Bab 19 Taburan Kebarangkalian

Posted on September 23, 2016 by user

8.2.2 Taburan Normal Piawai

1. Suatu pembolehubah rawak normal X ~ N (µ, σ²) boleh dipiawaikan dan ditulis sebagai Z ~ N (0, 1) dengan min 0 dan varians 1.

2. Ciri-ciri sifir taburan normal piawai, N (0, 1) adalah seperti berikut:

Kes 1

P (Z > a) adalah luas rantau berlorek dalam rajah di atas.

Kes 2

P (–∞ < Z < ∞) = 1

Kes 3

P (Z > 0) = P (Z < 0) = 0.5

Kes 4

P (Z > a) = P (Z < –a)

Bab 19 Taburan Kebarangkalian

Posted on September 23, 2016 by user

8.2a Skor Piawai (Skor–z) bagi Suatu Taburan Normal

Contoh:

(a) Suatu taburan normal mempunyai min, µ = 50 dan sisihan piawai σ = 10. Hitung skor piawai bagi nilai X = 35.

(b) Jisim pelajar tingkatan 5 di sebuah sekolah adalah mengikut taburan normal dengan min 60kg dan sisihan piawai 15kg.

Cari

(i) skor piawai bagi jisim 65kg,

(ii) jisim pelajar itu yang sepadan dengan skor piawai – ½.

Peneyelesaian:

(a)

X ~ N (µ, σ² ).

X ~ N (50, 10²)

Z = \frac{X - μ}{σ} = \frac{35 - 50}{10} = - 1.5

(b)(i)

X ~ Jisim seorang pelajar tingkatan 5

X ~ N (µ, σ² ).

X ~ N (60, 15²)

Z = \frac{X - μ}{σ} = \frac{65 - 60}{15} = \frac{1}{3}

Oleh itu, skor piawai bagi jisim 65kg ialah ⅓.

(b)(ii)

Z = – ½,

\begin{array}{l} Z = \frac{X - μ}{σ} \\ - \frac{1}{2} = \frac{X - 60}{15} \\ X - 60 = - \frac{1}{2} (15) \\ X = 52.5 \end{array}

Oleh itu, jisim seorang pelajar tingkatan 5 yang sepadan dengan skor piawai –½ ialah 52.5kg

Bab 19 Taburan Kebarangkalian

Posted on September 22, 2016 by user

8.1b Min, Varians, dan Sisihan Piawai Taburan Binomial

Untuk suatu pemboleh ubah rawak diskret X yang bertaburan Binomial atau X~B(n, p),

Min bagi X,

μ = n p

Varians bagi X,

σ^{2} = n p q

Sisihan piawai bagi X,

σ = \sqrt{n p q}

Contoh 1:

Suatu kelab bola sepak mengadakan sesi latihan sepakan penalti bagi pelajar-pelajar tingkatan 4 dari sebuah sekolah. Setiap pelajar menendang 8 sepakan penalti. Kebarangkalian bahawa seorang pelajar menjaring sepakan penalti ialah p. Selepas latihan, didapati min bilangan gol oleh seorang pelajar ialah 7.2.

Cari nilai p.

Penyelesaian:

Min = np

np = 7.2

8p= 7.2

p = 0.9

Contoh 2:

X adalah suatu pemboleh ubah rawak binomial dengan keadaan X ~ B (n, p). Jika min dan sisihan piawainya ialah 90 dan masing-masing, cari nilai p dan nilai n.

Penyelesaian:

Min = 90

np = 90

\begin{array}{l} Sisihan piawai = 3 \sqrt{7} \\ \sqrt{n p q} = 3 \sqrt{7} \end{array}

npq = 9 (7) ← (kuasa dua kedua-dua belah)

npq = 63

(np) q = 63

90q= 63

\begin{array}{l} q = \frac{7}{10} \\ Oleh itu p = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10} \\ Dari n p = 90, \\ n (\frac{3}{10}) = 90 \\ n = 300 \end{array}

Bab 19 Taburan Kebarangkalian

Posted on September 22, 2016 by user

8.1 Taburan Binomial

8.1.1 Kebarangkalian Sesuatu Peristiwa dalam Taburan Binomial

Dalam suatu taburan Binomial, kebarangkalian bahawa r kejayaan diperoleh dalam n percubaan tak bersandar diberi oleh

