Soalan 12:
(a) Didapati bahawa 60% murid dari sebuah kelas tertentu mendapat gred A bagi Bahasa Inggeris dalam peperiksaan percubaan O level.
Jika 10 orang murid dari kelas itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa
(i) tepat 7orang murid mendapat gred A.
(ii) tidak lebih daripada 7 orang murid mendapat gred A.

(b) Rajah di bawah menunjukkan satu graf taburan normal piawai yang mewakili isi padu kicap dalam botol yang dihasilkan oleh sebuah kilang.

Diberi bahawa min ialah 950 cm³ dan  variansnya ialah 256 cm⁶. Jika peratus isi padu yang melebihi V ialah 30.5%, cari
(i) nilai V,
(ii) kebarangkalian bahawa isi padu antara 930 cm³ dan 960 cm³.


Penyelesaian:

$\begin{array}{l}\text{(a)(i)}\\ P(X=r)={}^{n}c{}_r.p^r.q^{n-r}\\ P(X=7)={}^{10}C{}_7{\left(0.6\right)}^7{\left(0.4\right)}^3\\ =0.0860\\ \\ \left(ii\right)\\ P(X\le 7)\\ =1-P(X>7)\\ =1-P\left(X=8\right)-P\left(X=9\right)-P\left(X=10\right)\\ =1-{}^{10}C{}_8{\left(0.6\right)}^8{\left(0.4\right)}^2-{}^{10}C{}_9{\left(0.6\right)}^9{\left(0.4\right)}^1-{}^{10}C{}_{10}{\left(0.6\right)}^{10}{\left(0.4\right)}^0\\ =1-0.1209-0.0403-0.0060\\ =0.8328\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{(b)}\left(i\right)\\ P\left(X>V\right)=30.5\%\\ P\left(Z>\frac{V-950}{16}\right)=0.305\\ P\left(Z>0.51\right)=0.305\\ \frac{V-950}{16}=0.51\\ V=0.51\left(16\right)+950\\ =958.16{\text{ cm}}^3\end{array}$

$\begin{array}{l}\left(ii\right)\\ \text{Kebarangkalian}\\ =P\left(930<X<960\right)\\ =P\left(\frac{930-950}{16}<Z<\frac{960-950}{16}\right)\\ =P\left(-1.25<Z<0.625\right)\\ =1-P\left(Z>1.25\right)-P\left(Z>0.625\right)\\ =1-0.1056-0.2660\\ =0.6284\end{array}$

Soalan 11:
(a) 30% daripada pen di dalam sebuah kotak berwarna biru. Charlie memilih 4 batang pen secara rawak. Cari kebarangkalian sekurang-kurangnya satu batang pen yang dipilih tidak berwarna biru.

(b) Jisim betik yang dituai dari sebuah ladang buah-buahan adalah mengikut taburan normal dengan min 2 kg dan sisihan piawai h kg. Diberi bahawa 15.87% daripada betik itu mempunyai jisim lebih daripada 2.5 kg.
(i) Hitung nilai h.
(ii) Diberi bilangan betik yang dituai dari lading buah-buahan itu ialah 1320, cari bilangan betik yang mempunyai jisim antara 1.0 kg hingga 2.5 kg.


Penyelesaian:
$\begin{array}{l}\text{(a)}\\ P\left(X\ge 1\right)=1-P\left(X=0\right)\\ =1-{}^{4}C{}_4{\left(0.3\right)}^4{\left(0.7\right)}^0\\ =0.9919\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{(b) }\mu =2,\sigma =h\\ \left(i\right)\\ P\left(X>2.5\right)=15.87\%\\ P\left(Z>\frac{2.5-2}{h}\right)=0.1587\\ P\left(Z>1.0\right)=0.1587\\ \frac{2.5-2}{h}=1.0\\ h=0.5\end{array}$


$\begin{array}{l}\left(ii\right)\\ p=P\left(1.0<x<2.5\right)\\ =P\left(\frac{1.0-2}{0.5}<Z<\frac{2.5-2}{0.5}\right)\\ =P\left(-2<Z<1\right)\\ =1-P\left(Z<-2\right)-P\left(Z>1\right)\\ =1-P\left(Z>2\right)-P\left(Z>1\right)\\ =1-0.0228-0.1587\\ =0.8185\\ \\ \text{Bilangan betik}=0.8185\times 1320\\ =1080\end{array}$

Soalan 10:
(a) Satu tinjauan dijalankan berkenaan kelab bulan sabit merah di sebuah sekolah.
Didapati bahawa min bilangan ahli kelab bulan sabit merah ialah 315, varians ialah 126 dan kebarangkalian seorang murid menyertai kelab bulan sabit merah ialah p.

