Bab 5 Indeks dan Logaritma

Posted on May 11, 2016 by user

Indeks Integer Positif

Jika a ialah suatu nombor dan n ialah suatu integer positif, maka aⁿbermakna pendaraban asas a sebanyak n kali dan disebut a kuasa n.

Integer n adalah indeks dan a ialah asasnya.

Contoh: 5×5×5×5 = 5⁴, 5 ialah asas dan 4 ialah indeks.

5.1 Indeks dan Hukum Indeks (Bahagian 1)

(A) Indeks Sifar

Indeks sifar bagi semua nombor adalah sama dengan satu.

a ^o = 1, di mana a ≠ 0

Contoh 1:

Cari nilai-nilai yang berikut:

(a) 250⁰

(b)0.513⁰

\begin{array}{l} (c) {(\frac{2}{7})}^{0} \\ (d) {(- 11 \frac{1}{25})}^{0} \end{array}

Penyelesaian:

(a) 250⁰ = 1

(b)0.513⁰ = 1

\begin{array}{l} (c) {(\frac{2}{7})}^{0} = 1 \\ (d) {(- 11 \frac{1}{25})}^{0} = 1 \end{array}

(B) Indeks Negatif

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}, n > 0

Contoh 2:

Cari nilai-nilai yang berikut:

(a) 102 ^-1

(b)–6 ^-3

\begin{array}{l} (c) {(\frac{1}{3})}^{- 4} \\ (d) {(\frac{2}{5})}^{- 2} \\ (e) - {(\frac{2}{5})}^{- 4} \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) 102^{- 1} = \frac{1}{102} \\ (b) - 6^{- 3} = \frac{1}{- 6^{3}} = - \frac{1}{216} \\ (c) {(\frac{1}{3})}^{- 4} = {(3)}^{4} = 81 \\ (d) {(\frac{2}{5})}^{- 2} = {(\frac{5}{2})}^{2} = \frac{25}{4} \\ (e) {(- \frac{2}{5})}^{- 4} = {(- \frac{5}{2})}^{4} = \frac{625}{16} \end{array}

Bab 4 Persamaan Serentak

Posted on May 10, 2016 by user

Soalan 3:

Selesaikan persamaan serentak.

3y – 2x= – 4

y² + 4x² = 2

Penyelesaian:

3y – 2x= – 4 -----(1)

y² + 4x²= 2 -----(2)

\begin{array}{l} Dari (1), \\ y = \frac{2 x - 4}{3} ------- (3) \\ Gantikan (3) ke dalam (2), \\ {(\frac{2 x - 4}{3})}^{2} + 4 x^{2} = 2 \\ (\frac{4 x^{2} - 16 x + 16}{9}) + 4 x^{2} = 2 \\ 4 x^{2} - 16 x + 16 + 36 x^{2} = 18 (\times 9) \\ 40 x^{2} - 16 x - 2 = 0 \\ 20 x^{2} - 8 x - 1 = 0 \\ (10 x + 1) (2 x - 1) = 0 \\ x = - \frac{1}{10} atau x = \frac{1}{2} \\ Gantikan nilai-nilai x ke dalam (3), \\ Apabila x = - \frac{1}{10}, \\ y = \frac{2 (- \frac{1}{10}) - 4}{3} = - 1 \frac{2}{5} \\ Apabila x = \frac{1}{2}, \\ y = \frac{2 (\frac{1}{2}) - 4}{3} = - \frac{3}{3} = 1 \\ Penyelesaian ialah x = - \frac{1}{10}, y = - 1 \frac{2}{5} dan x = \frac{1}{2}, y = 1. \end{array}

Soalan 4:

Selesaikan persamaan serentak x – 3y = –1 dan y + yx– 2x = 0.

Beri jawapan anda betul kepada tiga tempat perpuluhan.