P (X = r) = ⁿC_r. p^r. q^n-r

dengan

P = kebarangkalian

X = pembolehubah rawak diskret

r = bilangan kejayaan (0, 1, 2, 3, …, n)

n = bilangan percubaan

p = kebarangkalian memperoleh kejayaan (0 < p < 1)

q = kebarangkalian memperoleh kegagalan (q = 1 – p)

Contoh 1:

Kelvin melepaskan 3 tembakan dalam suatu sesi latihan menembak. Kebarangkalian bahawa Kelvin mengena sasaran ialah 0.6. X mewakili bilangan kali Kelvin mengena sasaran.

(a) Senaraikan unsur-unsur pemboleh ubah rawak diskret X yang bertaburan Binomial.

(b) Hitung kebarangkalian bagi setiap kejadian unsur X.

Penyelesaian:

(a)

X = Bilangan kali Kelvin mengena sasaran

X = {0, 1, 2, 3}

(b)

X ~ B (n, p)

X ~ B (3, 0.6)

P (X = r) = ⁿC_r. p^r. q^n-r

(i) P (X = 0)
= ³C₀(0.6)⁰ (0.4)³← (Kebarangkalian memperoleh kegagalan = 1 – 0.6 = 0.4)
= 0.064

(ii) P (X = 1)
= ³C₁(0.6)¹ (0.4)² = 0.288

(iii) P (X = 2)
= ³C₂(0.6)² (0.4)¹ = 0.432

(iv) P (X = 3)
= ³C₃(0.6)³ (0.4)⁰ = 0.216

(c)

Bab 19 Taburan Kebarangkalian

Posted on September 22, 2016 by user

8.4.2 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:

Diameter bagi sebiji oren dari sebuah ladang mengikut taburan normal dengan min 3.2 cm dan varians 2.25 cm.

Hitung

(a) kebarangkalian bahawa sebiji oren yang dipilih secara rawak dari ladang ini mempunyai diameter lebih daripada 3.8 cm.

(b) nilai k jika 30.5% daripada oren itu mempunyai diameter kurang daripada k cm.

Penyelesaian:

μ = 3.2 cm

σ²= 2.25 cm

σ = √2.25 = 1.5 cm

Katakan X mewakili diameter bagi sebiji oren.

X ~ N (3.2, 1.5²)

(a)

P (X > 3.8)

= P (Z > \frac{3.8 - 3.2}{1.5})

= P (Z > 0.4)

= 0.3446

(b)

P (X < k) = 0.305

P (Z < \frac{k - 3.2}{1.5}) = 0.305

Daripada sifir taburan normal,

P (Z > 0.51) = 0.305

P (Z < –0.51) = 0.305

\frac{k - 3.2}{1.5} = - 0.51

k – 3.2 = –0.765

k = 2.435

Soalan 5:

Jisim tomato yang dihasilkan dari sebuah kebun adalah mengikut taburan normal dengan min 130g dan sisihan piawai 16g. Tomato dengan jisim melebihi 150g adalah gred ‘A’.

(a) Sebiji tomato dipilih secara rawak dari kebun. Cari kebarangkalian bahawa tomato itu mempunyai jisim di antara 114g dan 150g.

(b) Didapati bahawa 132 biji tomato dalam kebun itu adalah gred ‘A’. Cari jumlah bilangan tomato dalam kebun itu.

Penyelesaian:

μ = 130

σ = 16

(a)

P (114 < X < 150)

= P (\frac{114 - 130}{16} < Z < \frac{150 - 130}{16})

= P (–1 < Z < 1.25)

= 1 – P (Z > 1) – P (Z > 1.25)

= 1 – 0.1587 – 0.1056

= 0.7357

(b)

Kebarangkalian untuk mendapat tomato gred ‘A’,

P (X > 150) = P (Z > 1.25)

= 0.1056

Katakan jumlah bilangan tomato = N

0.1056 × N = 132

\begin{array}{l} N = \frac{132}{0.1056} \\ N = 1250 \end{array}

Bab 19 Taburan Kebarangkalian

Posted on September 22, 2016 by user

8.3.2 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 3:

Jisim mangga di sebuah gerai mempunyai taburan normal dengan min 200g dan sisihan piawai 30g.

