Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on May 15, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (3 markah):
Satu garis lurus melalui P(3, 1) dan Q(12, 7). Titik R membahagi tembereng garis PQ dengan keadaan 2PQ = 3RQ.
Cari koordinat R.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} 2 P Q = 3 R Q \\ \frac{P Q}{R Q} = \frac{3}{2} \\ Titik R \\ = (\frac{1 (12) + 2 (3)}{1 + 2}, \frac{1 (7) + 2 (1)}{1 + 2}) \\ = (\frac{18}{3}, \frac{9}{3}) \\ = (6, 3) \end{array}

Soalan 10 (3 markah):
Maklumat berikut adalah merujuk kepada persamaan dua garis lurus, AB dan CD.

\begin{array}{l} A B : y - 2 k x - 3 = 0 \\ C D : \frac{x}{3 h} + \frac{y}{4} = 1 \\ dengan keadaan h dan k \\ ialah pemalar . \end{array}

Diberi garis lurus AB dan garis lurus CD adalah berserenjang antara satu sama lain, ungkapkan h dalam sebutan k.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} A B : y - 2 k x - 3 = 0 \\ y = 2 k x + 3 \\ m_{A B} = 2 k \\ C D : \frac{x}{3 h} + \frac{y}{4} = 1 \\ m_{C D} = - \frac{4}{3 h} \\ m_{A B} \times m_{C D} = - 1 \\ 2 k \times (- \frac{4}{3 h}) = - 1 \\ - 8 k = - 3 h \\ h = \frac{8}{3} k \end{array}

6.8.10 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 10 (7 markah):
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 3 menunjukkan kedudukan bagi bandar M dan bandar N yang dilukis pada suatu satah Cartes.

PQ ialah jalan raya lurus dengan keadaan jarak dari bandar M dan bandar N ke mana-mana titik pada jalan raya adalah sentiasa sama.
(a) Cari persamaan bagi PQ.

(b) Satu lagi jalan raya lurus, ST dengan persamaan y = 2x + 7 akan dibina.
(i) Lampu isyarat akan dipasang di persimpangan kedua-dua jalan raya itu.
Cari koordinat bagi lampu isyarat itu.
(ii) Antara dua jalan raya itu, yang manakah melalui bandar L

(- \frac{4}{3}, 1) ?

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} T (x, y) adalah satu titik pada P Q . \\ T M = T N \\ \sqrt{[x - {(- 4)}^{2}] + {[y - (- 1)]}^{2}} = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} \\ \sqrt{{(x + 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2}} = \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2}} \\ {(x + 4)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = {(x - 2)}^{2} + {(y - 1)}^{2} \\ x^{2} + 8 x + 16 + y^{2} + 2 y + 1 \\ = x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 2 y + 1 \\ 8 x + 2 y + 17 + 4 x + 2 y - 5 = 0 \\ 12 x + 4 y + 12 = 0 \\ 3 x + y + 3 = 0 \\ Persamaan P Q : 3 x + y + 3 = 0 \end{array}

(b)(i)

\begin{array}{l} y = 2 x + 7 ............ (1) \\ 3 x + y + 3 = 0 ............ (2) \\ Gantikan (1) ke dalam (2) : \\ 3 x + 2 x + 7 + 3 = 0 \\ 5 x = - 10 \\ x = - 2 \\ Apabila x = - 2, \\ D a r i (1), \\ y = 2 (- 2) + 7 = 3 \\ Koordinat bagi lampu isyarat = (- 2, 3) . \end{array}

(b)(ii)

\begin{array}{l} L (- \frac{4}{3}, 1) : x = - \frac{4}{3}, y = 1 \\ Persamaan S T : y = 2 x + 7 \\ Sebelah kiri: y = 1 \\ Sebelah kanan: 2 (- \frac{4}{3}) + 7 = 4 \frac{1}{3} \\ Oleh itu, jalan raya y = 2 x + 7 tidak \\ melalui L . \\ Persamaan P Q : 3 x + y + 3 = 0 \\ Sebelah kiri: \\ 3 x + y + 3 = 3 (- \frac{4}{3}) + 1 + 3 \\ = - 4 + 4 = 0 \\ Sebelah kanan = 0 \\ Sebelah kiri = Sebelah kanan \\ Oleh itu, jalan raya 3 x + y + 3 = 0 \\ melalui L . \end{array}

6.8.9 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 14, 2020 by Myhometuition

Soalan 9 (6 markah):
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 1 menunjukkan segi tiga OCD.

