Bab 15 Vektor


4.4.1 Pengungkapan Suatu Vektor sebagai Gabungan Linear Vektor yang lain (Contoh)

Contoh:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segiempat selari ABCD. Titik Q terletak pada garis lurus AB dan titik S terletak pada garis lurus DC. Garis lurus AS dipanjangkan ke titik dengan keadaan AS = 2ST.


Diberi bahawa AQ : QB = 3 : 1, DS : SC = 3 : 1, AQ =6 a ˜  dan  AD = b ˜   
(a) Ungkapan dalam sebutan a ˜  dan  b ˜ :
 (i)  AS    (ii)  QC
(b) Seterusnya, tunjukkan titik Q, C dan T adalah segaris.


Penyelesaian:
(a)(i)
AS = AD + DS = AD + AQ AQ:QB= 3:1 dan  DS:SC= 3:1 AQ = DS = b ˜ +6 a ˜ =6 a ˜ + b ˜

(a)(ii)
QC = QB + BC  = 1 3 AQ + AD AQ:QB= 3:1 AQ QB = 3 1 QB= 1 3 AQ bagi segiempat selari,  BC//AD, BC=AD   = 1 3 ( 6 a ˜ )+ b ˜  =2 a ˜ + b ˜

(b)
QT = QA + AT   =  QA + 3 2 AS AS=2ST AT=3ST= 3 2 AS  =6 a ˜ + 3 2 ( 6 a ˜ + b ˜ )   =3 a ˜ + 3 2 b ˜    = 3 2 ( 2 a ˜ + b ˜ )    = 3 2 QC Maka Q, C dan T adalah segaris.


Bab 15 Vektor


Soalan 10 (3 markah):
Rajah menunjukkan vektor-vektor  OP ,  OQ  dan  OM dilukis pada grid segi empat sama.

Rajah

( a ) Ungkapkan  OM  dalam bentuk h p ˜ +k q ˜ dengan keadaan h dan k ialah pemalar. ( b ) Pada Rajah 3, tanda dan label titik N  dengan keadaan  MN + OQ =2 OP .


Penyelesaian:
(a)
OM = p ˜ +2 q ˜

(b)

MN + OQ =2 OP MN =2 OP OQ    =2 p ˜ q ˜



Soalan 11 (4 markah):
A( 2, 3 ) dan B( 2, 5 ) terletak pada suatu satah Cartes. Diberi bahawa 3 OA =2 OB + OC . Cari ( a ) koordinat C, ( b ) | AC |


Penyelesaian:
Diberi A( 2,3 ) dan B( 2,5 ) Maka,  OA =2 i ˜ +3 j ˜  dan  OB =2 i ˜ +5 j ˜

(a)

3 OA =2 OB + OC OC =3 OA 2 OB  =3( 2 i ˜ +3 j ˜ )2( 2 i ˜ +5 j ˜ )  =6 i ˜ +9 j ˜ +4 i ˜ 10 j ˜  =10 i ˜ j ˜ Maka, koordinat C ialah ( 10, 1 )


(b)
AC = AO + OC  = OA + OC  =( 2 i ˜ +3 j ˜ )+10 i ˜ j ˜  =2 i ˜ +10 i ˜ 3 j ˜ j ˜  =8 i ˜ 4 j ˜ | AC |= 8 2 + ( 4 ) 2    = 80  unit    = 16×5  unit    =4 5  unit

Bab 15 Vektor


Soalan 8 (3 markah):
Rajah menunjukkan trapezium ABCD.

Rajah

Diberi  p ˜ =( 3 4 ) dan  q ˜ =( k1   2 ), dengan keadaan k ialah pemalar, cari nilai k.


Penyelesaian:

p ˜ =m q ˜ ( 3 4 )=m( k1   2 ) ( 3 4 )=( mkm    2m ) mkm=3 .......... ( 1 ) 2m=4 ................ ( 2 ) Dari( 2 ): 2m=4 m=2 Gantikan m=2 ke dalam ( 1 ): 2k2=3 2k=3+2 2k=5 k= 5 2



Soalan 9 (3 markah):
Rajah menunjukkan vektor-vektor  AB ,  AC  dan  AD yang dilukis pada grid segi empat sama bersisi 1 unit.