(a) Cari jisim, dalam g, sebiji mangga yang mempunyai skor-z bernilai 0.5.

(b) Jika sebiji mangga dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa mangga itu mempunyai jisim sekurang-kurangnya 194g.

Penyelesaian:

μ = 200g

σ = 30g

Katakan X ialah jisim sebiji mangga.

(a)

\frac{X - 200}{30} = 0.5

X = 0.5(30) + 200

X = 215g

(b)

P (X ≥ 194)

= P (Z \geq \frac{194 - 200}{30})

= P (Z ≥ –0.2)

= 1 – P (Z > 0.2)

= 1 – 0.4207

= 0.5793

Soalan 4:

Rajah di bawah menunjukkan satu graf taburan normal piawai.

Kebarangkalian yang diwakili oleh luas kawasan berlorek ialah 0.3238.

(a) cari nilai k.

(b) X ialah pemboleh ubah rawak selanjar bertaburan secara normal dengan min 80 dan varians 9.

Cari nilai X apabila skor-z ialah k.

Penyelesaian:

(a)

P (Z > k) = 0.5 – 0.3238

= 0.1762

k = 0.93

(b)

μ = 80,

σ² = 9, σ = 3

\frac{X - 80}{3} = 0.93

X = 3 (0.93) + 80

X = 82.79

Bab 19 Taburan Kebarangkalian

Posted on September 22, 2016 by user

8.3.1 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Rajah di bawah menunjukkan graf suatu taburan binomial bagi X.

Cari

(a) nilai h,

(b) P (X ≥ 3)

Penyelesaian:

(a)

P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = 1

\begin{array}{l} \frac{1}{16} + \frac{1}{4} + h + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = 1 \\ h = 1 - \frac{5}{8} \\ h = \frac{3}{8} \end{array}

(b)

P (X ≥ 3) = P (X = 3) + P (X = 4)

P (X \geq 3) = \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{5}{16}

Soalan 2:

Pembolehubah rawak X mewakili taburan binomial dengan 10 percubaan dan keberangkalian berjaya ialah ¼.

(a) sisihan piawai taburan itu,

(b) kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya satu percubaan adalah berjaya.

Penyelesaian:

(a)

n = 10, p = ¼

\begin{array}{l} Sisihan piawai = \sqrt{n p q} \\ = \sqrt{10 \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4}} \\ = 1.875 \end{array}

(b)

\begin{array}{l} P (X = r) = C_{r} {(\frac{1}{4})}^{r} {(\frac{3}{4})}^{10 - r} \\ P (X \geq 1) \\ = 1 - P (X < 1) \\ = 1 - P (X = 0) \\ = 1 - C_{0} {(\frac{1}{4})}^{0} {(\frac{3}{4})}^{10} \\ = 0.9437 \end{array}

Bab 10 Penyelesaian Segitiga

Posted on September 19, 2016 by user

Soalan 4:

Dalam rajah di bawah, ABC ialah sebuah segi tiga. AGJB, AHC dan BKC ialah garis lurus. Garis lurus JK adalah berserenjang kepada BC.

Diberi bahawa BG = 40cm, GA = 33 cm, AH = 30 cm, GAH = 85^o dan JBK = 45^o.
(a) Hitung panjang, dalam cm, bagi

i. GH

ii. HC

(b) Luas segi tiga GAH adalah dua kali luas segi tiga JBK. Hitung panjang, dalam cm, bagi BK.

(c) Lakar segi tiga A’B’C’ yang mempunyai bentuk yang berlainan daripada segi tiga ABC dengan keadaan A’B’ = AB, A’C’ = AC dan ∠ A’B’C’ = ∠ ABC.

