Bab 15 Vektor

Posted on May 17, 2016 by user

4.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Diberi bahawa O (0, 0), A(–3, 4) dan B(-9, 12), Cari dalam sebutan vektor unit

\underset{˜}{i} dan \underset{˜}{j}

(a)

\vec{A B}

(b) vektor unit dalam arah

\vec{A B}

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} A = (- 3, 4), dengan itu \vec{O A} = - 3 \underset{˜}{i} + 4 \underset{˜}{j} \\ B = (- 9, 12), dengan itu \vec{O B} = - 9 \underset{˜}{i} + 12 \underset{˜}{j} \\ \vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B} \\ \vec{A B} = - (- 3 \underset{˜}{i} + 4 \underset{˜}{j}) + (- 9 \underset{˜}{i} + 12 \underset{˜}{j}) \\ \vec{A B} = 3 \underset{˜}{i} - 4 \underset{˜}{j} - 9 \underset{˜}{i} + 12 \underset{˜}{j} \\ \vec{A B} = - 6 \underset{˜}{i} + 8 \underset{˜}{j} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} Magnitud | \vec{A B} |, \\ | \vec{A B} | = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(8)}^{2}} = 10 \\ Maka vektor unit dalam arah \vec{A B}, \\ \frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} = \frac{1}{10} (- 6 \underset{˜}{i} + 8 \underset{˜}{j}) = - \frac{3}{5} \underset{˜}{i} + \frac{4}{5} \underset{˜}{j} \end{array}

Soalan 2:

Diberi bahawa A(–3, 2), B(4, 6) dan C(m, n), cari nilai m dan n supaya

2 \vec{A B} + \vec{B C} = (\begin{matrix} 12 \\ - 3 \end{matrix}) .

Penyelesaian:

\begin{array}{l} A = (\begin{array}{l} - 3 \\ 2 \end{array}), B = (\begin{array}{l} 4 \\ 6 \end{array}) and C = (\begin{array}{l} m \\ n \end{array}) \\ \vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B} \\ \vec{A B} = - (\begin{array}{l} - 3 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{l} 4 \\ 6 \end{array}) = (\begin{array}{l} 7 \\ 4 \end{array}) \\ \vec{B C} = \vec{B O} + \vec{O C} \\ \vec{B C} = - (\begin{array}{l} 4 \\ 6 \end{array}) + (\begin{array}{l} m \\ n \end{array}) = (\begin{array}{l} - 4 + m \\ - 6 + n \end{array}) \end{array}

\begin{array}{l} Given 2 \vec{A B} + \vec{B C} = (\begin{matrix} 12 \\ - 3 \end{matrix}) \\ 2 (\begin{array}{l} 7 \\ 4 \end{array}) + (\begin{array}{l} - 4 + m \\ - 6 + n \end{array}) = (\begin{matrix} 12 \\ - 3 \end{matrix}) \\ (\begin{array}{l} 14 - 4 + m \\ 8 - 6 + n \end{array}) = (\begin{matrix} 12 \\ - 3 \end{matrix}) \end{array}

10 + m = 12

m= 2

2 + n = –3

n= –5

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 17, 2016 by user

3.8.2 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:

Rajah di bawah menunjukkan suatu lengkung x = y² – 1 yang bersilang dengan garis lurus 3y = 2x pada titik Q.

Hitungkan isipadu janaan apabila rantau berlorek itu dikisarkan melalui 360^opada paksi-y.

Penyelesaian:

x = y² – 1 ---- (1)

3y = 2x

\begin{array}{l} x = \frac{3}{2} y \to (2) \\ Gantikan (2) ke dalam (1), \\ \frac{3}{2} y = y^{2} - 1 \end{array}

2y² – 3y – 2 = 0

(2y + 1) (y – 2) = 0

y = –½ atau y = 2

\begin{array}{l} apabila y = 2, x = \frac{3}{2} (2) = 3, Q = (3, 2) \\ I_{1} (Isipadu kon) \\ = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π {(3)}^{2} (2) \\ = 6 π {unit}^{3} \end{array}

\begin{array}{l} I_{2} (Isipadu lengkung) \\ = π \int_{1}^{2} x^{2} d y \\ = π \int_{1}^{2} {(y^{2} - 1)}^{2} d y \\ = π \int_{1}^{2} (y^{4} - 2 y^{2} + 1) d y \\ = π {[\frac{y^{5}}{5} - \frac{2 y^{3}}{3} + y]}_{1}^{2} \\ = π [(\frac{2^{5}}{5} - \frac{2 {(2)}^{3}}{3} + 2) - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{2 {(1)}^{3}}{3} + 1)] \\ = π (\frac{46}{15} - \frac{8}{15}) \\ = \frac{38}{15} π {unit}^{3} \end{array}

\begin{array}{l} Maka isipadu janaan = I_{1} - I_{2} \\ = 6 π - \frac{38}{15} π \\ = \frac{52}{15} π {unit}^{3} \end{array}

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 17, 2016 by user

3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Fungsi kecerunan suatu lengkung melalui titik P(2, -14) ialah 6x² – 12x.

