Home › Archive for SPM Matematik Tambahan › Page 9

SPM Matematik Tambahan

7.3.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)

Posted on by

Soalan 5:
Satu set data terdiri daripada 9, 2, 7, x2 – 1 dan 4. Diberi min ialah 6, cari
(a) nilai positif bagi x,
(b) median dengan menggunakan nilai x di (a).

Penyelesaian:
(a)
Min=6 9+2+7+ x 2 −1+4 5 =6 x 2 +21=30     x 2 =9  x=±3 Nilai positif bagi x=3.

(b)
Mengatur nombor dalam susunan menaik
2, 4, 7, 8, 9
Median = 7


Soalan 6:
Suatu set mempunyai tujuh nombor dengan sisihan piawai 3 dan suatu set lain mempunyai tiga nombor dengan sisihan piawai 4. Kedua-dua set nombor itu mempunyai min yang sama.
Jika dua set nombor tersebut digabungkan, cari varians.

Penyelesaian:
X ¯ 1 = Σ X 1 n 1 m= Σ X 1 7 Σ X 1 =7m m= Σ X 2 3 Σ X 2 =3m σ= Σ X 2 N − ( X ¯ ) 2 σ 2 = Σ X 2 N − ( X ¯ ) 2 9= Σ X 1 2 7 − m 2 63=Σ X 1 2 −7 m 2 Σ X 1 2 =7 m 2 +63

16= Σ X 2 2 3 − m 2 48=Σ X 2 2 −3 m 2 Σ X 2 2 =48+3 m 2 Σ Y 2 =Σ X 1 2 +Σ X 2 2 Σ Y 2 =7 m 2 +63+3 m 2 +48   =10 m 2 +111 ΣY=Σ X 1 +Σ X 2 ΣY=7m+3m=10m Varians Gabungan: σ 2 = Σ Y 2 N − ( ΣY N ) 2 σ 2 = 10 m 2 +111 10 − ( 10m 10 ) 2 = 10 m 2 +111 10 − m 2 = 10 m 2 +111−10 m 2 10 = 111 10 =11.1

6.8.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on by

Soalan 8:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat ABCD. Titik C terletak pada paksi-y.

Persamaan garis lurus AD ialah 2y = 5x – 21.
(a) Cari
(i) persamaan garis lurus AB,
(ii) koordinat A,
(b) Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik D sentiasa 5 unit.
Cari persamaan lokus P.


Penyelesaian:
(a)(i)
2y=5x−21 y= 5 2 x− 21 2 m AD = 5 2 m AB × m AD =−1 m AB × 5 2 =−1 m AB =− 2 5 Persamaan AB y− y 1 = m AB ( x− x 1 ) y+1=− 2 5 ( x+2 ) 5y+5=−2x−4 5y=−2x−9

(a)(ii)
2y=5x−21 .......... ( 1 ) 5y=−2x−9 .......... ( 2 ) ( 1 )×5:10y=25x−105 .......... ( 3 ) ( 2 )×2:10y=−4x−18 .......... ( 4 ) ( 2 )−( 4 ):0=29x−87                 x=3 Dari ( 1 ), 2y=15−21 2y=−6 y=−3 A=( 3 , −3 )

(b)
y=2, 4=5x−21 5x=25 x=5 Titik D=( 5, 2 ) PD=5 ( x−5 ) 2 + ( y−2 ) 2 =5 ( x−5 ) 2 + ( y−2 ) 2 =25 x 2 −10x+25+( y 2 −4y+4 )=25 x 2 + y 2 −10x−4y+4=0

6.8.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on by

6.8.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 7:
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah di bawah menunjukkan segi tiga PRS. Sisi PR bersilang dengan paksi-y pada titik Q.


(a) Diberi PQ : QR = 2 : 3, cari
(i) koordinat P,
(ii) persamaan garis lurus PS,
(iii) luas, dalam unit2, segi tiga PRS.
(b) Titik M bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik R adalah sentiasa dua kali jaraknya dari titik S.
Cari persamaan lokus M.


