Derive By First Principle – Example 1

Solving Equation of Index Number

Example

Derive the equation $$y = {x^2} + \frac{3}{x}$$ by using first principle.

$$\eqalign{ & y = {x^2} + \frac{3}{x} \cr & \frac{{dy}}{{dx}} = \mathop {\lim }\limits_{\delta x \to 0} \frac{{\delta y}}{{\delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\delta x \to 0} \frac{{\left( {y + \delta y} \right) – y}}{{\delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\delta x \to 0} \frac{{\left[ {{{\left( {x + \delta x} \right)}^2} + \frac{3}{{x + \delta x}}} \right] – \left[ {{x^2} + \frac{3}{x}} \right]}}{{\delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\delta x \to 0} \frac{{{x^2} + 2x\delta x + \delta {x^2} – {x^2} + \frac{3}{{x + \delta x}} – \frac{3}{x}}}{{\delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\delta x \to 0} \frac{{2x\delta x + \delta {x^2}}}{{\delta x}} + \frac{{\frac{{3x – 3(x + \delta x)}}{{x(x + \delta x)}}}}{{\delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\delta x \to 0} 2x + \delta x + \frac{{ -3 \delta x}}{{x(x + \delta x)}} \times \frac{1}{{\delta x}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{\delta x \to 0} 2x + \delta x + \frac{{ – 3}}{{x(x + \delta x)}} \cr & = 2x – \frac{3}{{{x^2}}} \cr} $$

$$\frac{{dy}}{{dx}} = \mathop {\lim }\limits_{\delta x \to 0} \frac{{\delta y}}{{\delta x}}$$

Selesaikan Persamaan Nombor Indeks – Contoh 1

Selesaikan Persamaan Nombor Indeks

Contoh

Selesaikan persamaan 5x-1 + 5x+2 = 3150

$$\eqalign{
& {5^{x – 1}} + {5^{x + 2}} = 3150 \cr
& \frac{{{5^x}}}{5} + {5^x} \times {5^2} = 3150 \cr
& \frac{{{5^x}}}{5} + \frac{{125 \times {5^x}}}{5} = 3150 \cr
& 126 \times {5^x} = 5 \times 3150 \cr
& {5^x} = \frac{{5 \times 3150}}{{126}} \cr
& {5^x} = 125 = {5^3} \cr
& x = 3 \cr} $$

$$\eqalign{
& {a^m} \times {a^n} = {a^{m + n}} \cr
& {a^m} \div {a^n} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}} \cr
& {\text{Hence}} \cr
& {5^{x – 1}} = {5^x} \div 5 = \frac{{{5^x}}}{5} \cr
& {5^{x + 2}} = {5^x} \times {5^2} \cr} $$

Solving Equation of Index Number – Example 1

Solving Equation of Index Number

Example

Solve the equation 5x-1 + 5x+2 = 3150

$$\eqalign{
& {5^{x – 1}} + {5^{x + 2}} = 3150 \cr
& \frac{{{5^x}}}{5} + {5^x} \times {5^2} = 3150 \cr
& \frac{{{5^x}}}{5} + \frac{{125 \times {5^x}}}{5} = 3150 \cr
& 126 \times {5^x} = 5 \times 3150 \cr
& {5^x} = \frac{{5 \times 3150}}{{126}} \cr
& {5^x} = 125 = {5^3} \cr
& x = 3 \cr} $$

$$\eqalign{
& {a^m} \times {a^n} = {a^{m + n}} \cr
& {a^m} \div {a^n} = \frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}} \cr
& {\text{Hence}} \cr
& {5^{x – 1}} = {5^x} \div 5 = \frac{{{5^x}}}{5} \cr
& {5^{x + 2}} = {5^x} \times {5^2} \cr} $$

Derived Quantities

1.2.2 Derived Quantities

  1. A derived quantity is a Physics quantity that is not a base quantity. It is the quantities which derived from the base quantities through multiplying and/or dividing them.
  2. For example, speed is define as rate of change of distance, Mathematically, we write this as Speed = Distance/Time. Both distance and time are base quantities, whereas speed is a derived quantity as it is derived from distance and time through division. Example
    (Speed is derived from dividing distance by time.)
  3. Belows are the derived quantities that you need to know in SPM. You need to know the equation of all the quantities, so that you can derive their unit from the equation.
  4. If you find it difficult to memorise all these equation, you can skip it now because you are going to learn all of them in the other chapter. 

