1.5.7 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

1.5.7 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 19:

Diberi

g : x \to \frac{3 x - 5}{2 x + 7}

Fungsi g ditakrifkan untuk semua nilai x kecuali x = a. Cari niali a.

Penyelesaian:

Diingatkan bahawa g (x) tidak tertakrif jika penyebut = 0 iaitu [2x + 7 = 0]

2x + 7 = 0

2x = –7

x = - \frac{7}{2}

Apabila

x = - \frac{7}{2}

, g (x) tidak tertakrif

atau g (x) ditakrifkan untuk semua nilai x kecuali

x = - \frac{7}{2}, maka a = - \frac{7}{2}

Soalan 20:

Diberi bahawa fungsi f : x → 3x+ 2. Cari nilai

(a) f (2)

(b) f (– 5)

Penyelesaian:

Soalan 21:

Jika f : x → x² + 3x+ 2, ungkapkan setiap yang berikut dalam sebutan x:

(a) f (2x)

(b) f (3x+ 1)

Penyelesaian:

1.5.6 Fungsi, SPM Praktis (Kertas 1, soalan pendek)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 16:
Diberi fungsi h : x → 3x + 1, dan gh : x → 9x² + 6x – 4, cari
(a) h^-1 (x),
(b) g(x).

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} Katakan h^{- 1} (x) = y, \\ oleh itu h (y) = x \\ 3 y + 1 = x \\ 3 y = x - 1 \\ y = \frac{x - 1}{3} \\ ∴ h^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{3} \\ h^{- 1} : x \mapsto \frac{x - 1}{3} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} g [h (x)] = 9 x^{2} + 6 x - 4 \\ g (3 x + 1) = 9 x^{2} + 6 x - 4 \\ Katakan y = 3 x + 1 \\ oleh itu x = \frac{y - 1}{3} \\ g (y) = 9 {(\frac{y - 1}{3})}^{2} + 6 (\frac{y - 1}{3}) - 4 \\ = \frac{9 {(y - 1)}^{2}}{9} + 2 (y - 1) - 4 \\ = y^{2} - 2 y + 1 + 2 y - 2 - 4 \\ = y^{2} - 5 \\ ∴ g (x) = x^{2} - 5 \end{array}

Soalan 17:

Diberi bahawa fungsi f : x → 6x + 1. Cari nilai p jika f (4) = 4p + 5.

Penyelesaian:

f : x → 6x+ 1

f (x) = 6x + 1

f (4) = 6(4) + 1

f (4) = 25

f (4) = 4p + 5

25 = 4p + 5

4p = 25 – 5 = 20

p = 20/4 = 5

Soalan 18 (4 markah):
Rajah menunjukkan hubungan antara set A, set B dan set C.

Rajah

Diberi bahawa set A dipetakan kepada set B oleh fungsi

\frac{x + 1}{2}

dan dipetakan kepada set C oleh fg : x → x² + 2x + 4.
(a) Tulis fungsi yang memetakan set A kepada set B dengan menggunakan tatatanda fungsi.
(b) Cari fungsi yang memetakan set B kepada set C.

Penyelesaian:

(a)

g : x \to \frac{x + 1}{2}

(b)

\begin{array}{l} g (x) = \frac{x + 1}{2} \\ f g (x) = x^{2} + 2 x + 4 \\ f [g (x)] = x^{2} + 2 x + 4 \\ f (\frac{x + 1}{2}) = x^{2} + 2 x + 4 \\ Katakan \frac{x + 1}{2} = y \\ x + 1 = 2 y \\ x = 2 y - 1 \\ ∴ f (y) = {(2 y - 1)}^{2} + 2 (2 y - 1) + 4 \\ f (y) = 4 y^{2} - 4 y + 1 + 4 y - 2 + 4 \\ f (y) = 4 y^{2} + 3 \\ f (x) = 4 x^{2} + 3 \\ Maka, fungsi yang memetakan set B \\ kepada set C ialah f (x) = 4 x^{2} + 3. \end{array}

1.5.5 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 13:
Diberi fungsi g(x) = 3x dan h(x) = m – nx, dengan keadaan m dan n ialah pemalar.
Ungkapkan m dalam sebutan n dengan keadaan hg(1) = 4.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} h g (x) = h (3 x) \\ = m - n (3 x) \\ = m - 3 n x \\ h g (1) = 4 \\ m - 3 n (1) = 4 \\ m - 3 n = 4 \\ m = 4 + 3 n \end{array}