Penyelesaian:

x – 3y = –1 -----(1)

y + yx – 2x = 0 -----(2)

Dari (1),

x = 3y – 1 -----(3)

Gantikan (3) ke dalam (2),

y + y (3y – 1) – 2(3y – 1) = 0

y + 3y² – y – 6y+ 2 = 0

3y² – 6y + 2 = 0

\begin{array}{l} a = 3, b = - 6, c = 2 \\ y = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ y = \frac{- (- 6) \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 (3) (2)}}{2 (3)} \\ y = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} \\ y = 1.577 atau 0 .423 \end{array}

Gantikan nilai-nilai y ke dalam (3).

Apabila y = 1.577,

x = 3 (1.577) – 1 = 3.731 (tiga tempat perpuluhan)

Apabila y = 0.423,

x = 3 (0.423) – 1 = 0.269 (tiga tempat perpuluhan)

Penyelesaian ialah x = 3.731, y = 1.577 dan x = 0.269, y = 0.423.

Bab 4 Persamaan Serentak

Posted on May 10, 2016 by user

4.2 SPM Praktis, Persamaan Serentak, (Soalan panjang)

Soalan 1:

Selesaikan persamaan serentak.

\begin{array}{l} y + 2 x = 2 \\ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 5 \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y + 2 x = 2 - - - - (1) \\ \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 5 - - - - (2) \\ y = 2 - 2 x - - - - (3) \\ Gantikan (3) ke dalam (2), \\ \frac{2}{x} + \frac{1}{2 - 2 x} = 5 \\ \frac{2 (2 - 2 x) + x}{x (2 - 2 x)} = 5 \\ 4 - 4 x = 5 x (2 - 2 x) \\ 4 - 4 x = 10 x - 10 x^{2} \\ 10 x^{2} - 14 x + 4 = 0 \\ 5 x^{2} - 7 x + 2 = 0 \\ (5 x - 2) (x - 1) = 0 \\ 5 x - 2 = 0 or x - 1 = 0 \\ x = \frac{2}{5} or x = 1 \\ Gantikan nilai-nilai x ke dalam (3), \\ Apabila x = \frac{2}{5}, \\ y = 2 - 2 (\frac{2}{5}) = 1 \frac{1}{5} \\ Apabila x = 1 \\ y = 2 - 2 (1) = 0 \\ Penyelesaian ialah x = \frac{2}{5}, y = 1 \frac{1}{5} dan x = 1, y = 0 \end{array}

Soalan 2:

Selesaikan persamaan serentak.

x – 3y + 5 = 3y + 5y²– 6 – x = 0

Penyelesaian:

x – 3y + 5 = 0

x = 3y – 5 -----(1)

3y + 5y² – 6 – x = 0 -----(2)

Gantikan (1) ke dalam (2),

3y + 5y² – 6 – (3y – 5) = 0

3y + 5y² – 6 – 3y + 5 = 0

5y² – 1 = 0

5y² = 1

y = 0.447

Gantikan nilai-nilai yke dalam (1),

Apabila y = 0.447

x = 3 (0.447) – 5

x = –3.659

Apabila y = – 0.447

x = 3 (–0.447) – 5

x = –6.341

Penyelesaian ialah x = –3.659, y = 0.447 dan x = –6.341, y = – 0.447.

Bab 4 Persamaan Serentak

Posted on May 10, 2016 by user

4.1 Persamaan Serentak (contoh 1 & 2)

Contoh 1:

Selesaikan persamaan serentak,

x + \frac{1}{4} y = 1 dan y^{2} - 8 = 4 x .

