + 3)x 2 – 2(–3 + 5)x – 3 + 4 = 0
4x2 – 4x + 1 = 0
(2x – 1) (2x – 1) = 0
x ½

(b)
y = 5 + 4x x2 ----- (1)
y = px + 9 ---------- (2)
(1)  = (2), 5 + 4x x2= px + 9
x 2 + px – 4x + 9 – 5 = 0
x 2 + (p – 4)x + 4 = 0

Persamaan tangen mempunyai hanya satu titik persilangan, puncanya adalah sama.
b2 – 4ac = 0
(p – 4)2 – 4(1)(4) = 0
p 2 – 8p + 16 – 16 = 0
p 2 – 8p = 0
p (p – 8) = 0
Maka, p = 0 dan p = 8.

Bab 19 Taburan Kebarangkalian

8.4 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:
Dalam suatu peperiksaan, 2 daripada 5 pelajar yang mengambil peperiksaan itu gagal dalam kertas kimia.
(a)     Jika 6 orang dipilih secara rawak daripada pelajar-pelajar, cari kebarangkalian bahawa tidak melebihi 2 orang pelajar gagal dalam kertas kimia.
(b)   Jika terdapat 200 orang pelajar tingkatan 4 dalam sekolah itu, cari min dan sisihan piawai bilangan orang pelajar gagal kertas kimia.

Penyelesaian:
(a)
X ~ Bilangan pelajar gagal kertas kimia
X ~ B (n, p)
X~B( 6,  2 5 )

P (X = r) = nCr. pr. qn-r
P (X ≤ 2)
= P(X = 0) + P(X = 1) + P(X= 2)
= C 6 0 ( 2 5 ) 0 ( 3 5 ) 6 + C 6 1 ( 2 5 ) 1 ( 3 5 ) 5 + C 6 2 ( 2 5 ) 2 ( 3 5 ) 4  
= 0.0467 + 0.1866 + 0.3110
= 0.5443

(b)
X ~ B (n, p)
X~B( 200,  2 5 ) Min bagi X =np=200× 2 5 =80 Sisihan piawai bagi X = npq = 200× 2 5 × 3 5 = 48 =6.93



Soalan 2:
5% daripada bekalan mangga diterima oleh sebuah supermarket adalah rosak.
(a)    Jika suatu sampel yang terdiri daripada 12 biji mangga dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya 2 biji mangga adalah rosak.
(b)   Cari bilangan minimum mangga yang perlu dipilih supaya kebarangkalian untuk mendapatkan sekurang-kurangnya sebiji mangga rosak adalah lebih daripada 0.85.  
  
Penyelesaian:
(a)
X ~ B (12, 0.05)
1 – P(X ≤ 1)
= 1 – [P(X = 0) + P (X = 1)]
= 1 – [12C0 (0.05)0 (0.95)12 + 12C1 (0.05)1 (0.95)11]
= 1 – 0.8816
= 0.1184

(b)
P (X ≥ 1) > 0.85
1 – P(X = 0) > 0.85
P (X = 0) < 0.15
nC0(0.05)0 (0.95)n< 0.15
nlg 0.95 < lg 0.15
n > 36.98
n = 37

Oleh itu, bilangan minimum mangga yang perlu dipilih ialah 37 sekiranya kebarangkalian lebih daripada 0.85.


Soalan 3:
Dalam suatu kajian di sebuah sekolah, didapati bahawa 20% daripada pelajar tingkatan 5 gagal dalam peperiksaan tengah tahun. Jika 8 orang pelajar daripada sekolah itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa
(a)    tepat 2 orang pelajar gagal dalam peperiksaan tengah tahun,
(b)   kurang daripada 3 orang pelajar gagal dalam peperiksaan tengah tahun.

Penyelesaian:
(a)
p = 20% = 0.2,
q = 1 – 0.2 = 0.8
X ~ B (8, 0.2)

P (X = 2)
8C2 (0.2)2 (0.8)6
= 0.2936

(b)
P (X < 3)
= P(X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)
= 8C0 (0.2)0 (0.8)8+ 8C1 (0.2)1 (0.8)7+ 8C2 (0.2)2(0.8)6
= 0.16777 + 0.33554 + 0.29360
= 0.79691

Bab 19 Taburan Kebarangkalian

8.2c Kebarangkalian Sesuatu Peristiwa
Contoh:
Jisim epal dalam sebuah gerai adalah bertaburan normal dengan min 220g dan varians 100g. Cari kebarangkalian bahawa sebiji epal dipilih secara rawak mempunyai jisim
(a) lebih daripada 230g.
(b) di antara 210g dengan 225g.
Seterusnya, cari nilai h supaya 90% daripada epal mempunyai jisim lebih daripada h g.

Penyelesaian:
μ = 220g
σ = √100 = 10g
Katakan X ialah jisim buah epal.
(a)
P (X > 230)
=P( Z> 230220 10 ) Tukar kepada taburan normal piawai ~ rumus Z= Xμ σ  
= P (Z > 1)
= 0.1587

(b)
P (210 < X < 225)
=P( 210220 10 <Z< 225220 10 ) Tukar kepada taburan normal piawai
= P (–1 < Z < 0.5)
= 1 – P (Z > 1) – P (Z > 0.5)
= 1 – 0.1587 – 0.3085
= 0.5328

90% (kebarangkalian = 0.9) daripada epal mempunyai jisim lebih daripada h g,
P(X > h) = 0.9
P(X < h) = 1 – 0.9
                = 0.1
Daripada sifir taburan normal piawai,
P(Z > 0.4602) = 0.1
P(Z < –0.4602) = 0.1

h220 10 =0.4602
h – 220 = – 4.602
h = 215.4




Bab 19 Taburan Kebarangkalian

8.2b Taburan Normal Piawai (Contoh 3)
Contoh 3:
Cari nilai bagi k jika
(a) P(Z > k) = 0.0480
(b) P(Z > k) = 0.8350

Penyelesaian:
(a)


Daripada sifir taburan normal piawai, k = 1.665

Z
6
5 (Tolak)
1.6
.0485
5

  
(b)


Daripada sifir taburan normal piawai,
k = –0.974 ← (nilai k adalah negatif kerana ia berada di sebelah kiri lengkung normal.


Z
7
4 (Tolak)
0.9
.1660
10