Soalan 14:
Diberi fungsi g : x → 3x – 2, cari
(a) nilai x apabila g(x) memeta kepada diri sendiri,
(b) nilai k dengan keadaan g(2 – k) = 4k.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} g (x) = x \\ 3 x - 2 = x \\ 3 x - x = 2 \\ 2 x = 2 \\ x = 1 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} g (x) = 3 x - 2 \\ g (2 - k) = 4 k \\ 3 (2 - k) - 2 = 4 k \\ 6 - 3 k - 2 = 4 k \\ - 7 k = - 4 \\ k = \frac{4}{7} \end{array}

Soalan 15:
Diberi fungsi f : x → px + 1, g : x → 3x – 5 dan fg(x) = 3px + q.
Ungkapkan p dalam sebutan q.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} f (x) = p x + 1, g (x) = 3 x - 5 \\ f g (x) = p (3 x - 5) + 1 \\ = 3 p x - 5 p + 1 \\ Diberi f g (x) = 3 p x + q \\ 3 p x - 5 p + 1 = 3 p x + q \\ - 5 p + 1 = q \\ - 5 p = q - 1 \\ 5 p = 1 - q \\ p = \frac{1 - q}{5} \end{array}

1.6.3 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 5:

\begin{array}{l} Fungsi f ditakrifkan oleh f : x \to \frac{1 + x}{1 - x}, x \neq 1. \\ Cari f^{2}, f^{3}, f^{4} dan seterusnya tulis fungsi bagi f^{51} dan f^{52} . \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} f (x) = \frac{1 + x}{1 - x}, x \neq 1 \\ f^{2} (x) = f [f (x)] = f (\frac{1 + x}{1 - x}) \\ = \frac{1 + (\frac{1 + x}{1 - x})}{1 - (\frac{1 + x}{1 - x})} = \frac{\frac{1 - x + 1 + x}{1 - x}}{\frac{1 - x - 1 - x}{1 - x}} \\ = \frac{2}{- 2 x} = - \frac{1}{x} \\ f^{3} (x) = f [f^{2} (x)] = f (- \frac{1}{x}) \\ = \frac{1 + (- \frac{1}{x})}{1 - (- \frac{1}{x})} = \frac{\frac{x - 1}{x}}{\frac{x + 1}{x}} \\ = \frac{x - 1}{x + 1} \\ f^{4} (x) = f [f^{3} (x)] = f (\frac{x - 1}{x + 1}) \\ = \frac{1 + (\frac{x - 1}{x + 1})}{1 - (\frac{x - 1}{x + 1})} = \frac{\frac{x + 1 + x - 1}{x + 1}}{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}} \\ = \frac{2 x}{2} = x \\ f^{5} (x) = f [f^{4} (x)] = f (x) = \frac{1 + x}{1 - x} (berulang) \\ ∴ f^{51} (x) = f^{3} [f^{48} (x)] = f^{3} (x) \\ = \frac{x - 1}{x + 1} \\ f^{52} (x) = f^{4} [f^{48} (x)] = f^{4} (x) = x \end{array}

Soalan 6:
Dalam rajah di bawah, fungsi g memetakan set P kepada set Q dan fungsi h memetakan set Q kepada set R.

Cari
(a) dalam sebutan x, fungsi
(i) yang memetakan set Q kepada set P,
(ii) h(x).

(b) nilai x dengan keadaan gh(x) = 8x + 1.

Penyelesaian:
(a)(i)

\begin{array}{l} g (x) = 3 x + 2 \\ Katakan g^{- 1} (x) = y \\ g (y) = x \\ 3 y + 2 = x \\ y = \frac{x - 2}{3} \\ g^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{3} \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} h g (x) = 12 x + 5 \\ h (3 x + 2) = 12 x + 5 \to g (x) = 3 x + 2 \\ Katakan u = 3 x + 2 \\ x = \frac{u - 2}{3} \\ h (u) = 12 (\frac{u - 2}{3}) + 5 \\ = 4 u - 8 + 5 \\ = 4 u - 3 \\ h (x) = 4 x - 3 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} g h (x) = g (4 x - 3) \\ = 3 (4 x - 3) + 2 \\ = 12 x - 9 + 2 \\ = 12 x - 7 \\ 12 x - 7 = 8 x + 1 \\ 4 x = 8 \\ x = 2 \end{array}

1.6.2 Fungsi, SPM Praktis (Soalan Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 3:
Fungsi f dan g ditakrifkan oleh

\begin{array}{l} f : x \mapsto 2 x - 3 \\ g : x \mapsto \frac{2}{x}; x \neq 0 \end{array}

Ungkapkan dalam bentuk yang serupa
(a) ff,
(b) gf,
(c) f² , Hitungkan nilai x supaya ff(x) = gf(x).