Penyelesaian:
(a)(i)
P=( 2( 6 )+3h 2+3 , 2( 12 )+3k 2+3 ) ( 0,6 )=( 12+3h 5 , 24+3k 5 ) 12+3h 5 =0        3h=−12  h=−4 24+3k 5 =6 3k=30−24 k=2 P=( −4,2 )

(a)(ii)
m PS = 2−( −6 ) −4−2  =− 8 6  =− 4 3 Persamaan PS: y− y 1 =− 4 3 ( x−2 ) y−( −6 )=− 4 3 x+ 8 3 3y+18=−4x+8 3y=−4x−10

(a)(iii)
Luas △ PRS = 1 2 | −4   2    6   2  −6  12   −4 2 | = 1 2 | ( 24+24+12 )− ( 4−36−48 )| = 1 2 | 60− ( −80 )| =70  unit 2

(b)
Katakan P=( x,y ) MR=2MS ( x−6 ) 2 + ( y−12 ) 2 =2 ( x−2 ) 2 + ( y+6 ) 2 ( x−6 ) 2 + ( y−12 ) 2 =4[ ( x−2 ) 2 + ( y+6 ) 2 ] x 2 −12x+36+ y 2 −24y+144=4[ x 2 −4x+4+ y 2 +12y+36 ] x 2 −12x+ y 2 −24y+180=4 x 2 −16x+4 y 2 +48y+160 3 x 2 +3 y 2 −4x+72y−20=0


4.2.4 SPM Praktis, Persamaan Serentak

Posted on by

Soalan 7:
Diberi perimeter sebuah segi empat tepat ialah 24 cm dan luasnya ialah 35 cm2 . Cari panjang dan lebar segi empat tepat itu.

Penyelesaian:
Anggap panjang = x cm dan lebar = y cm.
Diberi perimeter = 24 cm
Maka, 2x + 2y = 24
x + y = 12 ------ (1)

Diberi luas = 112 cm2
Maka, xy = 35 ------ (1)

Dari persamaan (1): y = 12 – x ------ (3)
Ganti (3) ke dalam (2):
x (12 – x) = 35
12x – x2 = 35
x2 – 12x  + 35 = 0
(x – 5)(x – 7) = 0
x = 5, 7

Ganti x = 5 ke dalam (3):
y = 12 – 5 = 7

Ganti x = 7 ke dalam (3):
y = 12 – 7 = 5

Maka,
panjang = 5 cm dan lebar = 7 cm
atau
panjang = 7 cm dan lebar = 5 cm.



Soalan 8:

Dalam rajah di atas, PQRS ialah sekeping kertas berbentuk segi empat tepat dengan luas 112 cm2 . STR berbentuk semibulatan digunting daripada kertas itu. Perimeter kertas yang tinggal ialah 52 cm. Dengan menggunakan π = 22/7, hitung nilai-nilai integer x dan y.

Penyelesaian:
Diberi luas PQRS = 112 cm2
Maka, (14x)(2y) = 112
28xy = 112
xy = 4 ------ (1)

Diberi perimeter kertas yang tinggal PSTRQ = 52 cm
PS + QR + PQ + Panjang lengkok STR = 52
2y + 2y + 14x + ½ (2πr) = 52
4y + 14x + (22/7) (7x) = 52
4y + 14x + 22x = 52
4y + 36x = 52
y + 9x = 13 ------ (2)

Dari persamaan (2): y = 13 – 9x ------ (3)

Ganti (3) ke dalam (1):
x (13 – 9x) = 4
13x – 9x2 = 4
9x2 – 13x + 4 = 0
(x – 1)(9x – 4) = 0
x = 1      atau    4/9 (bukan integer)

Dari (3):
Nilai integer x = 1,
Nilai integer y yang sepadan
= 13 – 9(1)
= 4.

3.7.4 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on by

Soalan 6:


Rajah di atas menunjukkan graf lengkung y = x2 + x – kx + 5 dan y = 2(x – 3) – 4h yang bersilang pada dua titik pada paksi-x. Cari
(a) nilai k dan nilai h,
(b) nilai minimum bagi kedua-dua lengkung itu.


