Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.2a Pemfaktoran
1. Secara amnya, jika
(x – p)(x – q) = 0
Maka
x – p = 0   atau  x – q = 0
      x = p   atau        x = q
p dan q  adalah punca-punca persamaan.

Perhatian:
1. Pastikan persamaan ditulis dalam bentuk amnya ax2 + bx+ c = 0 sebelum pemfaktoran.
2. Kaedah ini hanya boleh digunakan sekiranya ungkapan kuadratik itu boleh difaktorkan sepenuhnya.


Contoh 1:
Cari punca-punca persamaan kuadratik berikut:
(a) x (2x− 8) = 0 
(b) x2 −16x = 0
(c) 3x2 − 75x = 0
(d) 5x2 − 100x = 25x

Penyelesaian:
(a) 
x (2x − 8) = 0 
x = 0  atau  2x − 8 = 0
2x − 8 = 0
2x = 8
x = 4
x = 0  atau  x = 4

(b)
x2 −16x = 0
x (x − 16) = 0 
x = 0  atau x − 16 = 0
x = 0  atau  x = 16

(c) 
3x2 − 75x = 0
3x (x− 25) = 0  
3x = 0   atau x − 25 = 0
x = 0  atau  x = 25

(d)  
5x2 − 100x = 25x
5x2 − 100x − 25x = 0
5x2− 125x = 0
x (5x − 125) = 0 
x = 0  atau  5x − 125 = 0
5x = 125
x = 25
x = 0  atau x = 25


Contoh 2:
Selesaikan persamaan kuadratik yang berikut
(a) x 2 4x 5 = 0
(b) 1 5x + 2x 2 = 4


Penyelesaian:
(a) 
x 2 4x 5 = 0
(x – 5) (x + 1) = 0
x – 5 = 0  atau  x + 1 = 0
x = 5  atau  x = –1

(b)
1 5x + 2x 2 = 4
2x 2 5x + 1 – 4 = 0
2x 2 5x – 3 = 0
(2x + 1) (x – 3) = 0
2x + 1= 0  atau  x – 3 = 0
2x = –1  atau  x = 3
x = –½  atau  x = 3

Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.2 Penyelesaian Persamaan Kuadratik
1.Menyelesaikan sesuatu persamaan kuadratik bermakna mencari punca-punca persamaan itu.

Contoh:
Cari punca-punca persamaan kuadratik berikut:
(a) x 2 = 9
(b) 2x 2 98 = 0

Penyelesaian:
(a) x 2 = 9
     x= ±√9
     x= ±3

(b) 2x 2 98 = 0
            2x 2 = 98
            x 2 = 98/2 = 49
            x= ±√49 =  ±7

2. Persamaan kuadratik boleh diselesaikan dengan salah satu kaedah berikut:
(a) pemfaktoran,
(b) penyempurnaan kuasa dua,
(c) penggunaan rumus


Bab 2 Persamaan Kuadratik

2.1.1 Persamaan Kuadratik
1.      Persamaan Kuadratik (misalnya, 2x2 + 5x + 6 = 0) adalah persamaan yang memenuhi syarat-syarat berikut:
            (a)   Ia mengandungi tatatanda kesamaan, ‘=’
            (b)   Ia melibatkan hanya satu pembolehubah x.
            (c)    Kuasa tertinggi bagi x ialah 2.

Contoh Persamaan Kuadratik
Berikut adalah contoh-contoh persamaan kuadratik
·         2x2 + 3x + 4 = 0
·         t2 = 24
·         y (6y − 3) = 5

Contoh Persamaan Bukan Kuadratik
·         2x + 1 = 0, (Sebab: Kuasa tertinggi bagi x ≠ 2.)
·         2x3 + 1 = x, (Sebab: Kuasa tertinggi bagi x ≠ 2.)
     t 2 + 5 t =3, (Sebab:  5 t =5 t 1 ) 

Bentuk Am Persamaan Kuadratik
Bentuk am persamaan kuadratik ialah
ax2 + bx + c = 0
dengan a, b, dan c ialah pemalar dan a  0.


Contoh 1 (Cari nilai bagi a, b dan c):
Tulis semula setiap persamaan kuadratik berikut dalam bentuk am. Cari nilai a, b, dan c.
(a) (3x − 5)2 = 0
(b) (x − 8) (x + 8) = 10


Penyelesaian:





Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

2.2 Pemfaktoran Ungkapan Kuadratik

(A) Pemfaktoran ungkapan kuadratik yang berbentuk ax2+ bx + c, b = 0 atau c = 0
1.      Pemfaktoran ungkapan kuadratik ialah proses mencari dua ungkapan linear yang hasil darabnya sama dengan ungkapan kuadratik itu.
2.      Ungkapan-ungkapan kuadratik ax2 + c dan ax2 + bx yang mengandungi dua sebutan boleh difaktorkan dengan mencari faktor sepunya bagi kedua-dua sebutan itu.