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} f f (x) = f [f (x)] \\ = f (2 x - 3) \\ = 2 (2 x - 3) - 3 \\ = 4 x - 9 \\ Jadi, f f : x \mapsto 4 x - 9 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} g f (x) = g [f (x)] \\ = g (2 x - 3) \\ = \frac{2}{2 x - 3} \\ Jadi, g f : x \mapsto \frac{2}{2 x - 3} \end{array}

(c)

\begin{array}{l} Katakan f^{- 1} (x) = y, \\ maka f (y) = x \\ 2 y - 3 = x \\ y = \frac{x + 3}{2} \\ maka f^{- 1} (x) = \frac{x + 3}{2} \\ f^{- 1} : x \mapsto \frac{x + 3}{2} \\ Apabila f f (x) = g f (x), \\ 4 x - 9 = \frac{2}{2 x - 3} \\ (4 x - 9) (2 x - 3) = 2 \\ 8 x^{2} - 30 x + 27 = 2 \\ 8 x^{2} - 30 x + 25 = 0 \\ (4 x - 5) (2 x - 5) = 0 \\ 4 x - 5 = 0 atau 2 x - 5 = 0 \\ x = \frac{5}{4} atau x = \frac{5}{2} \end{array}

Soalan 4:
Fungsi f dan g ditakrifkan oleh

\begin{array}{l} f (x) = 3 x - 2 \\ g (x) = \frac{3}{x}, x \neq 0 \\ Cari \\ (a) f^{- 1} (2), \\ (b) g f (- 3), \\ (c) fungsi h jika diberi h f (x) = 3 x + 2, \\ (d) fungsi k jika diberi f k (x) = 4 x - 7. \end{array}

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} Katakan f^{- 1} (2) = x, \\ maka f (x) = 2 \\ 3 x - 2 = 2 \\ 3 x = 4 \\ x = \frac{4}{3} \\ f^{- 1} (2) = \frac{4}{3} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} g f (- 3) = g [3 (- 3) - 2] \\ = g (- 11) \\ = - \frac{3}{11} \end{array}

(c)

\begin{array}{l} h [f (x)] = 3 x + 2 \\ h (3 x - 2) = 3 x + 2 \\ Katakan y = 3 x - 2 \\ Maka x = \frac{y + 2}{3} \\ h (y) = 3 (\frac{y + 2}{3}) + 2 \\ = y + 2 + 2 \\ = y + 4 \\ Maka h (x) = x + 4 \end{array}

(d)

\begin{array}{l} f [k (x)] = 4 x - 7 \\ 3 k (x) - 2 = 4 x - 7 \\ 3 k (x) = 4 x - 5 \\ k (x) = \frac{4 x - 5}{3} \end{array}

Bab 13 Hukum Linear

Posted on October 18, 2016 by user

2. Ulangkaji Konsep Penting (Garis Lurus)

(A) Persamaan Garis lurus

Rajah 1

(B) Kecerunan Garis Lurus

Rajah 2

Dalam rajah 2, kecerunan garis lurus, m, melalui titik A (x₁, y_l) dan titik B (x₂, y₂) ialah

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

(C) Titik Tengah Garis lurus

Dalam rajah 2, titik tengah, M bagi titik A (x_l, y₁) dan titik B (x₂, y₂) ialah

M = (\frac{x_{1} + x_{2}}{2}, \frac{y_{1} + y_{2}}{2})

(D) Jarak antara Dua Titik atas Garis Lurus

Dalam rajah 2, jarak antara titik A dan titik B

= \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}

Bab 1 Fungsi

Posted on October 17, 2016 by user

1.2.2 Fungsi

(C) Domain, Kodomain, Objek, Imej, dan Julat bagi Suatu Fungsi

Contoh 3:

Gambar rajah anak panah di atas mewakili satu fungsi f : x → 2 x² – 5. Nyatakan

(a) domain,

(b) julat,

(d) objek bagi,

(i) –3,

(ii) –5.