Base Quantities

1.2.1 Base Quantities

Physical Quantity

  1. A physical quantity is a quantity that can be measured.
  2. A physical quantity can be divided into base quantity and derived quantity.

Base Quantities

  1. Base quantities are the quantities that cannot be defined in term of other physical quantity.
  2. The base quantities and its units are as in the table below:
TIPS: In SPM, you MUST remember all 5 base quantities and its SI unit.

Introduction to Physics

Introduction to Physics

1.1.1 Understanding Physics

Physics is a branch of science that studies the

  1. natural phenomena
  2. properties of matter
  3. energy

Field of study in Physics

The field of studies in Physics including

  1. Motion
  2. Pressure
  3. Heat
  4. Light
  5. Waves
  6. Electricity
  7. Magnetism and electromagnetism
  8. Electronics
  9. Nuclear Physics

SPM 2016 Matematik (Kertas Ramalan)

Bahagian A
 (52 markah)
Jawab semua soalan dalam bahagian ini.

7.      Rajah 4 menunjukkan garis lurus ST dan PQST dan PQ ialah garisan yang selari.
      Diberi persamaan garis lurus ST ialah 2y = 8x + 3.
Rajah 4
Carikan,
(a) persamaan garis lurus PQ,
(b) pintasan-x bagi garis lurus PQ.     
[ 5 markah ]
Jawapan dan penyelesaian:
(a)
2 y = 8 x + 3 y = 4 x + 3 2
m = 4

4 = 4 (6) + c 
c = 2

Guna rumus, y = mx + c   
persamaan garis lurus PQ ialah y = 4x 20. 

(b)
y = 4x 20, pada pintasan-x, y = 0
4x – 20 = 0,   y = 0
x = 5   atau   pintasan-x = 5


8.      Rajah 5 menunjukkan sukuan bulatan KLM dengan pusat M dan sector JMN berpusat di J.
           

Rajah 5
Dengan menggunakan π = 22 7 , hitung
(a)    perimeter, dalam cm, seluruh rajah,
(b)   luas, dalam cm2,  kawasan berlorek.
[6 markah]
Jawapan dan penyelesaian:
(a)
KM2 = JK2 + JM2
KM2 = 32 + 42
KM2 = 25
KM = 5 cm

Perimeter seluruh rajah
= NJ + JK + KL + LM + MN
= 4 + 3 + ( 1 4 × 2 × 22 7 × 5 ) + 5 + ( 30 360 × 2 × 22 7 × 4 ) = 7 + ( 55 7 ) + 5 + ( 44 21 ) = 21 20 21   c m

(b)
Luas kawasan berlorek
= Luas KLM + luas JMN
= ( 1 4 × 22 7 × 5 2 ) + ( 30 360 × 22 7 × 4 2 ) = 274 14 + 88 21 = 23 16 21   c m 2


9.      Rajah 6 menunjukkan graf laju-masa bagi pergerakan dua zarah, J dan K, dalam tempoh t s. Graf ABCD menunjukkan pergerakan zarah J dan graf AE menunjukkan pergerakan zarah K. Kedua-dua zarah bermula dari titik yang sama melalui laluan yang sama.
Rajah 6

(a)        Nyatakan laju seragam, dalam ms-1, zarah J.
(b)      Hitung kadar perubahan laju, dalam ms-2, zarah J dalam 13 s pertama.
(c)       Pada t s, beza antara jarak yang dilalui oleh J dan K ialah 169 m. Hitung nilai t. 
Jawapan dan penyelesaian:
(a)
Laju seragam zarah J = 26 ms-1

(b)
Kadar perubahan laju zarah J dalam 13 s pertama
= 26 0 13 0 = 2 m s 2

(c)
Diberi pada t s, beza antara jarak yang dilalui oleh J dan K ialah 169
(Jarak dilalui oleh zarah J) – (Jarak dilalui oleh zarah K) = 169
[ ½ (t – 13 + t) × 26 ] – [ ½ (26) (t )] = 169
[ 13 (2t – 13) ] – 13t  = 169
( 26t – 169 – 13t ) = 169
13t  = 338
t  = 26

SPM 2016 Matematik (Kertas Ramalan)

Bahagian A
 (52 markah)
Jawab semua soalan dalam bahagian ini.