Cari

(a) persamaan lengkung itu,

(b) koordinat titik-titik pusingan lengkung itu, dan tentukan sama ada setiap titik pusingan itu adalah maksimum atau minimum.

Penyelesaian:

(a)

Fungsi kecerunan suatu lengkung, dy/dx = 6x² – 12x

persamaan lengkung,

\begin{array}{l} y = \int (6 x^{2} - 12 x) d x \\ y = \frac{6 x^{3}}{3} - \frac{12 x^{2}}{2} + c \end{array}

y = 2x³ – 6x² + c

–14 = 2(2)³ – 6(2)² + c, di titik P (2, –14)

–14 = –8 + c

c = –6

y = 2x³ – 6x² – 6

(b)

dy/dx = 6x² – 12x

Di titik pusingan, dy/dx = 0

6x² – 12x = 0

6(x – 2) = 0

x = 0, x = 2

x = 0, y = 2(0)³ – 6(0)² – 6 = –6

x = 2, y = 2(2)³ – 6(2)² – 6 = –14

\begin{array}{l} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 x - 12 \\ When x = 0, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 (0) - 12 = - 12 < 0 \\ (0, - 6) adalah titik maksimum . \\ When x = 2, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 12 (2) - 12 = 12 > 0 \\ (2, - 14) adalah titik minimum . \end{array}

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 17, 2016 by user

3.8 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Suatu lengkung dengan fungsi kecerunan

5 x - \frac{5}{x^{2}}

mempunyai titik pusingan di (m, 9).

(a) Cari nilai m.

(b) Tentukan sama ada titik pusingan ini adalah titik maksimum atau titik minimum.

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = 5 x - \frac{5}{x^{2}} \\ Di titik pusingan (m, 9), \\ \frac{d y}{d x} = 0 \\ 5 m - \frac{5}{m^{2}} = 0 \\ \frac{5}{m^{2}} = 5 m \\ m^{3} = 1 \\ m = 1 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} \frac{d y}{d x} = 5 x - \frac{5}{x^{2}} = 5 x - 5 x^{- 2} \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 5 + \frac{10}{x^{3}} \\ Apabila x = 1, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 15 (> 0) \end{array}

Dengan itu, (1, 9) adalah satu titik minimum.

(c)

\begin{array}{l} y = \int (5 x - 5 x^{- 2}) d x \\ y = \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{5}{x} + c \\ Pada titik pusingan (1, 9), x = 1 dan y = 9. \\ 9 = \frac{5 {(1)}^{2}}{2} + \frac{5}{1} + c \\ c = \frac{3}{2} \\ Persamaan lengkung: y = \frac{5 x^{2}}{2} + \frac{5}{x} + \frac{3}{2} \end{array}

Soalan 2:

Suatu lengkung mempunyai fungsi kecerunan kx²– 7x, dengan keadaan k ialah pemalar. Tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus y + x – 4 = 0.

Cari

(a) nilai k,

(b) persamaan lengkung itu.

Penyelesaian:

(a)

y + x – 4 = 0

y = – x + 4

m = –1

f ’(x) = kx²– 7x

Diberi tangen kepada lenkung itu pada titik (1, 3 ) adalah selari dengan garis lurus

kx² – 7x = –1

k (1)²– 7 (1) = –1

k – 7 = –1

k = 6

(b)

\begin{array}{l} f' (x) = 6 x^{2} - 7 x \\ f (x) = \int (6 x^{2} - 7 x) d x \\ f (x) = \frac{6 x^{3}}{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + c \\ 3 = 2 {(1)}^{3} - \frac{7 {(1)}^{2}}{2} + c di titik (1, 3) \\ c = \frac{9}{2} \\ ∴ f (x) = 2 x^{3} - \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{9}{2} \end{array}

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 17, 2016 by user

3.8.5 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 6:

Rajah di bawah menunjukkan sebahagian daripada lengkung

y = \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}}

yang melalui B (1, 2).