Penyelesaian:

(a)(i)

Guna petua kosinus,

GH² = AG² + AH² – 2 (AG)(AH) kos ∠ GAH

GH²= 33²+ 30² – 2 (33)(30) kos 85^o

GH² = 1089 + 900 – 172.57

GH² = 1816.43

GH = 42.62 cm

(a)(ii)

∠ ACD = 180^o – 45^o– 85^o= 50^o

Guna petua sinus,

\begin{array}{l} \frac{A C}{\sin 45^{\circ}} = \frac{73}{\sin 50^{\circ}} \\ A C = \frac{73 \times \sin 45^{\circ}}{\sin 50^{\circ}} \end{array}

AC = 67.38 cm

Oleh itu, HC = 67.38 – 30 = 37.38 cm

(b)

Area of ∆ GAH = ½ (33)(30) sin 85^o = 493.12 cm²

Katakan panjang BK = JK = x

2 × Area of ∆ JBK = Area of ∆ GAH

2 × [½ (x)(x)] = 493.12

x² = 493.12

x = 22.21 cm
BK = 22.21 cm

(c)

Bab 10 Penyelesaian Segitiga

Posted on September 19, 2016 by user

Soalan 3:

Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga ABC.

(a) Hitungkan panjang, dalam cm, bagi AC.

(b) Suatu sisi empat ABCD dibentuk dengan keadaan AC ialah pepenjuru, ∠ACD = 45° dan AD = 14 cm.

Hitung dua nilai yang mungkin bagi ∠ADC.

(c) Dengan menggunakan ∠ADC yang tirus dari (b), hitungkan
i. panjang, dalam cm, bagi CD,
ii. luas, dalam cm², sisi empat ABCD itu

Penyelesaian:

(a)

Guna petua kosinus,

AC² = AB² + BC² – 2 (AB)(BC) kos ∠ABC

AC² = 16² + 12² – 2 (16)(12) kos 70^o

AC² = 400 – 131.33

AC² = 268.67

AC = 16.39 cm

(b)

\begin{array}{l} Guna petua sinus, \\ \frac{\sin ∠ A D C}{16.39} = \frac{\sin 45^{\circ}}{14} \\ \sin ∠ A D C = \frac{16.39 \times \sin 45^{\circ}}{14} \end{array}

sin ∠ ADC = 0.8278

∠ ADC = 55.87^o atau (180^o – 55.87^o)

∠ ADC = 55.87^o atau 124.13^o

(c)(i)

sudut tirus ADC = 55.87^o

∠ CAD = 180^o – 45^o – 55.87^o= 79.13^o

\begin{array}{l} \frac{C D}{\sin {79.13}^{\circ}} = \frac{14}{\sin 45^{\circ}} \\ C D = \frac{14 \times \sin {79.13}^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = 19.44 cm \end{array}

(c)(ii)

Luas sisi empat ABCD

= Luas ∆ ABC + Luas ∆ ACD

= ½ (16)(12) sin 70^o+ ½ (16.39)(14) sin79.13^o

= 90.21 + 112.67

= 202.88 cm²

Bab 17 Pilir Atur dan Gabungan

Posted on July 11, 2016 by user

6.2 Gabungan

1. Bilangan gabungan r objek daripada n objek

^{n} C_{r} = \frac{n!}{r! (n - r)!}

2. Bilangan gabungan r objek daripada n objek yang berlainan ialah bilangan pilihan r objek daripada n objek dengan tanpa mengambil kira tertib susunan.

\begin{array}{l} Peringatan: \\ (i)^{n} C_{0} = 1 \\ (i i)^{n} C_{n} = 1 \\ (i i i)^{n} C_{r} =^{n} C_{n - r} \end{array}

Contoh 1:

\begin{array}{l} {Hitung nilai}^{7} C_{2} \\ ^{7} C_{2} = \frac{7!}{(7 - 2)! \times 2!} \\ = \frac{7!}{5! \times 2!} \\ = \frac{7 \times 6 \times 5!}{5! \times 2!} \\ = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} \\ = 21 \end{array}

Contoh 2:

6 biji guli yang mempunyai warna yang berbeza akan dibahagikan sama rata kepada 2 orang kanak-kanak. Cari bilangan cara pembahagian guli tersebut dapat dibuat.

Penyelesaian:

Bilangan cara memberi 3 biji guli kepada kanak-kanak pertama =

^{6} C_{3}

Bilangan cara memberi baki 3 biji guli kepada kanak-kanak kedua =

^{3} C_{3}

Bilangan cara pembahagian guli sama rata kepada 2 orang kanak-kanak

\begin{array}{l} =^{6} C_{3} \times^{3} C_{3} \\ = 20 \times 1 \\ = 20 \end{array}