Rajah 1

(a) Diberi luas segi tiga OCD ialah 30 unit², cari nilai h.
(b) Titik Q (2, 4) terletak pada garis lurus CD.
(i) Cari CQ : QD.
(ii) Titik P bergerak dengan keadaan PD = 2 PQ.
Cari persamaan lokus P.

Penyelesaian:
(a)

\begin{array}{l} Diberi luas △ O C D = 30 \\ \frac{1}{2} | \begin{array}{l} 0 h - 6 \\ 0     2      8 \end{array} \begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array} | = 30 \\ | (0) (2) + (h) (8) + (- 6) (0) - (0) (h) - (2) (- 6) - (8) (0) | = 60 \\ | 0 + 8 h + 0 - 0 + 12 - 0 | = 60 \\ | 8 h + 12 | = 60 \\ 8 h + 12 = 60 \\ 8 h = 48 \\ h = 6 \\ atau \\ 8 h + 12 = - 60 \\ 8 h = - 72 \\ h = - 9 (a b a i k a n) \end{array}

(b)(i)

\begin{array}{l} [\frac{6 (m) + (- 6) (n)}{m + n}, \frac{2 (m) + (8) (n)}{m + n}] = (2, 4) \\ \frac{6 m - 6 n}{m + n} = 2 \\ 6 m - 6 n = 2 m + 2 n \\ 4 m = 8 n \\ \frac{m}{n} = \frac{8}{4} \\ \frac{m}{n} = \frac{2}{1} \\ \frac{2 m + 8 n}{m + n} = 4 \\ 2 m + 8 n = 4 m + 4 n \\ 2 m = 4 n \\ \frac{m}{n} = \frac{4}{2} \\ \frac{m}{n} = \frac{2}{1} \\ Oleh itu, C Q = Q D = 2 : 1 \end{array}

(b)(ii)

\begin{array}{l} P D = 2 P Q \\ \sqrt{{(x - 6)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} = 2 \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2}} \\ {(x - 6)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4 [{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2}] \\ x^{2} - 12 x + 36 + y^{2} - 4 y + 4 = 4 [x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} - 8 y + 16] \\ x^{2} - 12 x + 36 + y^{2} - 4 y + 4 = 4 x^{2} - 16 x + 16 + 4 y^{2} - 32 y + 64 \\ Persamaan lokus P : \\ 3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x - 28 y + 40 = 0 \end{array}

6.8.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

Soalan 8:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat ABCD. Titik C terletak pada paksi-y.

Persamaan garis lurus AD ialah 2y = 5x – 21.
(a) Cari
(i) persamaan garis lurus AB,
(ii) koordinat A,
(b) Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik D sentiasa 5 unit.
Cari persamaan lokus P.

Penyelesaian:

(a)(i)

\begin{array}{l} 2 y = 5 x - 21 \\ y = \frac{5}{2} x - \frac{21}{2} \\ m_{A D} = \frac{5}{2} \\ m_{A B} \times m_{A D} = - 1 \\ m_{A B} \times \frac{5}{2} = - 1 \\ m_{A B} = - \frac{2}{5} \\ Persamaan A B \\ y - y_{1} = m_{A B} (x - x_{1}) \\ y + 1 = - \frac{2}{5} (x + 2) \\ 5 y + 5 = - 2 x - 4 \\ 5 y = - 2 x - 9 \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} 2 y = 5 x - 21 .......... (1) \\ 5 y = - 2 x - 9 .......... (2) \\ (1) \times 5 : 10 y = 25 x - 105 .......... (3) \\ (2) \times 2 : 10 y = - 4 x - 18 .......... (4) \\ (2) - (4) : 0 = 29 x - 87 \\ x = 3 \\ Dari (1), \\ 2 y = 15 - 21 \\ 2 y = - 6 \\ y = - 3 \\ A = (3, - 3) \end{array}

(b)

\begin{array}{l} y = 2, \\ 4 = 5 x - 21 \\ 5 x = 25 \\ x = 5 \\ Titik D = (5, 2) \\ P D = 5 \\ \sqrt{{(x - 5)}^{2} + {(y - 2)}^{2}} = 5 \\ {(x - 5)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 25 \\ x^{2} - 10 x + 25 + (y^{2} - 4 y + 4) = 25 \\ x^{2} + y^{2} - 10 x - 4 y + 4 = 0 \end{array}

6.8.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Posted on May 13, 2020 by Myhometuition

6.8.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 7:
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah di bawah menunjukkan segi tiga PRS. Sisi PR bersilang dengan paksi-y pada titik Q.