(a) Carikan persamaan tangen kepada lengkung itu pada titik B.
(b) Suatu rantau dibatasi oleh lengkung itu, paksi-x, garis lurus x = 2 dan x = 3.
(i) Cari luas rantau yang berlorek.
(ii) Rantau itu dikisarkan melalui 360^o pada paksi-x.
Carikan isipadu janaan, dalam sebutan π.

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} y = \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}} = 2 {(3 x - 2)}^{- 2} \\ \frac{d y}{d x} = - 4 {(3 x - 2)}^{- 3} (3) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{- 12}{{(3 x - 2)}^{3}} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{- 12}{{(3 (1) - 2)}^{3}}, x = 1 \end{array}

y – 2 = –12 (x – 1)

y – 2 = –12x + 12

y = –12x + 14

(b)(i)

\begin{array}{l} Area = \int_{2}^{3} y d x \\ = \int_{2}^{3} \frac{2}{{(3 x - 2)}^{2}} d x = \int_{2}^{3} 2 {(3 x - 2)}^{- 2} d x \\ = {[\frac{2 {(3 x - 2)}^{- 1}}{- 1 (3)}]}_{2}^{3} \\ = {[- \frac{2}{3 (3 x - 2)}]}_{2}^{3} \\ = [- \frac{2}{3 [3 (3) - 2]}] - [- \frac{2}{3 [3 (2) - 2]}] \\ = - \frac{2}{21} + \frac{1}{6} \\ = \frac{1}{14} {unit}^{2} \end{array}

(b)(ii)

Isipadu janaan

\begin{array}{l} = π \int y^{2} d x \\ = π \int_{2}^{3} \frac{4}{{(3 x - 2)}^{4}} d x = π \int_{2}^{3} 4 {(3 x - 2)}^{- 4} d x \\ = π {[\frac{4 {(3 x - 2)}^{- 3}}{- 3 (3)}]}_{2}^{3} = π {[- \frac{4}{9 {(3 x - 2)}^{3}}]}_{2}^{3} \\ = π [- \frac{4}{9 {[3 (3) - 2]}^{3}}] - [- \frac{4}{9 {[3 (2) - 2]}^{3}}] \\ = π (- \frac{4}{3087} + \frac{4}{576}) \\ = \frac{31}{5488} π {unit}^{3} \end{array}

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 17, 2016 by user

3.8.3 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5

Dalam rajah di bawah, garis lurus WY ialah normal kepada lengkung

y = \frac{1}{2} x^{2} + 1

pada B (2, 4). Garis lurus BQ adalah selari dengan paksi-y.

Cari
(a) nilai t,
(b) luas rantau yang berlorek,
(c) Isipadu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung itu, paksi-y dan garis lurus y = 4 dikisarkan melalui 360^o pada paksi-y.

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} y = \frac{1}{2} x^{2} + 1 \\ Kecerunan tangen, \frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{2} x) = x \\ pada titik B, \frac{d y}{d x} = 2 \\ Kecerunan normal, m_{2} = - \frac{1}{2} \\ \frac{4 - 0}{2 - t} = - \frac{1}{2} \\ 8 = - 2 + t \\ t = 10 \end{array}

(b)

Luas rantau yang berlorek

= Luas di bawah lengkung + Luas segi tiga BQY

\begin{array}{l} = \int_{0}^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + 1) d x + \frac{1}{2} (10 - 2) (4) \\ = {[\frac{x^{3}}{6} + x]}_{0}^{2} + 16 \\ = [\frac{8}{6} + 2] - 0 + 16 \\ = 19 \frac{1}{3} {unit}^{2} \end{array}

(c)

Pada paksi-y, x = 0, y = ½ (0) + 1 = 1

\begin{array}{l} y = \frac{1}{2} x^{2} + 1 \to x^{2} = 2 y - 2 \\ Isipadu janaan \\ = π \int x^{2} d y \\ = π \int_{1}^{4} (2 y - 2) d y \\ = π {[y^{2} - 2 y]}_{1}^{4} \\ = π [(16 - 8) - (1 - 2)] \\ = 9 π {unit}^{3} \end{array}

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 16, 2016 by user

3.7 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 2:

Diberi bahawa

\int \frac{4}{{(1 + x)}^{4}} d x = m {(1 + x)}^{n} + c,

Cari nilai-nilai mdan n.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} \int \frac{4}{{(1 + x)}^{4}} d x = m {(1 + x)}^{n} + c \\ \int 4 {(1 + x)}^{- 4} d x = m {(1 + x)}^{n} + c \\ \frac{4 {(1 + x)}^{- 3}}{- 3 (1)} + c = m {(1 + x)}^{n} + c \\ - \frac{4}{3} {(1 + x)}^{- 3} + c = m {(1 + x)}^{n} + c \\ m = - \frac{4}{3}, n = - 3 \end{array}

Soalan 3:

Diberi

\int_{- 1}^{2} 2 g (x) d x = 4, dan \int_{- 1}^{2} [m x + 3 g (x)] d x = 15.