Penyelesaian:

\begin{array}{l} x + \frac{1}{4} y = 1 \to (1) \\ y^{2} - 8 = 4 x \to (2) \\ x = 1 - \frac{1}{4} y \to (3) \end{array}

\begin{array}{l} Gantikan (3) ke dalam (2), \\ y^{2} - 8 = 4 (1 - \frac{1}{4} y) \\ y^{2} - 8 = 4 - \frac{4}{4} y \\ y^{2} + y - 12 = 0 \\ (y + 4) (y - 3) = 0 \\ y = - 4 atau y = 3 \end{array}

\begin{array}{l} Gantikan nilai-nilai y ke dalam (3), \\ apabila y = - 4, \\ x = 1 - \frac{1}{4} (- 4) = 2 \\ apabila y = 3, \\ x = 1 - \frac{1}{4} (3) = \frac{1}{4} \end{array}

Penyelesaian ialah x = 2, y = –4 dan x = ¼, y = 3.

Contoh 2:

Selesaikan persamaan serentak 2x + y = 1 dan 2x² + y² + xy = 5.

Beri jawapan anda betul kepada tiga tempat perpuluhan.

Penyelesaian:

2x + y = 1-----(1)

2x²+ y² + xy = 5-----(2)

Dari (1),

y= 1 – 2x-----(3)

Gantikan (3) ke dalam (2).

2x²+ (1 – 2x)² + x(1 – 2x) = 5

2x²+ (1 – 2x)(1 – 2x) + x – 2x² = 5

1 – 2x – 2x + 4x²+ x – 5 = 0

4x²– 3 x – 4 = 0

\begin{array}{l} Dari x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ a = 4, b = - 3, c = - 4 \\ x = \frac{- (- 3) \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 (4) (- 4)}}{2 (4)} \\ x = \frac{3 \pm \sqrt{73}}{8} \\ x = - 0.693 or 1.443 \end{array}

Gantikan nilai-nilai x ke dalam (3).

Apabila x= –0.693,

y = 1 – 2 (–0.693) = 2.386 (tiga tempat perpuluhan)

Apabila x= 1.443,

y = 1 – 2 (1.443) = –1.886 (tiga tempat perpuluhan)

Penyelesaian ialah x = –0.693, y = 2.386 dan x = 1.443, y = –1.886.

Bab 4 Persamaan Serentak

Posted on May 10, 2016 by user

4.1 Persamaan Serentak

(A) Langkah-langkah penyelesaian persamaan serentak:

Susun persamaan linear supaya satu daripada anu-anu itu menjadi perkara rumus bagi persamaan itu.
Gantikan persamaan linear ke dalam persamaan tak linear.
Permudahkan dan ungkapkan persamaan yang diperoleh daripada langkah kedua dalam bentuk am persamaan kuadratik ax² + bx + c = 0

Selesaikan persamaan kuadratik.
Cari nilai anu yang kedua dengan menggantikan nilai anu pertama yang diperolehi ke dalam persamaan linear.

Contoh:

Selesaikan persamaan serentak.

y + x = 9

xy = 20

Penyelesaian:

Langkah1: Susun persamaan linear supaya satu daripada anu itu menjadi perkara rumus bagi persamaan itu

y + x = 9 ---- (1)

xy = 20 ---- (2)

y = 9 – x ----(3)

Langkah 2: Gantikan persamaan linear (persamaan (3) dari langkah (1) ke dalam persamaan tak linear.

xy = 20

x (9 – x) = 20

9x – x² = 20

Langkah 3: Permudahkan dan ungkapkan persamaan yang diperoleh daripada langkah 2 dalam bentuk am persamaan kuadratik ax² + bx + c = 0

9x – x² = 20

x² – 9x+ 20 = 0

Langkah 4:Selesaikan persamaan kuadratik.

x² – 9x+ 20 = 0

(x – 4) (x – 5) = 0

x = 4 or x = 5

Langkah 5:Cari nilai anu yang kedua dengan menggantikan nilai anu pertama yang diperolehi ke dalam persamaan linear.

Apabila x = 4,

y = 9 – x

y = 9 – 4 = 5

Apabila x = 5,

y = 9 – x

y = 9 – 5 = 4

Penyelesaian ialah x = 4, y = 5 dan x = 5, y = 4.