Bab 9 Pembezaan


Bab 9 Pembezaan

9.2.1 Terbitan Pertama untuk Fungsi Polinomial (Contoh)

Contoh:
Cari dy/dbagi setiap fungsi yang berikut:
(a) y = 12
(b) y = x4
(c) y = 3x
(d) y = 5x3
(e) y = 1 x (f) y = 2 x 4 (g) y = 2 5 x 2 (h) y = 3 x (i) y = 4 x 3


Penyelesaian
:
(a) y = 12
 dy/d= 0

(b)
y = x4
 dy/d= 4x3

(c)
y = 3x
 dy/d= 3

(d)
y = 5x3
 dy/d= 15x2

(e)
y = 1 x = x 1 d y d x = x 1 1 = 1 x 2

(f)
y = 2 x 4 = 2 x 4 d y d x = 4 ( 2 x 4 1 ) = 8 x 5 = 8 x 5

(g)
y = 2 5 x 2 = 2 x 2 5 d y d x = 2 ( 2 x 2 1 5 ) = 4 x 3 5 = 4 5 x 3

(h)
y = 3 x = 3 ( x ) 1 2 d y d x = 1 2 ( 3 x 1 2 1 ) = 3 2 x 1 2 = 3 2 x

(i)
y = 4 x 3 = 4 ( x 3 ) 1 2 = 4 x 3 2 d y d x = 3 2 ( 4 x 3 2 1 ) = 6 x 1 2 = 6 x

Bab 9 Pembezaan


9.4.1 Pembezaan Peringkat Kedua, Titik Pusingan: Titik Maksimum dan Titik Minimum (Contoh)

Contoh 1 (Nilai Maksimum suatu fungsi kuadratik)
Diberi bahawa = 3x (4 –  x), hitungkan
(a) nilai x apabila y adalah maksimum,
(b) nilai maksimum y.

Penyelesaian:
y = 3x (4 –  x)
y = 12x – 3x2
dy dx =126x Apabila y ialah maksimum,  dy dx =0  
0 = 12 – 6x
x = 2

y
= 12x – 3x2
apabila x = 2,
y = 12 (2) – 3 (2)2
y = 12


Contoh 2 (Menentukan titik pusingan dan ujian terbitan kedua)
Cari koordinat titik-titik pusingan bagi lengkung y = 2x3 + 3x2 – 12x + 7 dan tentukan jenis titik itu.

Penyelesaian:
y = 2 x 3 + 3 x 2 12 x + 7 d y d x = 6 x 2 + 6 x 12 di titik pusingan, d y d x = 0  
6x2 + 6x – 12 = 0
x2 + x – 2 = 0
(x – 1) (x + 2) = 0
x = 1 atau x = –2

apabila x = 1
y = 2 (1)3 + 3 (1)2 – 12 (11) + 7
y = 0
(1, 0) ialah suatu titik pusingan.

apabila x = –2
y = 2 (–2)3 + 3 (–2)2 – 12 (–2) + 7
y = 27
(-2, 27) ialah suatu titik pusingan.


d 2 y d x 2 =12x+6 Apabila x=1, d 2 y d x 2 =12( 1 )+6=18>0 (positif) Oleh itu, titik pusingan ( 1, 0 ) adalah titik minimum.


Apabila x=2, d 2 y d x 2 =12( 2 )+6=18<0 (negatif) Oleh itu, titik pusingan ( -2, 27 ) adalah titik maksimum.


8.4.5 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 12:
(a) Didapati bahawa 60% murid dari sebuah kelas tertentu mendapat gred A bagi Bahasa Inggeris dalam peperiksaan percubaan O level.
Jika 10 orang murid dari kelas itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa
(i) tepat 7orang murid mendapat gred A.
(ii) tidak lebih daripada 7 orang murid mendapat gred A.

(b) Rajah di bawah menunjukkan satu graf taburan normal piawai yang mewakili isi padu kicap dalam botol yang dihasilkan oleh sebuah kilang.

Diberi bahawa min ialah 950 cm3 dan  variansnya ialah 256 cm6. Jika peratus isi padu yang melebihi V ialah 30.5%, cari
(i) nilai V,
(ii) kebarangkalian bahawa isi padu antara 930 cm3 dan 960 cm3.


Penyelesaian:

(a)(i) P(X=r)= c n r . p r . q nr P(X=7)= C 10 7 ( 0.6 ) 7 ( 0.4 ) 3    =0.0860 ( ii ) P(X7) =1P(X>7) =1P( X=8 )P( X=9 )P( X=10 ) =1 C 10 8 ( 0.6 ) 8 ( 0.4 ) 2 C 10 9 ( 0.6 ) 9 ( 0.4 ) 1 C 10 10 ( 0.6 ) 10 ( 0.4 ) 0 =10.12090.04030.0060 =0.8328

(b)( i ) P( X>V )=30.5% P( Z> V950 16 )=0.305 P( Z>0.51 )=0.305    V950 16 =0.51 V=0.51( 16 )+950    =958.16  cm 3

( ii ) Kebarangkalian =P( 930<X<960 ) =P( 930950 16 <Z< 960950 16 ) =P( 1.25<Z<0.625 ) =1P( Z>1.25 )P( Z>0.625 ) =10.10560.2660 =0.6284

8.4.5 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 11:
(a) 30% daripada pen di dalam sebuah kotak berwarna biru. Charlie memilih 4 batang pen secara rawak. Cari kebarangkalian sekurang-kurangnya satu batang pen yang dipilih tidak berwarna biru.