Cari nilai pemalar m.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} \int_{- 1}^{2} [m x + 3 g (x)] d x = 15 \\ \int_{- 1}^{2} m x d x + \int_{- 1}^{2} 3 g (x) d x = 15 \\ {[\frac{m x^{2}}{2}]}_{- 1}^{2} + 3 \int_{- 1}^{2} g (x) d x = 15 \\ [\frac{m {(2)}^{2}}{2} - \frac{m {(- 1)}^{2}}{2}] + \frac{3}{2} \int_{- 1}^{2} 2 g (x) d x = 15 \\ 2 m - \frac{1}{2} m + \frac{3}{2} (4) = 15 \leftarrow diberi \int_{- 1}^{2} 2 g (x) d x = 4 \\ \frac{3}{2} m + 6 = 15 \\ \frac{3}{2} m = 9 \\ m = 9 \times \frac{2}{3} \\ m = 6 \end{array}

Soalan 4:

Diberi

\frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3 - x}) = g (x), cari \int_{1}^{2} g (x) d x .

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Diberi \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3 - x}) = g (x) \\ \int g (x) d x = \frac{2 x}{3 - x} \\ dengan itu, \\ \int_{1}^{2} g (x) d x = {[\frac{2 x}{3 - x}]}_{1}^{2} \\ = \frac{2 (2)}{3 - 2} - \frac{2 (1)}{3 - 1} \\ = 4 - 1 \\ = 3 \end{array}

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 16, 2016 by user

3.7 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Kamirkan setiap yang berikut terhadap x.

\begin{array}{l} (a) \int (\frac{3}{x^{2}} - \frac{5}{2 x^{3}} + 2) d x \\ (b) \int x^{2} (x^{5} + 2 x) d x \\ (c) \int \frac{3 x^{4} + 2 x}{x^{3}} d x \\ (d) \int \frac{(7 + x) (7 - x)}{x^{4}} d x \\ (e) \int {(5 x - 1)}^{3} d x \\ (f) \int \frac{3}{{(4 x + 7)}^{8}} d x \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} (a) \\ \int (\frac{3}{x^{2}} - \frac{5}{2 x^{3}} + 2) d x \\ = \int (3 x^{- 2} - \frac{5 x^{- 3}}{2} + 2) d x \\ = - 3 x^{- 1} + \frac{5 x^{- 2}}{4} + 2 x + c \\ = - \frac{3}{x} + \frac{5}{4 x^{2}} + 2 x + c \end{array}

\begin{array}{l} (b) \\ \int x^{2} (x^{5} + 2 x) d x \\ = \int (x^{7} + 2 x^{3}) d x \\ = \frac{x^{8}}{8} + \frac{2 x^{4}}{4} + c \\ = \frac{x^{8}}{8} + \frac{x^{4}}{2} + c \end{array}

\begin{array}{l} (c) \\ \int \frac{3 x^{4} + 2 x}{x^{3}} d x \\ = \int (\frac{3 x^{4}}{x^{3}} + \frac{2 x}{x^{3}}) d x = \int (3 x + 2 x^{- 2}) d x \\ = \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{2}{x} + c \end{array}

\begin{array}{l} (d) \\ \int \frac{(7 + x) (7 - x)}{x^{4}} d x = \int (\frac{49 - x^{2}}{x^{4}}) d x \\ = \int (\frac{49}{x^{4}} - \frac{1}{x^{2}}) d x = \int (49 x^{- 4} - x^{- 2}) d x \\ = \frac{49 x^{- 3}}{- 3} + \frac{1}{x} + c \\ = - \frac{49}{3 x^{3}} + \frac{1}{x} + c \end{array}

\begin{array}{l} (e) \\ \int {(5 x - 1)}^{3} d x \\ = \frac{{(5 x - 1)}^{4}}{(4) (5)} + c \\ = \frac{1}{20} {(5 x - 1)}^{4} + c \end{array}

\begin{array}{l} (f) \\ \int \frac{3}{{(4 x + 7)}^{8}} d x = \int 3 {(4 x + 7)}^{- 8} d x \\ = \frac{3 {(4 x + 7)}^{- 7}}{(- 7) (4)} + c \\ = - \frac{3}{28 {(4 x + 7)}^{7}} + c \end{array}

Bab 12 Janjang

Posted on May 16, 2016 by user

1.3 Janjang, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 1:

Tiga sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik ialah 2k, 3k + 3, 5k + 1. Cari

(a) nilai k.