(i) Cari nilai p.

(ii) Jika 8 orang murid dari sekolah itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalian lebih daripada 5 orang murid menyertai kelab bulan sabit merah.

(b) Jisim baja yang digunakan di sebuah dusun buah-buahan mempunyai taburan normal dengan min 5 kg dan varians 0.8 kg. Cari kebarangkalian dalam satu hari tertentu, lebih daripada 6 kg baja digunakan.


Penyelesaian:
$\begin{array}{l}\text{(a)(i)}\\ np=315\\ np\left(1-p\right)=126\\ 315\left(1-p\right)=126\\ 1-p=\frac{126}{315}\\ 1-p=0.4\\ p=0.6\\ \\ \left(ii\right)\\ n=8,p=0.6\\ P(X=r)={}^{n}c{}_r.p^r.q^{n-r}\\ P(X=r)={}^{8}C{}_r{\left(0.6\right)}^r{\left(0.4\right)}^8\\ \\ P(X>5)\\ =P\left(X=6\right)+P\left(X=7\right)+P\left(X=8\right)\\ ={}^{8}C{}_6{\left(0.6\right)}^6{\left(0.4\right)}^2+{}^{8}C{}_7{\left(0.6\right)}^7{\left(0.4\right)}^1+{}^{8}C{}_8{\left(0.6\right)}^8{\left(0.4\right)}^0\\ =0.20902+0.08958+0.01680\\ =0.3154\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{(b)}\\ P\left(X>6\right)=P\left(Z>\frac{6-5}{\sqrt{0.8}}\right)\\ =P\left(Z>1.12\right)\\ =0.1314\end{array}$

Soalan 7 (4 markah):
Sebuah badan sukarela menganjurkan kursus pertolongan cemas 4 kali sebulan, setiap Sabtu dari Mac hingga September.
[Andaikan setiap bulan mempunyai empat hari Sabtu]

Salmah berhasrat untuk menyertai kursus tersebut tetapi dia mungkin perlu meluangkan satu hari Sabtu setiap bulan untuk menemani ibunya ke hospital.
Kebarangkalian bahawa Salmah akan hadir ke kursus tersebut pada setiap Sabtu ialah 0.8. Salmah akan diberi sijil kehadiran bulanan jika dia boleh menghadiri kursus tersebut sekurang-kurangnya 3 kali sebulan.

(a) Cari kebarangkalian bahawa Salmah akan diberi sijil kehadiran bulanan.

(b) Salmah akan layak untuk menduduki ujian pertolongan cemas jika dia memperoleh lebih daripada 5 sijil kehadiran bulanan.
Cari kebarangkalian bahawa Salmah layak untuk menduduki ujian pertolongan cemas itu.

Penyelesaian:
(a)

$\begin{array}{l}P\left(X=r\right)={}^{n}C{}_r{p}^r{q}^{n-r}\\ p=0.8,q=0.2,n=4,r=3,4\\ \\ P\left(X\ge 3\right)\\ =P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)\\ ={}^{4}C{}_3{\left(0.8\right)}^3{\left(0.2\right)}^1+{}^{4}C{}_4{\left(0.8\right)}^4{\left(0.2\right)}^0\\ =0.4096+0.4096\\ =0.8192\end{array}$

(b)

$\begin{array}{l}P\left(X=r\right)={}^{n}C{}_r{p}^r{q}^{n-r}\\ p=0.8192,q=0.1808,n=7,r=6,\text{ 7}\\ \\ P\left(X>5\right)\\ =P\left(X=6\right)+P\left(X=7\right)\\ ={}^{7}C{}_6{\left(0.8192\right)}^6{\left(0.1808\right)}^1+\\ {}^{7}C{}_7{\left(0.8192\right)}^7{\left(0.1808\right)}^0\\ =0.3825+0.2476\\ =0.6301\end{array}$

Soalan 8 (4 markah):
Rajah menunjukkan satu graf taburan normal piawai.