1.      Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set E, set F dan set G dengan keadaan set semesta ξ = E F G .
Pada rajah di ruang jawapan , lorekkan
( a )   E   ' G ' ( b )   ( E F ) '   G '                                                     
[3 markah]

Jawapan:

Jawapan dan penyelesaian:
(a)



(b)



2.      Hitung nilai x dan nilai y yang memuaskan persamaan linear serentak berikut:
            x + 6 y = 12 2 3 x + 2 y = 6
[4 markah]
Jawapan dan penyelesaian:
x + 6 y = 12 x = 12 6 y ( 1 ) 2 3 x + 2 y = 6 ( × 3 ) 2 x + 6 y = 18 ( ÷ 2 ) x + 3 y = 9 ( 2 )

Gantikan (1) ke dalam (2),
12 – 6y + 3y = 9
–3y = –3
y = 1

Gantikan y = 1 ke dalam (1),
x = 12 – 6(1)
x = 6


3.
Rajah 1
Rajah 1 menunjukkan sebuah segiempat sama ABCD dan segitiga bersudut tegak PQR yang mempunyai luas yang sama.
Berdasarkan maklumat tersebut, cari nilai x.
Seterusnya, cari perimeter, dalam cm, bagi segi empat sama ABCD.                         [4 markah]

Jawapan dan penyelesaian:
( 3 x + 2 ) 2 = 1 2 ( 4 x + 8 ) 4 x 9 x 2 + 12 x + 4 = 8 x 2 + 16 x x 2 4 x + 4 = 0 ( x 2 ) ( x 2 ) = 0 x = 2

Perimeter segi empat sama ABCD
= (3x + 2) × 4
= [3(2) + 2] × 4
= 32cm


SPM 2016 Matematik (Kertas Ramalan)

Bahagian A
 (52 markah)
Jawab semua soalan dalam bahagian ini.

10. Rajah 7 menunjukkan tiga kad huruf di dalam beg A dan tiga kad nombor di dalam beg B.

Rajah  7.1

Satu kad dipilih secara rawak daripada beg A dan kemudian satu kad pula dipilih secara rawak daripada beg B.

(a) Rajah 7.2 di  ruang  jawapan  menunjukkan kesudahan peristiwa yang mungkin, yang tidak lengkap.             Lengkapkan kesudahan peristiwa yang mungkin di Rajah 7.2.

(b) Menggunakan senarai lengkap kesudahan di 10(a), cari kebarangkalian
(i) satu kad berlabel Q dan kad nombor ganjil dipilih,
(ii) satu kad berlabel P atau kad nombor gandaan 3 dipilih.
                                                                                                                                  [ 5 markah ]
            Jawapan :
(a)
Rajah  7.2

Jawapan dan penyelesaian:
(a)
(b)
n (s) = 9
(i)
P (satu kad berlabel Q dan kad nombor ganjil)
= {(Q 5), (Q 9)}
= 2 9

(ii)
P (satu kad berlabel P atau kad nombor gandaan 3)
= {(P 5), (P 6), (P 9), (Q 6), (Q 9), (R 6), (R 9)}
= 7 9


11. Diberi bahawa matriks M ialah suatu  matriks 2 × 2 dengan keadaan
M ( 2     1 1        3 ) = ( 1    0 0    1 ) .

(a) Cari matriks M.
(b)   Tulis persamaan linear serentak berikut dalam bentuk matriks:
             –2x + y = 10
             x + 3y = 9  
Seterusnya, dengan menggunakan kaedah matriks, hitung nilai x dan nilai y.
                                                                                                                               [6 markah]
Jawapan dan penyelesaian:
(a)
M = ( 2     1 1        3 ) 1    = 1 ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 3      1 1     2 )    = 1 7 ( 3      1 1     2 )    = ( 3 7       1 7 1 7          2 7 )

(b)
( 2     1 1        3 ) ( x y ) = ( 10 9 ) ( x y ) = 1 ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 3      1 1     2 ) ( 10 9 ) ( x y ) = 1 7 ( 3 × 10+ ( 1 ) ( 9 ) 1 × 10 + ( 2 ) ( 9 ) ) ( x y ) = 1 7 ( 21 28 ) ( x y ) = ( 3 4 ) x = 3 ,   y = 4