(b) hasil tambah 15 sebutan pertama janjang aritmetik itu.

Penyelesaian:

(a)

2k, 3k + 3, 5k + 1 ← (Jika a, b, cialah 3 sebutan berturutan dalam suatu janjang aritmetik, c – b = b – a)

(5k + 1) – (3k + 3) = (3k + 3) – 2k

2k – 2 = k + 3

k= 5

(b)

2(5), 3(5) + 3, 5(5) + 1

10, 18, 26

a = 10, d = 18 – 10 = 8

\begin{array}{l} S_{15} = \frac{15}{2} [2 (10) + 14 (8)] \\ = \frac{15}{2} (132) = 990 \end{array}

Soalan 2:

Diberi suatu janjang aritmetik ialah p + 9, 2p + 10, 7p – 1,…., dengan keadaan p ialah satu pemalar. Cari

(a) nilai p.

(b) hasil tambah 5 sebutan seterusnya.

Penyelesaian:

(a)

p+ 9, 2p + 10, 7p – 1

(7p – 1) – (2p + 10) = (2p + 10) – (p + 9)

5p – 11 = p + 1

4p = 12

p = 3

(b)

3 + 9, 2(3) + 10, 7(3) – 1

12, 16, 20, (5 sebutan seterusnya), …

a= 12, d = 16 – 12 = 4

Hasil tambah 5 sebutan seterus

= S₈– S₃

\begin{array}{l} = \frac{8}{2} [2 (12) + 7 (4)] - (12 + 16 + 20) \\ = 208 - 48 \\ = 160 \end{array}

Soalan 3:

Diberi bahawa –7, h, k, 20, …, adalah empat sebutan pertama bagi suatu janjang aritmetik. Cari nilai h dan k.

Penyelesaian:

Bab 12 Janjang

Posted on May 16, 2016 by user

1.3 Janjang, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 4:

Sebutan keempat suatu janjang geometri ialah –20. Hasil tambah sebutan keempat dan kelima ialah –16.

Cari sebutan pertama dan nisbah sepunya janjang itu.

Penyelesaian:

T₄ = –20

ar³ = –20 ---- (1) ← (T_n= ar^n–1)

T₄ + T₅ = –16

–20 + T₅= –16

T₅ = 4

ar⁴ = 4 ---- (2)

\begin{array}{l} \frac{(2)}{(1)} \frac{a r^{4}}{a r^{3}} = \frac{4}{- 20} \\ r = - \frac{1}{5} \\ Gantikan r = - \frac{1}{5} ke dalam (1) \\ a {(- \frac{1}{5})}^{3} = - 20 \\ a = 2500 \end{array}

Soalan 5:

Bagi suatu janjang geometri, hasil tambah dua sebutan pertama ialah 30 dan sebutan ketiga melebehi sebutan pertama sebanyak 15 .

Cari sebutan pertama dan nisbah sepunya janjang itu.

Penyelesaian:

T₁ + T₂ = 30

a + ar= 30

a (1 +r) = 30 ---- (1)

T₃ – T₁ = 15

ar² – a = 15

a (r² – 1) = 15 ---- (2)

\begin{array}{l} \frac{(2)}{(1)} \frac{a (r^{2} - 1)}{a (1 + r)} = \frac{15}{30} \\ \frac{(r - 1) (r + 1)}{1 + r} = \frac{1}{2} \to \begin{array}{l} (r^{2} - 1) = \\ (r - 1) (r + 1) \end{array} \\ r - 1 = \frac{1}{2} \\ r = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \\ Dari (1), a (1 + r) = 30 \\ a (1 + \frac{3}{2}) = 30 \\ \frac{5 a}{2} = 30 \\ a = 12 \end{array}

Soalan 6:

Hasil tambah nsebutan pertama bagi suatu janjang geometri 5, 15, 75, …., ialah 5465.

Cari nilai n.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} a = 5, r = \frac{15}{5} = 3 \\ S_{n} = 5465 \to S_{n} = \frac{a (r^{n} - 1)}{r - 1}, r > 1 \\ \frac{5 (3^{n} - 1)}{3 - 1} = 5465 \\ 3^{n} - 1 = \frac{10930}{5} \\ 3^{n} - 1 = 2186 \\ 3^{n} = 2187 \\ 3^{n} = 3^{7} \\ n = 7 \end{array}