(b) Jisim betik yang dituai dari sebuah ladang buah-buahan adalah mengikut taburan normal dengan min 2 kg dan sisihan piawai h kg. Diberi bahawa 15.87% daripada betik itu mempunyai jisim lebih daripada 2.5 kg.
(i) Hitung nilai h.
(ii) Diberi bilangan betik yang dituai dari lading buah-buahan itu ialah 1320, cari bilangan betik yang mempunyai jisim antara 1.0 kg hingga 2.5 kg.


Penyelesaian:
(a) P( X1 )=1P( X=0 )               =1 C 4 4 ( 0.3 ) 4 ( 0.7 ) 0               =0.9919

(b) μ=2, σ=h ( i ) P( X>2.5 )=15.87% P( Z> 2.52 h )=0.1587 P( Z>1.0 )=0.1587        2.52 h =1.0                 h=0.5


( ii ) p=P( 1.0<x<2.5 )   =P( 1.02 0.5 <Z< 2.52 0.5 )   =P( 2<Z<1 )   =1P( Z<2 )P( Z>1 )   =1P( Z>2 )P( Z>1 )   =10.02280.1587   =0.8185 Bilangan betik=0.8185×1320    =1080

8.4.5 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 10:
(a) Satu tinjauan dijalankan berkenaan kelab bulan sabit merah di sebuah sekolah.
Didapati bahawa min bilangan ahli kelab bulan sabit merah ialah 315, varians ialah 126 dan kebarangkalian seorang murid menyertai kelab bulan sabit merah ialah p.

(i) Cari nilai p.

(ii) Jika 8 orang murid dari sekolah itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalian lebih daripada 5 orang murid menyertai kelab bulan sabit merah.

(b) Jisim baja yang digunakan di sebuah dusun buah-buahan mempunyai taburan normal dengan min 5 kg dan varians 0.8 kg. Cari kebarangkalian dalam satu hari tertentu, lebih daripada 6 kg baja digunakan.


Penyelesaian:
(a)(i) np=315 np( 1p )=126 315( 1p )=126  1p= 126 315  1p=0.4    p=0.6 ( ii ) n=8,p=0.6 P(X=r)= c n r . p r . q nr P(X=r)= C 8 r ( 0.6 ) r ( 0.4 ) 8 P(X>5) =P( X=6 )+P( X=7 )+P( X=8 ) = C 8 6 ( 0.6 ) 6 ( 0.4 ) 2 + C 8 7 ( 0.6 ) 7 ( 0.4 ) 1 + C 8 8 ( 0.6 ) 8 ( 0.4 ) 0 =0.20902+0.08958+0.01680 =0.3154

(b) P( X>6 )=P( Z> 65 0.8 )    =P( Z>1.12 )    =0.1314

Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.3.2b Melakar Graf Fungsi Trigonometri (Bahagian 2)

Contoh:
Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri yang berikut untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(g) y = –sin x  
(h) y = –kos x
(i) y = | sin x |
(j) y = | kos x |
(k) y = tan 2x


Penyelesaian:
(g) y = –sin x



(h) y = –kos x



(i) y = | sin x |


 

(j) y = | kos x |




 (k) y = tan 2x





Bab 15 Vektor


4.4.1 Pengungkapan Suatu Vektor sebagai Gabungan Linear Vektor yang lain (Contoh)

Contoh:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segiempat selari ABCD. Titik Q terletak pada garis lurus AB dan titik S terletak pada garis lurus DC. Garis lurus AS dipanjangkan ke titik dengan keadaan AS = 2ST.


Diberi bahawa AQ : QB = 3 : 1, DS : SC = 3 : 1, AQ =6 a ˜  dan  AD = b ˜   
(a) Ungkapan dalam sebutan a ˜  dan  b ˜ :
 (i)  AS    (ii)  QC
(b) Seterusnya, tunjukkan titik Q, C dan T adalah segaris.


Penyelesaian:
(a)(i)
AS = AD + DS = AD + AQ AQ:QB= 3:1 dan  DS:SC= 3:1 AQ = DS = b ˜ +6 a ˜ =6 a ˜ + b ˜

(a)(ii)
QC = QB + BC  = 1 3 AQ + AD AQ:QB= 3:1 AQ QB = 3 1 QB= 1 3 AQ bagi segiempat selari,  BC//AD, BC=AD   = 1 3 ( 6 a ˜ )+ b ˜  =2 a ˜ + b ˜

(b)
QT = QA + AT   =  QA + 3 2 AS AS=2ST AT=3ST= 3 2 AS  =6 a ˜ + 3 2 ( 6 a ˜ + b ˜ )   =3 a ˜ + 3 2 b ˜    = 3 2 ( 2 a ˜ + b ˜ )    = 3 2 QC Maka Q, C dan T adalah segaris.