(a) Diberi PQ : QR = 2 : 3, cari
(i) koordinat P,
(ii) persamaan garis lurus PS,
(iii) luas, dalam unit², segi tiga PRS.
(b) Titik M bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik R adalah sentiasa dua kali jaraknya dari titik S.
Cari persamaan lokus M.

Penyelesaian:

(a)(i)

\begin{array}{l} P = (\frac{2 (6) + 3 h}{2 + 3}, \frac{2 (12) + 3 k}{2 + 3}) \\ (0, 6) = (\frac{12 + 3 h}{5}, \frac{24 + 3 k}{5}) \\ \frac{12 + 3 h}{5} = 0 \\ 3 h = - 12 \\ h = - 4 \\ \frac{24 + 3 k}{5} = 6 \\ 3 k = 30 - 24 \\ k = 2 \\ P = (- 4, 2) \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} m_{P S} = \frac{2 - (- 6)}{- 4 - 2} \\ = - \frac{8}{6} \\ = - \frac{4}{3} \\ Persamaan P S : \\ y - y_{1} = - \frac{4}{3} (x - 2) \\ y - (- 6) = - \frac{4}{3} x + \frac{8}{3} \\ 3 y + 18 = - 4 x + 8 \\ 3 y = - 4 x - 10 \end{array}

(a)(iii)

\begin{array}{l} Luas △ P R S \\ = \frac{1}{2} | \begin{array}{l} - 4      2       6 \\ 2 - 612 \end{array} \begin{array}{l} - 4 \\ 2 \end{array} | \\ = \frac{1}{2} | (24 + 24 + 12) - (4 - 36 - 48) | \\ = \frac{1}{2} | 60 - (- 80) | \\ = 70 {unit}^{2} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} Katakan P = (x, y) \\ M R = 2 M S \\ \sqrt{{(x - 6)}^{2} + {(y - 12)}^{2}} = 2 \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y + 6)}^{2}} \\ {(x - 6)}^{2} + {(y - 12)}^{2} = 4 [{(x - 2)}^{2} + {(y + 6)}^{2}] \\ x^{2} - 12 x + 36 + y^{2} - 24 y + 144 = 4 [x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + 12 y + 36] \\ x^{2} - 12 x + y^{2} - 24 y + 180 = 4 x^{2} - 16 x + 4 y^{2} + 48 y + 160 \\ 3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 72 y - 20 = 0 \end{array}

Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on July 7, 2016 by user

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 6:

Penyelesaian secara lukisan berskala tidak akan diterima.

Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga OPQ. Titik S terletak pada garis PQ.

(a) Suatu titik Y bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik S adalah sentiasa 5 uint.

Cari persamaan lokus Y.

(b) Diberi bahawa titik P dan titik Q terletak pada lokus Y.

Hitung

(i) nilai k,

(ii) koordinat Q.

(c) Seterusnya, cari luas, dalam uint², bagi segi tiga OPQ.

Penyelesaian:

(a)

Katakan koordinat titik Yialah (x, y), dan YS = 5 unit

\sqrt{{(x - 5)}^{2} + {(y - 3)}^{2}} = 5

x² – 10x + 25 + y² – 6y + 9 = 25

x² + y² – 10x – 6y + 9 = 0

(b)(i)

Diberi titik P (2,k) terletak pada lokus Y

(2)² + (k)²– 10 (2) – 6 (k) + 9 = 0

4 + k² – 20 – 6k + 9 = 0

k² – 6k – 7 = 0

(k – 7) (k + 1) = 0

k = 7 atau k = –1

Berdasarkan rajah, k = 7

(b)(ii)

Diberi P dan Q terletak pada lokus Y, Sialah titik tengah PQ. P = (2, 7), S = (5, 3)

Katakan koordinat Q = (x, y),

\begin{array}{l} (\frac{2 + x}{2}, \frac{7 + y}{2}) = (5, 3) \\ \frac{2 + x}{2} = 5 dan \frac{7 + y}{2} = 3 \end{array}

2 + x = 10 dan 7 + y= 6

x = 8 dan y = –1

Koordinat Q = (8, –1).