Rajah

( a ) Cari | BA |. ( b ) Diberi  AB = b ˜  dan  AC = c ˜ , ungkapkan dalam sebutan  b ˜  dan  c ˜   ( i )  BC , ( ii )  AD

Penyelesaian:
(a)
| BA |= 3 2 + 4 2 =5 unit

(b)(i)
BC = BA + AC  = b ˜ + c ˜  = c ˜ b ˜

(b)(ii)
AD = AB + BD  = b ˜ +2 BC  = b ˜ +2( c ˜ b ˜ )  =2 c ˜ b ˜

4.7.10 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 10 (10 markah):
Rajah 5 menunjukkan segi tiga OAQ dan segi tiga OPB dengan keadaan titik P berada pada OA dan titik Q berada pada OB. Garis lurus AQ dan garis lurus PB bersilang pada titik R.

Diberi bahawa  OA =18 x ˜ ,  OB =16 y ˜ , OP:PA=1:2, OQ:QB=3:1, PR =m PB  dan  QR =n QA , dengan keadaan m dan n ialah pemalar. ( a ) Ungkapkan  OR  dalam sebutan    ( i ) m,  x ˜  dan  y ˜ ,    ( ii ) n,  x ˜  dan  y ˜ , ( b ) Seterusnya, cari nilai m dan nilai n. ( c ) Diberi | x ˜ |=2 unit, | y ˜ |=1 unit dan OA berserenjang kepada OB, hitung | PR |.


Penyelesaian
(a)(i)
OR = OP + PR  = 1 3 OA +m PB  = 1 3 ( 18 x ˜ )+m( PO + OB )  =6 x ˜ +m( 6 x ˜ +16 y ˜ )

(a)(ii)
OR = OQ + QR  = 3 4 OB +n QA  = 3 4 ( 16 y ˜ )+n( QO + OA )  =12 y ˜ +n( 12 y ˜ +18 x ˜ )  =( 1212n ) y ˜ +18n x ˜


(b)
6 x ˜ +m( 6 x ˜ +16 y ˜ )=( 1212n ) y ˜ +18n x ˜ 6 x ˜ 6m x ˜ +16m y ˜ =18n x ˜ +12 y ˜ 12n y ˜ Dengan cara perbandingan; 66m=18n 1m=3n m=13n..............( 1 ) 16m=1212n 4m=33n..............( 2 ) Gantikan (1) ke dalam (2), 4( 13n )=33n 412n=33n 9n=1 n= 1 9 Gantikan n= 1 9  ke dalam (1), m=13( 1 9 ) m= 2 3


(c)
| x ˜ |=2| y ˜ |=1  PR = 2 3 PB  = 2 3 ( 6 x ˜ +16 y ˜ )  =4 x ˜ + 32 3 y ˜ | PR |= [ 4( 2 ) ] 2 + [ 32 3 ( 1 ) ] 2   = 1600 9   = 40 3  units


4.7.9 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 9 (10 markah):
Rajah 5 menunjukkan segi tiga ABC. Garis lurus AE bersilang dengan garis lurus BC di titik D. Titik V terletak pada garis lurus AE.

Diberi bahawa  BD = 1 3 BC , AC =6 x ˜  dan  AB =9 y ˜ . ( a ) Ungkapkan dalam sebutan  x ˜  dan / atau  y ˜ :    ( i )  BC ,    ( ii )  AD . ( b ) Diberi bahawa  AV =m AD  dan  BV =n( x ˜ 9 y ˜ ),    dengan keadaan m dan n ialah pemalar.   Cari nilai m dan nilai n. ( c ) Diberi  AE =h x ˜ +9 y ˜ , dengan keadaan h ialah pemalar,    cari nilai h.


Penyelesaian: 
(a)(i)
BC = BA + AC  =9 y ˜ +6 x ˜  =6 x ˜ 9 y ˜

(a)(ii)
AD = AB + BD  =9 y ˜ + 1 3 BC  =9 y ˜ + 1 3 ( 6 x ˜ 9 y ˜ )  =9 y ˜ +2 x ˜ 3 y ˜  =2 x ˜ +6 y ˜


(b)
Diberi  AV =m AD =m( 2 x ˜ +6 y ˜ ) =2m x ˜ +6m y ˜ AV = AB + BV    = 9 y ˜ +n( x ˜ 9 y ˜ )   =9 y ˜ +n x ˜ 9n y ˜   =n x ˜ +( 99n ) y ˜ Dengan menyamakan pekali bagi  x ˜  dan  y ˜ 2m x ˜ +6m y ˜ =n x ˜ +( 99n ) y ˜ 2m=n n=2m.............( 1 ) 6m=99n.............( 2 ) Gantikan (1) ke dalam (2), 6m=99( 2m ) 6m=918m 24m=9 m= 9 24 = 3 8 Daripada ( 1 ): n=2( 3 8 )= 3 4


(c)
A, D dan E adalah segaris. AD =k( AE ) AD =k( h x ˜ +9 y ˜ ) 2 x ˜ +6 y ˜ =kh x ˜ +9k y ˜ Dengan menyamakan pekali bagi  y ˜ : 9k=6 k= 6 9 k= 2 3 Dengan menyamakan pekali bagi  x ˜ : kh=2 ( 2 3 )h=2 h=2× 3 2 h=3



4.7.8 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 8:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat OPQR. Garis lurus PR bersilang dengan garis lurus OQ di titik S.