Rajah

Kebarangkalian yang diwakili oleh luas kawasan berlorek ialah 0.2881.
(a) Cari nilai h.
(b) X ialah pemboleh ubah rawak selanjar bertaburan secara normal dengan min, μ dan varians 16.
Cari nilai μ jika skor-z bagi X = 58.8 ialah h.

Penyelesaian:
(a)
P(X < h) = 0.5 – 0.2881
P(X < h) = 0.2119
P(X < –0.8) = 0.2119
h = –0.8

(b)

$\begin{array}{l}X=58.8\\ \frac{X-\mu }{\sigma }=\frac{58.8-\mu }{\sigma }\\ Z=\frac{58.8-\mu }{4}\\ h=\frac{58.8-\mu }{4}\\ -0.8=\frac{58.8-\mu }{4}\\ -3.2=58.8-\mu \\ \mu =58.8+3.2\\ \mu =62\end{array}$

Soalan 5 (2 markah):
Rajah menunjukkan graf taburan kebarangkalian bagi suatu pemboleh ubah rawak X, X ~ N(μ, σ²).

Rajah

Diberi bahawa AB adalah paksi simetri bagi graf itu.
(a) Nyatakan nilai μ.
(b) Jika luas kawasan berlorek ialah 0.38, nyatakan nilai bagi P(5 ≤ X ≤ 15).

Penyelesaian:
(a)
μ = 0

(b)
P(10 ≤ X ≤ 15)
= 0.5 – 0.38
= 0.12

P(5 ≤ X ≤ 10)
= P(10 ≤ X ≤ 15)
= 0.12

Maka P(5 ≤ X ≤ 15)
= 0.12 + 0.12
= 0.24

Soalan 6 (3 markah):
Rajah menunjukkan graf bagi taburan binomial X ~ B(3, p).

Rajah

(a) Ungkapkan P(X = 0) + P(X > 2) dalam sebutan a dan b.
(b) Cari nilai p.

Penyelesaian:
(a)
P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 1
P(X = 0) + a + b + P(X = 3) = 1
P(X = 0) + P(X = 3) = 1 – a – b
P(X = 0) + P(X > 2) = 1 – a – b

(b)

$\begin{array}{l}P\left(X=0\right)=\frac{27}{343}\\ {}^3{C}_0\left(p^0\right){\left(1-p\right)}^3=\frac{27}{343}\\ 1\times 1\times {\left(1-p\right)}^3={\left(\frac{3}{7}\right)}^3\\ 1-p=\frac{3}{7}\\ p=\frac{4}{7}\end{array}$

Soalan 9 (10 markah):
Satu kajian menunjukkan bahawa baki hutang kad kredit pelanggan-pelanggan adalah bertabur secara normal seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 6.


(a)(i) Cari sisihan piawai.
(ii) Jika 30 orang pelanggan dipilih secara rawak, cari pelanggan yang mempunyai baki hutang kad kredit di antara RM1800 dan RM3000.

(b) Didapati bahawa 25% pelanggan mempunyai jumlah baki hutang kad kredit kurang daripada RM y.
Cari nilai y.


Penyelesaian:
(a)(i)
$\begin{array}{l}\mu =2870,x=3770\\ P\left(X>3770\right)=15.87\%\\ P\left(Z>\frac{3770-2870}{\sigma }\right)=0.1587\\ P\left(Z>1.0\right)=0.1587\\ \frac{3770-2870}{\sigma }=1.0\\ \sigma =900\end{array}$


(a)(ii)
$\begin{array}{l}P\left(1800<X<3000\right)\\ =P\left(\frac{1800-2870}{900}<Z<\frac{3000-2870}{900}\right)\\ =P\left(-1.189<Z<0.144\right)\\ =1-P\left(Z\le -1.189\right)-P\left(Z\ge 0.144\right)\\ =1-0.1172-0.4427\\ =0.4401\\ \\ \text{Bilangan pelanggan}=0.4401\times 30\\ =14\end{array}$