(c)

Luas ∆ OPQ

\begin{array}{l} = \frac{1}{2} | \begin{array}{l} 0 8     2 \\ 0 - 17 \end{array} \begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array} | \\ = \frac{1}{2} | 0 + (8) (7) + 0 - 0 - (- 1) (2) - 0 | \\ = \frac{1}{2} | 58 | \\ = 29 {unit}^{2} \end{array}

Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on July 7, 2016 by user

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5:

Dalam rajah di atas, persamaan bagi garis lurus FMG ialah y = – 4. Satu titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari E adalah sentiasa separah jarak bagi E dari garis lurus FG. Cari

(a) persamaan bagi lokus P,

(b) koordinat-xbagi titik persilangan antara lokus dengan paksi-x.

Penyelesaian:

( a)

Kecerunan garis lurus FMG= 0

EM iadalah berserenjang dengan FMG, jadi kecerunan EM adalah juga = 0, persamaan EM adalah x = 2

Koordinat bagi titik M= (2, –4).

Katakan koordinat bagi titik P = (x, y).

Diberi PE = ½ EM

2PE = EM

2 \sqrt{{(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2}} = \sqrt{{(2 - 2)}^{2} + {(4 - (- 4))}^{2}}

4 (x²– 4x + 4 + y² – 8y +16) = (0 + 64) → (Kuasa duakan kedua-dua belah)

4x²– 16x + 16 + 4y² – 32y + 64 = 64

4x²+ 4y² – 16x – 32y + 16 = 0

x² + y² – 4x – 8y + 4 = 0

( b)

x² + y² – 4x – 8y + 4 = 0

pada paksi-x, y = 0.

x² + 0 – 4x – 8(0) + 4 = 0

x² – 4x+ 4 = 0

(x – 2) (x – 2) = 0

x = 2

Jadi, koordinat-x bagi titik persilangan antara lokus dengan paksi-x ialah 2.

Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on July 7, 2016 by user

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:

Rajah di atas menunjukkan segitiga LMN dengan keadaan L terletak di paksi-y. Persamaan garis lurus LKN dan MK adalah 2y – 3x + 6 = 0 dan 3y + x – 13 = 0 masing-masing. Cari

(a) koordinat titik K

(b) nisbah LK:KN

Penyelesaian:

(a)

2y – 3x + 6 = 0 ----(1)

3y + x – 13 = 0 ----(2)

x = 13 – 3y ----(3)

Gantikan persamaan (3) ke dalam (1),

2y – 3 (13 – 3y) + 6 = 0

2y – 39 + 9y + 6 = 0

11y = 33

y = 3

Gantikan y = 3 ke dalam persamaan (3),

x = 13 – 3 (3)

x = 4

Koordinat titik K = (4, 3).

(b)

Diberi persamaan LKNialah 2y – 3x + 6 = 0

Di paksi-y, x = 0,

2y – 3(0) + 6 = 0

2y = –6

y = –3

koordinat titik L= (0, –3).

Nisbah LK:KN

Samakan koordinat x,

\begin{array}{l} \frac{L K (10) + K N (0)}{L K + K N} = 4 \\ 10 L K = 4 L K + 4 K N \\ 6 L K = 4 K N \\ \frac{L K}{K N} = \frac{4}{6} \\ \frac{L K}{K N} = \frac{2}{3} \end{array}

Nisbah LK:KN = 2 : 3

Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on July 7, 2016 by user

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Dalam rajah di atas, PRS dan QRT ialah garis lurus. Diberi Radalah titik tengah bagi PS dan QR : RT = 1 : 3, Cari

(a) koordinat titik R,

(b) koordinat titik T,

(c) koordinat bagi titik persilangan antara garis PQ dan garis ST.