Bab 14 Pengamiran


3.5.1 Pengamiran Sebagai Penghasiltambahan Luas (Contoh)

Contoh 1:
Cari luas rantau berlorek.


Penyelesaian:
Luas rantau berlorek, L
= a b y d x = 0 4 ( 6 x x 2 ) d x = [ 6 x 2 2 x 3 3 ] 0 4 = [ 3 ( 4 ) 2 ( 4 ) 3 3 ] 0 = 26 2 3 unit 2



Contoh 2:
Cari luas rantau berlorek.
 


Penyelesaian:
= x -----(1)
= 8yy2 -----(2)
Gantikan (1) ke dalam (2),
= 8yy2
y2 – 7y = 0
y (y – 7) = 0
= 0 atau 7
Dari (1), = 0 atau 7
Maka, titik persilangan antara lengkung dengan garis lurus ialah (0, 0) dan (7, 7).

Titik persilangan lengkung dengan paksi-y adalah,
= 8yy2
pada y-axis, x = 0
0 = 8yy2
y (y – 8) = 0
y = 0 atau 8

Luas kawasan berlorek = (A1) Luas segitiga + (A2) Luas di bawah lengkung dari y = 7 hingga y = 8.
= 1 2 × tapak × tinggi + 7 8 x d y = 1 2 × ( 7 ) ( 7 ) + 7 8 ( 8 y y 2 ) d y = 49 2 + [ 8 y 2 2 y 3 3 ] 7 8 = 24 1 2 + [ 4 ( 8 ) 2 ( 8 ) 3 3 ] [ 4 ( 7 ) 2 ( 7 ) 3 3 ] = 24 1 2 + 85 1 3 81 2 3 = 28 1 6 unit 2


3.4.10 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)


Soalan 10:
(a) Rajah di bawah menunjukkan titik A dan garis lurus y + x = 5 dilukis pada suatu satah Cartesan.



Penjelmaan T ialah satu translasi (  5 2 )
Penjelmaan R ialah satu pantulan pada garis lurus y + x = 5.
Nyatakan koordinat imej bagi titik A di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) Penjelmaan T,
(ii) Penjelmaan gabungan TR.

(b) Rajah di bawah menunjukkan pentagon JKLMN, PQRST dan PUVWX, dilukis pada suatu satah Cartesan.

(i) PUVWX ialah imej bagi JKLMN di bawah gabungan penjelmaan CB.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) B   
(b) C

(ii) Diberi bahawa pentagon JKLMN mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 80 m2 .
Hitungkan luas, dalam m2 , kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.


Penyelesaian:
(a)

(i) (3, 4) → T → (8, 2)
(ii) (3, 4) → R → (1, 2) → T → (6, 0)


(b)


(b)(i)(a)
B: Putaran ikut arah jam melalui 90o pada pusat (0, 2).

(b)(i)(b)
Factor skala= PU PQ = 6 4 = 3 2 C: Satu pembesaran pada pusat P( 2,0 ) dengan faktor skala  3 2 .


(b)(ii)
Luas PQRST = Luas JKLMN = 80 m2

Luas PUVWX = ( 3 2 ) 2 ×luas PQRST = 9 4 ×80 =180  m 2  Luas rantau berlorek = luas of PUVWXluas PQRST    =18080    =100  m 2

3.4.9 SPM Praktis, Penjelmaan (Soalan Panjang)


Soalan 9:
Rajah menunjukkan tiga segi tiga RPQ, UST dan RVQ, dilukis pada suatu satah Cartes.

(a) Penjelmaan R ialah satu putaran 90o , ikut arah  jam pada pusat O.
Penjelmaan T ialah satu translasi ( 2 3 )
Nyatakan koordinat imej bagi titik P di bawah setiap penjelmaan berikut:
(i) T2 ,
(ii) TR.

(b)(i) Segi tiga UST ialah imej bagi segi tiga RPQ di bawah gabungan penjelmaan VW.
Huraikan selengkapnya penjelmaan:
(a) W   (b) V

(ii) Diberi bahawa segi tiga RPQ mewakili suatu kawasan yang mempunyai luas 15 m2 .
Hitungkan luas, dalam m2 , kawasan yang diwakili oleh rantau berlorek.

Penyelesaian:
(a)

(a)(i)
(–5, 3) → T → (–3, 6) ) → T → (–1, 9)

(a)(ii)
(–5, 3) → R → (3, 5) → T → (5, 8)

(b)(i)(a)
W: Satu pantulan pada garis lurus URQT.

(b)(i)(b)
Factok skala= US RV = 6 2 =3 V: Satu pembesaran pada pusat ( 4,2 ) dengan faktor skala 3.

(b)(ii)
Luas UST = (faktor skala)2 x Luas objek RPQ
= 32 x luas objek RPQ
= 32 x 15
= 135 m2

Oleh itu,
Luas rantau berlorek
= Luas UST – luas RPQ
= 135 – 15
= 120 m2