(b)
$\begin{array}{l}\mu =2870,x=y\\ P\left(x<y\right)=25\%\\ P\left(Z<\frac{y-2870}{900}\right)=0.25\\ \frac{y-2870}{900}=-0.674\\ y=2263.40\end{array}$

Soalan 8 (10 markah):
(a) Jisim bagi buah tembikai susu yang dihasilkan di sebuah ladang bertaburan secara normal dengan min 0.8 kg dan sisihan piawai 0.25 kg. Buah tempikai susu itu dikelaskan kepada tiga gred A, B dan C mengikut jisimnya:

Gred A > Gred B > Gred C

(i) Jisim minimum bagi sebiji tembikai susu gred A ialah 1.2 kg.
Jika sebiji tembikai susu diambil secara rawak dari ladang itu, cari kebarangkalian bahawa buah tembikai susu itu adalah gred A.

(ii) Cari jisim minimum, dalam kg, buah tembikai susu gred B jika 20% daripada buah-buah tembikai susu itu adalah gred C.


(b) Dalam permainan Menembak Itik di taman hiburan, kebarangkalian untuk menang ialah 25%.
Jacky telah membeli tiket untuk bermain permainan itu sebanyak n kali. Kebarangkalian untuk Jacky menang sekali dalam permainan itu adalah 10 kali ganda kebarangkalian kalah dalam semua permainan.

(i) Cari nilai n.

(ii) Hitung sisihan piawai bagi bilangan kemenangan.


Penyelesaian:
μ = 0.8 kg, σ = 0.25 kg

(a)(i)
$\begin{array}{l}P\left(\text{gred }A\right)=P\left(X>1.2\right)\\ =P\left(Z>\frac{1.2-0.8}{0.25}\right)\\ =P\left(Z>1.6\right)\\ =0.0548\end{array}$

(a)(ii)
$\begin{array}{l}P\left(\text{gred C}\right)=0.2\\ P\left(X<m\right)=0.2\\ P\left(Z<\frac{m-0.8}{0.25}\right)=0.2\\ P\left(Z<-0.842\right)=0.2\\ \frac{m-0.8}{0.25}=-0.842\\ m-0.8=-0.2105\\ m=0.5895\\ \\ \text{Jisim minimum buah tembikai susu}\\ \text{gred }B\text{ adalah sama dengan jisim }\\ \text{maximum buah tembikai susu gred }C\text{.}\\ \\ \text{Jisim minimum gred }B=0.5895\text{ kg}\end{array}$



(b)
$\begin{array}{l}p=0.25,X=B\left(n,0.25\right)\\ P\left(X=r\right)={}^{n}C{}_r{p}^r{q}^{n-r}\\ ={}^{n}C{}_r{\left(0.25\right)}^r{\left(0.75\right)}^{n-r}\end{array}$


(b)(i)
$\begin{array}{l}P\left(X=1\right)=10P\left(X=0\right)\\ {}^{n}C{}_r{\left(0.25\right)}^1{\left(0.75\right)}^{n-r}=10\times {}^{n}C{}_0{\left(0.25\right)}^0{\left(0.75\right)}^n\\ {}^{n}C{}_1{\left(0.25\right)}^1{\left(0.75\right)}^{n-1}=10\times 1\times 1\times {\left(0.75\right)}^n\\ n\times 0.25\times {\left(0.75\right)}^{n-1}=10\times {\left(0.75\right)}^n\\ 0.25n\times \frac{{\left(0.75\right)}^{n-1}}{{0.75}^n}=10\\ 0.25n\times {0.75}^{-1}=10\\ \frac{1}{4}n{\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}=10\\ \frac{1}{4}n\left(\frac{4}{3}\right)=10\\ \frac{1}{3}n=10\\ n=30\end{array}$


(b)(ii)
$\begin{array}{l}n=30,p=0.25,q=0.75\\ \text{Sisihan piawai}\\ \text{=}\sqrt{npq}\\ =\sqrt{30\times 0.25\times 0.75}\\ =2.372\end{array}$

8.2.3 Kebarangkalian Sesuatu Peristiwa

8.2.2c Taburan Normal Piawai (Contoh 3)