Bab 19 Taburan Kebarangkalian

8.4 Taburan Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:
Dalam suatu peperiksaan, 2 daripada 5 pelajar yang mengambil peperiksaan itu gagal dalam kertas kimia.
(a)     Jika 6 orang dipilih secara rawak daripada pelajar-pelajar, cari kebarangkalian bahawa tidak melebihi 2 orang pelajar gagal dalam kertas kimia.
(b)   Jika terdapat 200 orang pelajar tingkatan 4 dalam sekolah itu, cari min dan sisihan piawai bilangan orang pelajar gagal kertas kimia.

Penyelesaian:
(a)
X ~ Bilangan pelajar gagal kertas kimia
X ~ B (n, p)
X~B( 6,  2 5 )

P (X = r) = nCr. pr. qn-r
P (X ≤ 2)
= P(X = 0) + P(X = 1) + P(X= 2)
= C 6 0 ( 2 5 ) 0 ( 3 5 ) 6 + C 6 1 ( 2 5 ) 1 ( 3 5 ) 5 + C 6 2 ( 2 5 ) 2 ( 3 5 ) 4  
= 0.0467 + 0.1866 + 0.3110
= 0.5443

(b)
X ~ B (n, p)
X~B( 200,  2 5 ) Min bagi X =np=200× 2 5 =80 Sisihan piawai bagi X = npq = 200× 2 5 × 3 5 = 48 =6.93



Soalan 2:
5% daripada bekalan mangga diterima oleh sebuah supermarket adalah rosak.
(a)    Jika suatu sampel yang terdiri daripada 12 biji mangga dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya 2 biji mangga adalah rosak.
(b)   Cari bilangan minimum mangga yang perlu dipilih supaya kebarangkalian untuk mendapatkan sekurang-kurangnya sebiji mangga rosak adalah lebih daripada 0.85.  
  
Penyelesaian:
(a)
X ~ B (12, 0.05)
1 – P(X ≤ 1)
= 1 – [P(X = 0) + P (X = 1)]
= 1 – [12C0 (0.05)0 (0.95)12 + 12C1 (0.05)1 (0.95)11]
= 1 – 0.8816
= 0.1184

(b)
P (X ≥ 1) > 0.85
1 – P(X = 0) > 0.85
P (X = 0) < 0.15
nC0(0.05)0 (0.95)n< 0.15
nlg 0.95 < lg 0.15
n > 36.98
n = 37

Oleh itu, bilangan minimum mangga yang perlu dipilih ialah 37 sekiranya kebarangkalian lebih daripada 0.85.


Soalan 3:
Dalam suatu kajian di sebuah sekolah, didapati bahawa 20% daripada pelajar tingkatan 5 gagal dalam peperiksaan tengah tahun. Jika 8 orang pelajar daripada sekolah itu dipilih secara rawak, cari kebarangkalian bahawa
(a)    tepat 2 orang pelajar gagal dalam peperiksaan tengah tahun,
(b)   kurang daripada 3 orang pelajar gagal dalam peperiksaan tengah tahun.

Penyelesaian:
(a)
p = 20% = 0.2,
q = 1 – 0.2 = 0.8
X ~ B (8, 0.2)

P (X = 2)
8C2 (0.2)2 (0.8)6
= 0.2936

(b)
P (X < 3)
= P(X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)
= 8C0 (0.2)0 (0.8)8+ 8C1 (0.2)1 (0.8)7+ 8C2 (0.2)2(0.8)6
= 0.16777 + 0.33554 + 0.29360
= 0.79691

Bab 19 Taburan Kebarangkalian

8.2c Kebarangkalian Sesuatu Peristiwa
Contoh:
Jisim epal dalam sebuah gerai adalah bertaburan normal dengan min 220g dan varians 100g. Cari kebarangkalian bahawa sebiji epal dipilih secara rawak mempunyai jisim
(a) lebih daripada 230g.
(b) di antara 210g dengan 225g.
Seterusnya, cari nilai h supaya 90% daripada epal mempunyai jisim lebih daripada h g.