Penyelesaian:

(a) Domain = {–2, –1, 0, 1, 2}.

(b) Julat = {–5, –3, 3}.

(d) (i) Objek bagi –3 ialah 1 dan –1.

(ii) Objek bagi –5 ialah 0.

(D) Fungsi Nilai Mutlak

1. Tanda | | menandakan nilai mutlak bagi suatu nombor. Secara amnya, nilai mutlak bagi nombor x, iaitu | x|, ditakrifkan seperti berikut.

| x | = {\begin{cases} x jika x \geq 0 \\ - x jika x < 0 \end{cases}

2. Ini bermakna tanda bagi suatu nilai mutlak sentiasa positif.

3. | x | dibaca sebagai modulus bagi x.

4. Nilai mutlak bagi fungsi f( x) ialah nilai berangka bagi f(x) dan ditandakan sebagai | f(x)|.

| f (x) | = {\begin{cases} f (x) jika f (x) \geq 0 \\ - f (x) jika f (x) < 0 \end{cases}

Contoh 4:

Diberi fungsi f: x → |x + 2|.

(a) Cari imej bagi –4, –3, 0, dan 2.

(b) Lakarkan graf bagi f (x) bagi domain –4 ≤ x ≤ 2.

Seterusnya, nyatakan nilai julat f (x) berdasarkan domain yang diberi.

Penyelesaian:

(a)

Diberi f (x) = |x + 2|

Imej bagi –4 ialah f(–4) = | –4 + 2| = | –2| = 2

Imej bagi –3 ialah f(–3) = | –3 + 2| = | –1| = 1

Imej bagi 0 ialah f(0) = | 0 + 2| = | 2 | = 2

Imej bagi 2 ialah f(2) = | 2 + 2| = | 4 | = 4

(b)

Daripada (a),

f(–4) = 2

f(–3) = 1

f(0) = 2

f(2) = 4

Tentukan titik supaya graf menyentuh paksi-x.

Pada paksi-x,f (x) = 0

|x + 2| = 0

x+ 2 = 0

x= –2

Oleh itu, julat bagi nilai f (x) ialah 0 ≤ f(x) ≤ 4.

Bab 1 Fungsi

Posted on October 17, 2016 by user

1.2.1 Fungsi

(A) Fungsi Sebagai Sejenis Hubungan Khas

1. Dalam sesuatu fungsi, semua objek dalam domain mesti dipadankan dengan hanya satu unsur dalam kodomain. Tetapi, semua unsur dalam kodomain tidak semestinya dipadankan dengan unsur dalam domain.

2. Fungsi ialah hubungan khas dengan setiap objek dalam domain mempunyai hanya satu imej. Bukan semua hubungan ialah fungsi.

3. Hubungan satu kepada satu dan hubungan banyak kepada satu ialah fungsi.

Contoh:

(B) Tatatanda Fungsi
Dalam tatatanda fungsi, sesuatu fungsi boleh diwakili oleh huruf abjad seperti f, g, h dan sebagainya. Misalnya, fungsi f yang memetakan objek x dalam domain kepada imej y dalam julat doleh ditulis sebagai

f : x → y atau f (x) = y

Seperti yang ditunjukkan dalam rajah di atas, fungsi f : X → Y, setiap unsur x dalam domain X mempunyai satu imej yang unik dalam kodomain Y.

Contoh 1:

Diberi fungsi f : x → 5x + 1, cari nilai bagi

(a) f (2)

(b) f (–3)

(c) f (\frac{2}{5})

Penyelesaian:

(a)

f (x) = 5x + 1

f (2) = 5(2) + 1 = 11

(b)

f (x) = 5x + 1

f (–3) = 5 (–3) + 1 = –14

(c)

f (x) = 5x + 1

f (\frac{2}{5}) = 5 (\frac{2}{5}) + 1 = 3

Contoh 2:

Suatu fungsi x ditakrifkan sebagai

f : x \to \frac{5}{2 x - 1}, x \neq k .

Cari nilai k.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} f (x) = \frac{5}{2 x - 1}, x \neq k \\ \Rightarrow f (x) tidak tertakrif apabila 2 x - 1 = 0 \\ oleh itu, 2 x - 1 \neq 0 \\ 2 x \neq 1 \\ x \neq \frac{1}{2} \\ Maka k = \frac{1}{2} \end{array}

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on October 16, 2016 by user

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:

Diberi 3t dan (t – 7) ialah punca-punca persamaan kuadratik 4x² – 4x + m= 0 dengan m sebagai pemalar.