Penyelesaian:

(a)

Diberi R ialah titik tengah bagi PS.

\begin{array}{l} R = (\frac{3 + 7}{2}, \frac{2 + 6}{2}) \\ R = (5, 4) \end{array}

(b)

QR : RT = 1 : 3

Katakan koordinat titik T = (x, y)

\begin{array}{l} (\frac{(1) (x) + (3) (4)}{1 + 3}, \frac{(1) (y) + (3) (5)}{1 + 3}) = (5, 4) \\ \frac{x + 12}{4} = 5 \\ x + 12 = 20 \\ x = 8 \\ \frac{y + 15}{4} = 4 \end{array}

y + 15 = 16

y = 1

T = (8, 1)

(c)

Kecerunan P Q = \frac{5 - 2}{4 - 3} = 3

Persamaan PQ,

y – 2 = 3 (x – 3)

y – 2 = 3x – 9

y = 3x – 7 ---- (1)

Kecerunan S T = \frac{6 - 1}{7 - 8} = - 5

Persamaan ST,

y – 1 = –5 (x – 8)

y – 1 = –5x + 40

y = –5x + 41 ---- (2)

Gantikan (1) ke dalam (2),

3x – 7 = –5x + 41

8x = 48

x = 6

Dari (1),

y = 3(6) – 7 = 11

Koordinat bagi titik persilangan antara garis PQ dan garis ST = (6, 11).

Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on July 7, 2016 by user

6.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 6:

Titik M ialah (-3, 5) dan titik N ialah (4, 7). Titik P bergerak dengan keadaan PM: PN= 2: 3. Cari persamaan lokus bagi P.

Penyelesaian:

Katakan P = (x, y)

PM : PN = 2 : 3

\begin{array}{l} \frac{P M}{P N} = \frac{2}{3} \\ 3 P M = 2 P N \\ 3 \sqrt{{(x - (- 3))}^{2} + {(y - 5)}^{2}} = 2 \sqrt{{(x - 4)}^{2} + {(y - 7)}^{2}} \end{array}

Menguasa dua kedua-dua belah untuk menghapuskan punca kuasa dua.

9[x²+ 6x + 9 + y² – 10y + 25] = 4 [x² – 8x + 16 + y² – 14y + 49]

9x²+ 54x + 9y² – 90y + 306 = 4x² – 32x + 4y²– 56y + 260

5x²+ 5y² + 86x – 34y + 46 = 0

Oleh itu, persamaan lokus bagi titik P ialah

5x² + 5y² + 86x – 34y + 46 = 0

Soalan 7:

Diberi titik A (0,2) dan titik B (6,5). Cari persamaan lokus bagi suatu titik bergerak P dengan keadaan APB sentiasa bersudut tegak di P.

Penyelesaian:

Katakan P = (x, y)

Diberi segi tiga APB = 90^o, maka AP adalah berserenjang dengan PB.

Oleh itu, (m_AP)(m_PB) = –1.

(m_AP)(m_PB) = –1

(\frac{y - 2}{x - 0}) (\frac{y - 5}{x - 6}) = - 1

(y – 2)(y – 5) = – x(x – 6)

y² – 7y + 10 = –x² + 6x

y² + x² – 6x – 7y + 10 = 0

Persamaan lokus bagi titik P ialah,

y² + x² – 6x – 7y + 10 = 0

Soalan 8:

Cari persamaan pembahagi dua sama serenjang bagi garis lurus yang menyambungkan titik (–4, 3) dengan titik (2, 4).

Penyelesaian:

Kecerunan garis, m₁=

\frac{4 - 3}{2 - (- 4)} = \frac{1}{6}

Kecerunan garis serenjang, m₂ =

- \frac{1}{m_{1}} = - 6

\begin{array}{l} Titik tengah = (\frac{- 4 + 2}{2}, \frac{3 + 4}{2}) \\ = (- 1, \frac{7}{2}) \end{array}

Jadi, persamaan pembahagi dua sama serenjang ialah

\begin{array}{l} y - \frac{7}{2} = - 6 (x - (- 1)) \\ y - \frac{7}{2} = - 6 x - 6 \end{array}

2y – 7 = –12x – 12

12x + 2y + 5 = 0