Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.5 Rumus bagi sin (A ± B), kos (A ± B), tan (A ± B), sin 2A, kos 2A, tan 2A

Rumus penambahan

   sinA=2sinA2kosA2     kosA=sin2A2kos2A2        kosA=2kos2A21      kosA=12kos2A2   tanA=2tanA21tan2A2


5.5.1 Pembuktian Identiti Trigonometri yang Melibatkan Sudut Majmuk dan Sudut Berganda

Contoh 1:
Buktikan setiap identity trigonometri yang berikut.
(a) sin(A+B)sin(AB)kosAkosB=2tanB(b) kos(A+B)sinAkosB=kotAtanB(c) tan(A+45o)=sinA+kosAkosAsinA 

penyelesaian:
(a)
(Sebelah Kiri)=sin(A+B)sin(AB)kosAkosB=(sinAkosB+kosAsinB)(sinAkosBkosAsinB)kosAkosB=2kosAsinBkosAkosB=2sinBkosB=2tanB=(Sebelah Kanan)

(b)
(Sebelah Kiri)=kos(A+B)sinAkosB=kosAkosBsinAsinBsinAkosB=kosAkosBsinAkosBsinAsinBsinAkosB=kosAsinAsinBkosB=kotAtanB=(Sebelah Kanan)

(c)
(Sebelah Kiri)=tan(A+45o)=tanA+tan45o1tanAtan45o=tanA+11tanAtan45o=1=sinAkosA+11sinAkosA=sinA+kosAkosA×kosAkosAsinA=sinA+kosAkosAsinA=(Sebelah Kanan)


Bab 16 Fungsi Trigonometri


5.4 Identiti Asas

sin2 x + kos2 x = 1
sek2 x = 1 + tan2 x
kosek2 x = 1 + kot2 x


Contoh 1 (Pembuktian Identiti Trigonometri dengan Menggunakan Identiti Asas)
Buktikan setiap identity trigonometri yang berikut.
(a) sin2 x – kos2 x = 1 – 2 kos2 x
(b) (1 – kosek2 x) (1– sek2 x) = 1
(c) kot2 x – kot2 x kos2x = kos2 x

Penyelesaian:
(a)
sin2 x– kos2 x = 1 – 2 kos2x
Sebelah kiri: sin2 x– kos2 x
= 1 – kos2 x – kos2 x
= 1 – 2 kos2 x (Sebelah kanan)

(b)
(1 – kosek2 x) (1– sek2 x) = 1
Sebelah kiri: (1 – kosek2 x) (1– sek2 x)
= (–kot2 x) (–tan2 x)
= (kot2 x) (tan2 x)
=(1tan2x)tan2x=1(Sebelah kanan)

(c)
kot2 – kot2 x kos2 x = kos2 x
Sebelah kiri: kot2 x– kot2 x kos2 x
= kot2x (1 – kos2x)
= kot2x (sin2x)
=kos2xsin2x(sin2x)=kos2x(Sebelah kanan)


Contoh 2 (Menyelesaikan Persamaan Trigonometri dengan Identiti Asas)
Selesaikan setiap persamaan trigonometri yang berikut untuk 0o≤ 360o.
(a) sin2 x kos x + 1 = kos x
(b) 2 kosek2 x – 5 kot x = 0

Penyelesaian:
(a)
sin2kos x + 1 = kos x
(1 – kos2 x) kos x + 1 = kos x
kos x – kos3 x + 1 = kos x
kos3 x = 1
kos x = 1
x = 0o, 360o

(b)
2 kosek2 x – 5 kot x = 0
2 (1 + kot2 x) – 5 kot x = 0
2 + 2 kot2 x – 5 kot x = 0
2 kot2 x – 5 kot x + 2 = 0
(2 kot x – 1) (kot x – 2) = 0
kot = ½   atau   kot x = 2
kot = ½ atau kot x = 2
tan x = 2,   tan x = ½
x =63.43o, 243.43ox = 26.57o, 206.57o
(Perhatian: tangen adalah positif dalam sukuan I dan III)

Oleh itu, x = 26.57o, 63.43o, 206.57o, 243.43o

Bab 16 Fungsi Trigonometri


5.3.2c Melakar Graf Fungsi Trigonometri (Bahagian 3)

Contoh 2:
(a) Lakar graf bagi y = –½ kos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(b) Seterusnya, dengan menggunakan paksi yang sama, lakar satu graf yang sesuai untuk mencari bilangan penyelesaian bagi persamaan π2x+kosx=0  untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
Nyatakan bilangan penyelesaian itu.

Penyelesaian:
(a)



(b)



π2x+kosx=0π2x=kosxπ4x=12kosxdarab kedua-duabelah dengan12y=π4xy=12kosx


Graf yang sesuai ialah y=π4x.  

x
π2  
π
y=π4x
½
¼

Daripada graf, terdapat 2 titik persilangan untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
Maka, terdapat 2 penyelesaian bagi persamaan π2x+kosx=0.

Bab 16 Fungsi Trigonometri

5.3.2a Melakar Graf Fungsi Trigonometri (Bahagian 1)

Contoh:
Lakarkan graf bagi setiap fungsi trigonometri yang berikut untuk 0 ≤ x ≤ 2π.
(a) y = 3 sin x
(b) y = 2 kos x
(c) y = sin x + 1
(d) y = kos x –1  
(e) y = sin 2x  
(f) y = kos 2x


Penyelesaian:
(a)  y = 3 sin x




(b)  y = 2 kos x




(c) y = sin x + 1



(d) y = kos x –1 




(e) y = sin 2x





(f) y = kos 2x




Bab 16 Fungsi Trigonometri


5.3.1 Graf fungsi Sinus, Kosinus, dan Tangen

(a) 
Graf y = sin x, 0ox ≤ 360o


 
x
0o
90o
180o
270o
360o
sin
0
1
0
-1
0
  

(b)  Graf y = kos x, 0ox ≤ 360o



x
0o
90o
180o
270o
360o
kos x
1
0
-1
0
1
  

(c)  Graf y = tan x, 0ox ≤ 360o



x
0o
90o
180o
270o
360o
tan x
0
0
0