Diberi bahawa  OP =7 x ˜ ,  OR =5 y ˜ , PS:SR=3:1 dan  OR  selari dengan  PQ . (a) Ungkapkan dalam sebutan  x ˜  dan  y ˜ , (i)  PR (ii)  OS (b) Guna  PQ =m OR  dan  SQ =n OS , dengan keadaan m dan n adalah pemalar,       Cari nilai m dan nilai n. (c) Diberi bahawa | y ˜ |=4 unit dan luas ORS  ialah 50 cm 2 , cari jarak tegak       dari titik S ke OR.


Penyelesaian:
(a)(i)
PR = PO + OR   =7 x ˜ +5 y ˜


(a)(ii)
OS = OP + PS   =7 x ˜ + 3 4 PR   =7 x ˜ + 3 4 ( 7 x ˜ +5 y ˜ )   =7 x ˜ 21 4 x ˜ + 15 4 y ˜   = 7 4 x ˜ + 15 4 y ˜


(b)
PS = PQ SQ 3 4 PR =m OR n OS 3 4 ( 7 x ˜ +5 y ˜ )=m( 5 y ˜ )n( 7 4 x ˜ + 15 4 y ˜ ) 21 4 x ˜ + 15 4 y ˜ =5m y ˜ 7 4 n x ˜ 15 4 m y ˜ 21 4 x ˜ + 15 4 y ˜ = 7 4 n x ˜ + 5 4 m y ˜ 21 x ˜ +15 y ˜ =7n x ˜ +5m y ˜ 7n=21 n=3 5m=15 m=3


(c)
Luas ΔORS=50 1 2 ×( 5 y ˜ )×t=50 1 2 ×5( 4 )×t=50 10t=50 t=5  Jarak tegak dari titik S ke OR=5 unit.

4.7.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 7:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat OPBC. Garis lurus AC bersilang dengan garis lurus PQ di titik B.

Diberi bahawa  OP = a ˜ ,  OQ = b ˜ ,  OA =4 AP ,  OC =3 OQ ,  PB =h PQ  dan AB =k AC . (a) Ungkapkan  OB  dalam sebutan h a ˜  dan  b ˜ . (b) Ungkapkan  OB  dalam sebutan k a ˜  dan  b ˜ . (c)(i) Cari nilai h dan nilai k.     (ii) Seterusnya, nyatakan  OB  dalam sebutan  a ˜  dan  b ˜ .


Penyelesaian:
(a)
OB = OP + PB  = a ˜ +h PQ  = a ˜ +h( PO + OQ )  = a ˜ +h( a ˜ + b ˜ )  = a ˜ h a ˜ +h b ˜ OB =( 1h ) a ˜ +h b ˜


(b)
OB = OP + PB  = a ˜ + PA + AB  = a ˜ +( 1 5 OP )+k AC  = a ˜ +( 1 5 a ˜ )+k( AO + OC )  = 4 5 a ˜ +k( 4 5 OP +3 OQ )  = 4 5 a ˜ +k( 4 5 a ˜ +3 b ˜ )  = 4 5 a ˜ 4 5 k a ˜ +3k b ˜ OB = 4 5 ( 1k ) a ˜ +3k b ˜


(c)(i)
( 1h ) a ˜ +h b ˜ = 4 5 ( 1k ) a ˜ +3k b ˜ 1h= 4 5 4 5 k..........( 1 ) h=3k..........( 2 ) Gantikan ( 2 ) ke dalam ( 1 )  13k= 4 5 4 5 k 515k=44k 11k=1 k= 1 11 Gantikan k= 1 11  ke dalam ( 2 ) h=3( 1 11 )   = 3 11


(c)(ii)
OB =( 1h ) a ˜ +h b ˜ apabila h= 3 11 =( 1 3 11 ) a ˜ +( 3 11 ) b ˜ = 8 11 a ˜ + 3 11 b ˜

4.7.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 6:
Diagram below shows a trapezium OABC and point D lies on AC.


Diberi bahawa  OC =18 b ˜ ,  OA =6 a ˜  dan  OC =2 AB . (a) Ungkapkan dalam sebutan  a ˜  dan  b ˜ , (i)  AC (ii)  OB (b) Diberi bahawa  AD =k AC , dengan keadaan k ialah pemalar. Cari nilai k jika titik-titik OD dan B adalah segaris.