Penyelesaian:
(a)
y= x 2 +x−kx+5 = x 2 +( 1−k )x+5 = [ x+ ( 1−k ) 2 ] 2 − ( 1−k 2 ) 2 +5 paksi simetri bagi graf ini ialah x=− ( 1−k ) 2

y=2 ( x−3 ) 2 −4h paksi simetri bagi graf ini ialah x=3. Maka, − 1−k 2 =3             −1+k=6                      k=7

Gantikan k=7 ke dalam persamaan y= x 2 +x−7x+5   = x 2 −6x+5 Pada paksi−x,y=0; x 2 −6x+5=0 ( x−1 )( x−5 )=0 x=1,5

Pada titik ( 1,0 ) Gantikan x=1,y=0 ke dalam graf: y=2 ( x−3 ) 2 −4h 0=2 ( 1−3 ) 2 −4h 4h=2( 4 ) 4h=8 h=2

(b)
Lengkung y= x 2 −6x+5 = ( x−3 ) 2 −9+5 = ( x−3 ) 2 −4 Maka, nilai minimumnya=−4. Bagi lengkung y=2 ( x−3 ) 2 −8, nilai minimum=−8.

3.7.3 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Panjang)

Posted on by

Soalan 5:
Diberi fungsi kuadratik f(x) = 2x2 – px + p mempunyai nilai minimum –18 pada nilai x = 1.
  1. Cari nilai p dan nilai q.
  2. Dengan nilai p dan nilai q yang diperoleh, cari nilai-nilai x di mana graf f(x), memotong paksi-x.
  3. Seterusnya, lakarkan graf bagi f(x).

Penyelesaian:
(a)
f( x )=2 x 2 −px+q =2[ x 2 − p 2 x+ q 2 ] =2[ ( x+ −p 4 ) 2 − ( −p 4 ) 2 + q 2 ] =2[ ( x− p 4 ) 2 − p 2 16 + q 2 ] =2 ( x− p 4 ) 2 − p 2 2 +q

Maka, p 4 =1−−−−−−( 1 ) dan − p 2 8 +q=−18−−−( 2 ) Dari( 1 ),p=4. Ganti p=4 ke dalam ( 2 ): − ( 4 ) 2 8 +q=−18   − 16 8 +q=−18              q=−18+2                =−16


(b)
f( x )=2 x 2 −4x−16 Memotong paksi-x,f( x )=0. 2 x 2 −4x−16=0 x 2 −2x−8=0 ( x−4 )( x+2 )=0 x=4,−2 Graf f( x ) memotong paksi-x di x=−2 dan x=4.

(c)


3.6.4 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on by

Soalan 7:
Cari julat nilai k jika persamaan kuadratik 3(x2 – kx – 1) = k – k2 mempunyai dua punca nyata yang berbeza.

Penyelesaian:
3( x 2 −kx−1 )=k− k 2 3 x 2 −3kx−3−k+ k 2 =0 3 x 2 −3kx+ k 2 −k−3=0 a=3,b=−3k,c= k 2 −k−3 Dua punca nyata berbeza. b 2 −4ac>0 ( −3k ) 2 −4( 3 )( k 2 −k−3 )>0 9 k 2 −12 k 2 +12k+36>0 −3 k 2 +12k+36>0 − k 2 +4k+12>0 k 2 −4k−12<0 ( k+2 )( k−6 )<0 k=−2,6



Julat nilai k ialah −2<k<6.



Soalan 8 (4 markah):
Fungsi kuadratik f ditakrifkan oleh f(x) = x2 + 4x + h, dengan keadaan h ialah pemalar.
(a) Ungkapkan f(x) dalam bentuk (x + m)2 + n, dengan keadaan m dan n ialah pemalar.

(b) Diberi nilai minimum bagi f(x) ialah 8, cari nilai h.

Penyelesaian:
(a)
f(x) = x2 + 4x + h
   = x2 + 4x + (2)2 – (2)2 + h
   = (x + 2)2 – 4 + h

(b)
Diberi nilai minimum bagi f(x) = 8
– 4 + h = 8
h = 12



Soalan 9 (3 markah):
Cari julat nilai x dengan keadaan fungsi kuadratik f(x) = 6 + 5x – x2 ialah negatif.

Penyelesaian:
(a)
f(x) < 0
6 + 5x – x2 < 0
(6 – x)(x + 1) < 0
x < –1, x > 6



3.6.2 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on by

Soalan 5:
Diberi persamaan kuadratik hx2 – (h + 2)x – (h – 4) = 0 mempunyai punca-punca yang nyata dan berbeza. Cari julat nilai h.