Contoh 1:
Faktorkan setiap yang berikut:
(a)  2x2 + 6
(b)  7p2 – 3p
(c)  6x2 – 9x

Penyelesaian:
(a)  2x2 + 6 = 2(x2 + 3) ← (2 ialah faktor sepunya)
(b)  7p2 – 3p = p(7p – 3) ← (p ialah faktor sepunya)
(c)  6x2 – 9x = 3x (2x – 3) ← (3x ialah faktor sepunya)


(B) Memfaktorkan ungkapan kuadratik yang berbentuk ax2c , a dan c adalah nombor kuasa dua sempurna
Contoh 2:
(a) 9p2 – 16
(b) 25x2 – 1
(c) 1 4 1 25 x 2  

Penyelesaian:
(a)  9p2 – 16 = (3p)2 – 42 = (3p – 4) (3p + 4)
(b)  25x2 – 1 = (5x)2 – 12 = (5x – 1) (5x + 1)
(c) 
1 4 1 25 x 2 = ( 1 2 ) 2 ( 1 5 x ) 2               =( 1 2 1 5 x )( 1 2 + 1 5 x )  



(C) Memfaktorkan ungkapan kuadratik berbentuk ax2+ bx + c, di mana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0
Contoh 3:
Faktorkan setiap yang berikut:
(a)  3y2 + 2y – 8
(b)  4x2 – 12x + 9

Penyelesaian:
Pemfaktoran dengan kaedah darab silang.
(a)

3y2+ 2y – 8 = (3y – 4) (y + 2)

(b)


4x2– 12x + 9 = (2x – 3) (2x – 3)

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

2.1 Ungkapan Kuadratik

(A) Mengenal pasti ungkapan kuadratik
1.      Ungkapan kuadratik ialah ungkapan yang berbentuk ax2+ bx + c, dengan a, b dan c sebagai pemalar, a ≠ 0 dan x sebagai pemboleh ubah.
     2.      Ciri-ciri ungkapan kuadratik dalam satu pemboleh ubah:
           (a)  Kuasatertinggi bagi x ialah 2.
           (b)  Hanya mengandungi satu pemboleh ubah.
           (c)  Misalnya, 5x2 – 6x + 3 ialah satu ungkapan kuadratik.

Contoh 1:
Nyatakan sama ada setiap ungkapan yang berikut adalah ungkapan kuadratik atau tidak. Berikan alasan untuk jawapan anda.
     (a)  x2 – 5x + 3
     (b)  8p2 + 10
     (c)  5x + 6
     (d)  2x2 + 4y + 14
     (e) 2p+ 1 p +6    
     (f)   y3 – 3y + 1

Penyelesaian:
     (a)  Ya, x2 – 5x + 3 satu ungkapan kuadratik yang mengandungi satu pemboleh ubah x dan kuasa tertinggi x ialah 2.

     (b)  Ya, 8p2 + 10 satu ungkapan kuadratik yang mengandungi satu pemboleh ubah p dan kuasa tertinggi pialah 2.

     (c)  Tidak, 5x + 6 bukan satu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi x bukan 2.

     (d)  Tidak2x2 + 4y + 14 bukan satu ungkapan kuadratik kerana mengandungi dua pemboleh ubah x dan y.

     (e)  Tidak,   2p+ 1 p +6 bukan satu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi p bukan 2, 1 p = p 1

     (f)   Tidak, y3 – 3y + 1 bukan satu ungkapan kuadratik kerana kuasa tertinggi y bukan 2.


3.      Suatu ungkapan kuadratik dihasilkan dengan pendaraban dua ungkapan linear.
Misalnya, (2x + 3)(x – 3) = 2x2 – 3x – 9

Contoh 2:
Darabkan pasangan ungkapan linear yang berikut.
(a)  (4x + 3)(x – 2)
(b)  (y – 6)2
(c)  2x (x– 5)

Penyelesaian:
(a)  (4x + 3)(x – 2)
= (4x)(x) + (4x)( –2) +(3)(x) + (3)( –2)
= 4x2– 8x + 3x – 6
= 4x2– 5x – 6

(b)  (y – 6)2
= (y – 6)(y – 6)
= (y)(y) + (y)( –6) + (–6)(y) + (–6)( –6)
= y2– 6y – 6y + 36
= y2– 12y + 36

(c)  2x (x– 5)
= 2x(x) + 2x(–5)
= 2 x2– 10x

Bab 21 Pelan dan Dongakan

10.2 Pelan dan Dongakan
1.      Pelan adalah imej yang terbentuk apabila pepejal itu dilihat dari bahagian atas. Unjuran ortogonnya adalah pada satah mengufuk.
2.      Dongokan adalah imej yang terbentuk apabila pepejal itu dilihat dari bahagian depan atau dari bahagian sisinya. Unjuran ortogonnya adalah pada satah mencancang.
3.      Semasa melukis pelan dan dongakan bagi pepejal, In drawing plans and elevations of solids,
      (a)  Garispenuh yang tebal ( ──) digunakan untuk mewakili sisi objek yang dapat dilihat daripada arah pandangannya.
      (b)  Garis putus-putus( - - - - - ) digunakan untuk mewakili sisi objek yang terlindung daripada arah pandangan.