Penyelesaian:
(a)(i)
AC = AO + OC   =6 a ˜ +18 b ˜   =18 b ˜ 6 a ˜


(a)(ii)
OC =2 AB 18 b ˜ =2( AO + OB ) 18 b ˜ =2( 6 a ˜ + OB ) 18 b ˜ =12 a ˜ +2 OB OB =6 a ˜ +9 b ˜


(b)
OD =h OB =h( 6 a ˜ +9 b ˜ ) =6h a ˜ +9h b ˜ AD = OD OA =6h a ˜ +9h b ˜ 6 a ˜ = a ˜ ( 6h6 )+9h b ˜ AD =k AC a ˜ ( 6h6 )+9h b ˜ =k( 18 b ˜ 6 a ˜ ) a ˜ ( 6h6 )+9h b ˜ =6k a ˜ +18k b ˜ 6h6=6k h1=k h=1k..........( 1 ) 9h=18k h=2k Dari ( 1 ), 1k=2k 3k=1 k= 1 3

4.7.5 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 5:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga KLM.


Diberi KP:PL=1:2, LR:RM=2:1,  KP =2 x ˜ ,  KM =3 y ˜ . (a) Ungkapkan dalam sebutan  x ˜  dan  y ˜ , (i)  MP (ii)  MR (b) Diberi  x ˜ =2 i ˜  dan  y ˜ = i ˜ +4 j ˜ , cari  | MR | . (c) Diberi  MQ =h MP  dan  QR =n KR , dengan keadaan h dan n ialah pemalar,    cari nilai h dan nilai n.


Penyelesaian:
(a)(i)
MP = MK + KP   =3 y ˜ +2 x ˜   =2 x ˜ 3 y ˜

(a)(ii)
MR = 1 3 ML   = 1 3 ( MK + KL )   = 1 3 ( 3 y ˜ +6 x ˜ )   =2 x ˜ y ˜

(b)
MR =2( 2 i ˜ )( i ˜ +4 j ˜ )   =4 i ˜ + i ˜ 4 j ˜   =5 i ˜ 4 j ˜ | MR |= 5 2 + ( 4 ) 2    = 41  unit

(c)
MQ + QR = MR h MP +n KR = MR h( 2 x ˜ 3 y ˜ )+n( KM + MR )=2 x ˜ y ˜ h( 2 x ˜ 3 y ˜ )+n( 3 y ˜ +2 x ˜ y ˜ )=2 x ˜ y ˜ 2h x ˜ 3h y ˜ +2n x ˜ +2n y ˜ =2 x ˜ y ˜ ( 2h+2n ) x ˜ +( 3h+2n ) y ˜ =2 x ˜ y ˜ 2h+2n=2..........(1) 3h+2n=1..........(2) ( 1 )( 2 ):5h=3  h= 3 5 Dari ( 1 ):h+n=1     3 5 +n=1  n=1 3 5  n= 2 5

4.7.4 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 4:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat ABCD. Garis lurus AC bersilang dengan garis lurus BD di titik E.


Diberi bahawa BE:ED=2:3,  AB =10 x ˜ ,  AD =25 y ˜  dan  BC = x ˜ +15 y ˜ . (a) Ungkapkan dalam sebutan  x ˜  dan  y ˜ , (i)  BD (ii)  AE (b) Cari nisbah AE:EC.


Penyelesaian:
(a)(i)
BD = BA + AD   = AD AB   =25 y ˜ 10 x ˜

(a)(ii)
AE = AB + BE   = AB + 2 5 BD   =10 x ˜ + 2 5 ( 25 y ˜ 10 x ˜ )   =10 x ˜ + 2 5 ( 25 y ˜ 10 x ˜ )   =10 x ˜ +10 y ˜ 4 x ˜   =6 x ˜ +10 y ˜   =2( 3 x ˜ +5 y ˜ )

(b)
EC = EB + BC   = BC BE   = BC 2 3 ED   = BC 2 3 ( EA + AD )   = x ˜ +15 y ˜ 2 3 ( 6 x ˜ 10 y ˜ +25 y ˜ )   = x ˜ +15 y ˜ 2 3 ( 6 x ˜ +15 y ˜ )   = x ˜ +15 y ˜ +4 x ˜ 10 y ˜   =3 x ˜ +5 y ˜ AE EC = 2( 3 x ˜ +5 y ˜ ) 1( 3 x ˜ +5 y ˜ ) AE:EC=2:1