(a) Cari nilai t dan nilai m.

(b) Seterusnya, bentuk satu persamaan kuadratik dengan punca-punca 4t dan 2t + 6.

Penyelesaian:

(a)

Diberi 3t dan (t – 7) ialah punca-punca persamaan kuadratik 4x² – 4x + m= 0

a = 4, b = – 4, c = m

\begin{array}{l} Hasil tambah punca = - \frac{b}{a} \\ 3 t + (t - 7) = - \frac{- 4}{4} \end{array}

3t + t– 7 = 1

4t = 8

t = 2

\begin{array}{l} Hasil darab punca = \frac{c}{a} \\ 3 t (t - 7) = \frac{m}{4} \end{array}

4 [3(2) (2 – 7)] = m ← (gantikan t = 2)

4 [3(2) (2 – 7)] = m

4 (–30) = m

m = –120

(b)

t = 2

4t = 4(2) = 8

2t + 6 = 2(2) + 6 = 10

Hasil tambah punca = 8 + 10 = 18

Hasil darab punca = 8(10) = 80

Guna rumus, x²– (hasil tambah punca)x + hasil darab punca = 0

Oleh itu, persamaan kuadratik ialah

x ² – 18x + 80 = 0

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on October 16, 2016 by user

2.6 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Jika α dan β ialah punca-punca persamaan kuadratik 3x² + 2x– 5 = 0, bentukkan persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca yang berikut.

\begin{array}{l} (a) \frac{2}{α} dan \frac{2}{β} \\ (b) (α + \frac{2}{β}) dan (β + \frac{2}{α}) \end{array}

Penyelesaian:

3x² + 2x – 5 = 0

a = 3, b = 2, c = –5

Punca adalah α dan β.

\begin{array}{l} α + β = - \frac{b}{a} = - \frac{2}{3} \\ α β = \frac{c}{a} = \frac{- 5}{3} \end{array}

(a)

\begin{array}{l} Punca-punca yang baru ialah \frac{2}{α} dan \frac{2}{β} . \\ Hasil tambah punca-punca baru \\ = \frac{2}{α} + \frac{2}{β} = \frac{2 β + 2 α}{α β} \\ = \frac{2 (α + β)}{α β} = \frac{2 (- \frac{2}{3})}{- \frac{5}{3}} = \frac{4}{5} \end{array}

\begin{array}{l} Hasil darab punca-punca \\ = (\frac{2}{α}) (\frac{2}{β}) = \frac{4}{α β} \\ = \frac{4}{- \frac{5}{3}} = - \frac{12}{5} \end{array}

Guna rumus, x² – (hasil tambah punca)x + hasil darab punca = 0

Persamaan kuadratik yang baru ialah

x^{2} - (\frac{4}{5}) x + (- \frac{12}{5}) = 0

5x² – 4x– 12 = 0

(b)

\begin{array}{l} Punca-punca yang baru ialah (α + \frac{2}{β}) dan (β + \frac{2}{α}) . \\ Hasil tambah punca-punca baru \\ = (α + \frac{2}{β}) + (β + \frac{2}{α}) \end{array}

\begin{array}{l} = α + β + (\frac{2}{α} + \frac{2}{β}) = α + β + \frac{2 α + 2 β}{α β} \\ = α + β + \frac{2 (α + β)}{α β} \\ = \frac{4}{5} + \frac{2 (\frac{4}{5})}{- \frac{12}{5}} \\ = \frac{4}{5} - \frac{2}{3} = \frac{2}{15} \end{array}

\begin{array}{l} Hasil darab punca-punca \\ = (α + \frac{2}{β}) (β + \frac{2}{α}) \\ = α β + 2 + 2 + \frac{4}{α β} \end{array}

\begin{array}{l} = - \frac{12}{5} + 4 + \frac{4}{- \frac{12}{5}} \\ = - \frac{12}{5} + 4 - \frac{5}{3} = - \frac{1}{15} \end{array}

Persamaan kuadratik yang baru ialah

x^{2} - (\frac{2}{15}) x + (- \frac{1}{15}) = 0

15x² – 2x– 1 = 0