Contoh:








Bab 21 Pelan dan Dongakan

10.3 Pelan dan Dongakan, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Rajah di atas menunjukkan sebuah pepejal yang terdiri daripada sebuah prisma tegak dan sebuah separuh silinder yang dicantumkan pada satah EFGH . EF ialah diameter kepada separuh silinder dan berukuran 3cm. Tapak ABCD terletak di atas satu satah mengufuk dan AB = 6cm, BC = 4cm. Satah mencancang ABFE ialah keratan rentas seragam prisma itu.
Lukis dengan skala penuh, Plan pepejal itu.


Penyelesaian:



Soalan 2:

Rajah di atas menunjukkan sebuah pepejal berbentuk prisma tegak dengan tapak segi empat tepat ABCD atas sebuah meja mengufuk. Satah mencancang ABEHIL ialah keratan rentas seragam prisma itu. Segi empat tepat LIJK, IHGJ dan HEFG adalah satah condong.
Tepi AL, DK, BE dan CF adalah tegak.
Diberi BC = 4cm, AB = 6cm. EB = FC = LA= KD = 4cm, dan tinggi mencancang bagi I dan J dari tapak segi empat tepat ABCD= 3cm, manakala tinggi mencancang bagi H dan G dari tapak segi empat tepat ABCD = 5cm
Lukis dengan skala penuh, dongakan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan BC sebagaimana dilihat dari X.


Penyelesaian:


Bab 21 Pelan dan Dongakan

10.3 Pelan dan Dongakan, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:
Rajah di atas menunjukkan sebuah pepejal yang terdiri daripada sebuah prisma tegak dan sebuah separuh silinder yang dicantumkan pada satah HICB . Tapak ABCDEF terletak di atas satu satah mengufuk . Segi empat tepat LKJG ialah satah condong. Satah mencancang JDEK ialah keratan rentas seragam prisma itu. AB = CD = 2cm. BC = 4cm. CM = 12cm.
Lukis dengan skala penuh,
(a)    Plan pepejal itu,
(b)  dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan ABCDsebagaimana dilihat dari X.
(c)  dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan DEsebagaimana dilihat dari Y.

Penyelesaian:
(a)


(b)



(c)

Bab 21 Pelan dan Dongakan

10.3 Pelan dan Dongakan, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:


Rajah di atas menunjukkan pepejal berbentuk prisma tegak dicantumkan kepada sebuah kuboid pada satu satah. ABCG, CDEF, IJNH dan KLMJ adalah satah mengufuk. ABIH, AGNH dan GCJN adalah satah mencancang dan IBCJ ialah satah condong. HA= 3cm, BC = 3cm, CD = 1.5cm, HI = NJ = 3cm.
Lukis dengan skala penuh,

(a) dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan ABsebagaimana dilihat dari X.



(b)  Sebuah pepejal berbentuk separuh silinder dicantumkan kepada pepejal pada rajah (a) seperti ditunjukkan pada rajah di atas. JPON adalah satah mencancang dan JP = 1.5cm.
Lukis dengan skala penuh,
i.        plan gabungan pepejal itu,
ii.      dongakan gabungan pepejal itu pada satah mencancang yang selari dengan BCDsebagaimana dilihat dari Y.

Penyelesaian:
(a)



(b)(i)



(b)(ii)



Bab 20 Bumi sebagai Sfera

9.6 Bumi Sebagai Sfera, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 2:
P(25o S, 40o T), Qo U, 40o T), R(25o S, 10o B) dan Kadalah empat titik di permukaan bumi. PKialah diameter bumi.
(a)  Nyatakan kedudukan titik K.
(b)  Q adalah 2220 batu nautika dari P, diukur sepanjang meridian yang sama.
Hitung nilai bagi θ.
(c)  Hitung jarak, dalam batu nautika, dari P arah barat ke R, diukur sepanjang selarian latitud sepunya.
(d)  Sebuah kapal terbang berlepas dari Q dan terbang arah selatan ke P. Kemudian ia terbang arah barat ke R. Purata laju kapal terbang itu ialah 600 knot.
Hitung masa, dalam jam, yang diambil bagi keseluruhan penerbangan itu.

Penyelesaian:
(a)
PKialah diameter bumi, oleh itu latitude bagi K= 25o U
Longitud bagi K= (180o – 40o) B = 140o B
Oleh itu, kedudukantitik K = (25o U, 140o B).

(b)
Katakan pusat bumi ialah O.
POQ= 2220 60              = 37 o θ o = 37 o 25 o = 12 o Oleh itu nilai bagi θ ialah 12.

(c)
Jarak dari Pke R
= (40 + 10) × 60 × kos 25o
= 50 × 60 × kos 25o
= 2718.92 b.n.

(d)
Jumlah jarak penerbangan
= jarak dari Qke P + jarak dari P ke R
= 2220 + 2718.92
= 4938.92 batu nautika

Masa = jumlah jarak dari Q ke R purata laju           = 4938.92 600           =8.23 jam