Penyelesaian:
Persamaan kuadratik h x 2 −( h+2 )x−( h−4 )=0 mempunyai punca-punca yang nyata dan berbeza. Maka,  b 2 −4ac>0 ( −h−2 ) 2 −4( h )( −h+4 )>0 h 2 +4h+4+4 h 2 −16h>0 5 h 2 −12h+4>0 ( 5h−2 )( h−2 )>0 Pekali  h 2  positif, graf melengkung ke bawah ( 5h−2 )( h−2 )=0 h= 2 5 ,2



Julat nilai h bagi ( 5h−2 )( h−2 )>0 ialah  h< 2 5  atau h>2.




Soalan 6:
Rajah di bawah menunjukkan graf fungsi kuadratik f(x) = (x + 3)2 + 2h – 6, dengan keadaan h ialah pemalar.



(a) Nyatakan persamaan paksi simetri bagi lengkung itu.
(b) Diberi nilai minimum bagi fungsi itu ialah 4, cari nilai h.

Penyelesaian:
(a)
Apabila x + 3 = 0
x = –3
Maka, persamaan paksi simetri bagi lengkung itu ialah x = –3.

(b)
Apabila x + 3 = 0, f(x) = 2h – 6
Nilai minimum bagi f(x) ialah 2h – 6.
Maka, 2h – 6 = 4
2h = 10
h = 5

3.6.1 Fungsi Kuadratik, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Posted on by

Soalan 3:
Garis lurus y = 5x – 1 tidak bersilang dengan lengkung y = 2x2 + x + h. Carikan julat nilai h.

Penyelesaian:
y=5x−1         ...... (1) y=2 x 2 +x+h ...... (2) Gantikan (1) ke dalam (2), 5x−1=2 x 2 +x+h 2 x 2 +x+h−5x+1=0 2 x 2 −4x+h+1=0                   b 2 −4ac<0 ( −4 ) 2 −4( 2 )( h+1 )<0              16−8h−8<0                             8<8h                             h>1


Soalan 4:
Cari nilai maksimum bagi fungsi 5 – x – 2x2 , dan nilai x apabila ini berlaku.

Penyelesaian:
5−x−2 x 2 =−2 x 2 −x+5 =−2[ x 2 + 1 2 x− 5 2 ] =−2[ x 2 + 1 2 x+ ( 1 4 ) 2 − ( 1 4 ) 2 − 5 2 ] =−2[ ( x+ 1 4 ) 2 − 1 16 − 5 2 ] =−2[ ( x+ 1 4 ) 2 − 41 16 ] =−2 ( x+ 1 4 ) 2 +5 1 8

Nilai 5−x−2 x 2  adalah maksimum apabila 2 ( x+ 1 4 ) 2 =0   x=− 1 4 Nilai maksimum bagi 5−x−2 x 2  ialah 5 1 8 .


2.6.5 Persamaan Kuadratik, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on by

Soalan 5:
Diberi α dan β adalah punca-punca persamaan kuadratik x (x – 3) = 2k – 4, dengan keadaan k ialah pemalar.
 (a) Cari julat nilai jika α≠β. (b) Diberi  α 2  dan  β 2  adalah punca-punca bagi satu lagi persamaan kuadratik      2 x 2 +tx−4=0, dengan keadaan t ialah pemalar, cari nilai t dan nilai k.

Penyelesaian:
(a) x( x−3 )=2k−4 x 2 −3x+4−2k=0 a=1, b=−3, c=4−2k     b 2 −4ac>0 ( −3 ) 2 −4( 1 )( 4−2k )>0    9−16+8k>0 8k>7   k> 7 8

(b) Dari persamaan  x 2 −3x+4−2k=0, α+β=− b a          =− −3 1          =3.............( 1 ) αβ= c a     = 4−2k 1     =4−2k.............( 2 ) Dari persamaan 2 x 2 +tx−4=0, α 2 + β 2 =− t 2 α+β=−t.............( 3 ) α 2 × β 2 =− 4 2 αβ=−8.............( 4 ) Gantikan (1)=(3), 3=−t t=−3 Gantikan (2)=(4), 4−2k=−8 4+8=2k k=6