Penyelesaian:
μ = 220g
σ = √100 = 10g
Katakan X ialah jisim buah epal.
(a)
P (X > 230)
=P( Z> 230220 10 ) Tukar kepada taburan normal piawai ~ rumus Z= Xμ σ  
= P (Z > 1)
= 0.1587

(b)
P (210 < X < 225)
=P( 210220 10 <Z< 225220 10 ) Tukar kepada taburan normal piawai
= P (–1 < Z < 0.5)
= 1 – P (Z > 1) – P (Z > 0.5)
= 1 – 0.1587 – 0.3085
= 0.5328

90% (kebarangkalian = 0.9) daripada epal mempunyai jisim lebih daripada h g,
P(X > h) = 0.9
P(X < h) = 1 – 0.9
                = 0.1
Daripada sifir taburan normal piawai,
P(Z > 0.4602) = 0.1
P(Z < –0.4602) = 0.1

h220 10 =0.4602
h – 220 = – 4.602
h = 215.4




Bab 19 Taburan Kebarangkalian

8.2b Taburan Normal Piawai (Contoh 3)
Contoh 3:
Cari nilai bagi k jika
(a) P(Z > k) = 0.0480
(b) P(Z > k) = 0.8350

Penyelesaian:
(a)


Daripada sifir taburan normal piawai, k = 1.665

Z
6
5 (Tolak)
1.6
.0485
5

  
(b)


Daripada sifir taburan normal piawai,
k = –0.974 ← (nilai k adalah negatif kerana ia berada di sebelah kiri lengkung normal.


Z
7
4 (Tolak)
0.9
.1660
10


Bab 19 Taburan Kebarangkalian

8.2b Taburan Normal Piawai (Contoh 2)
Contoh 2:
Cari nilai bagi setiap kebarangkalian yang berikut daripada sifir taburan normal piawai.
(a) P (0.4 < Z < 1.2)
(b) P (–1 < Z < 2.5)
(c) P (–1.3 < Z < –0.5)

Penyelesaian:
(a)
P (0.4 < Z < 1.2)
= Luas P – Luas Q
= Q (0.4) – Q (1.2) ← (bacaan daripada sifir taburan normal piawai bagi 0.4 dan 1.2 ialah 0.3446 dan 0.1151 masing-masing)
= 0.3446 – 0.1151
= 0.2295


(b)
P (–1 < Z < 2.5)
= 1– Luas P – Luas Q
= 1 – Q (1) – Q (2.5)
= 1 – 0.1587 – 0.00621 ← (bacaan daripada sifir taburan normal piawai bagi 1 dan 2.5 ialah 0.1587 dan 0.00621 masing-masing)
= 0.8351


(c)
P (–1.3 < Z < –0.5)
= Luas P – Luas Q
= Q (0.5) – Q (1.3)
= 0.3085 – 0.0968 ← (bacaan daripada sifir taburan normal piawai bagi 0.5 dan 1.3 ialah 0.3085 dan 0.0968 masing-masing)
= 0.2117



Bab 19 Taburan Kebarangkalian


8.2b Taburan Normal Piawai (Contoh 1)
Contoh 1:
Cari nilai bagi setiap kebarangkalian yang berikut daripada sifir taburan normal piawai.
(a) P(Z > 0.600)
(b) P(Z < –1.24)
(c) P(Z > –1.1)
(d) P(Z < 0.76)

Penyelesaian:
Sifir Taburan Normal Piawai



*Semasa membaca sifir taburan normal piawai, ia melibatkan penolakan nilai.

(a)
Daripada sifir taburan normal piawai, P(Z > 0.600) = 0.2743


(b)
P(Z < –1.24)
= P(Z > 1.24)
= Q(1.24)
= 0.1075 ← (Bacaan daripada sifir taburan normal piawai)


 (*Dalam sifir taburan normal piawai, semua nilai bagi z adalah positif. Perhatikan bahawa lengkung itu adalah bersimetri pada paksi tegak, maka luas rantau berlorek bagi kedua-dua graf di atas adalah sama)

(c)
P(Z > –1.1)
= 1– Luas P
= 1 – Q(–1.1)
= 1 – 0.1357 ← (Bacaan daripada sifir taburan normal piawai)
= 0.8643


(d)
P(Z < 0.76)
= 1– Luas P
= 1 – Q(0.76)
= 1 – 0.2236 ← (Bacaan daripada sifir taburan normal piawai)
= 0.7764



Bab 19 Taburan Kebarangkalian

8.2 Taburan Normal
(A) Pembolehubah Rawak Selanjar
1. Pembolehubah rawak selanjar ialah suatu pembolehubah yang boleh mengambil sebarang nilai di dalam suatu selang.

(B) Taburan Normal
1. Suatu pembolehubah rawak selanjar, X, adalah bertaburan normal jika grafnya meunjukkan ciri-ciri berikut.


(a)  Lengkungnya berbentuk loceng
(b)  Ia bersimetri pada paksi tegak yang melalui minnya, iaitu line xμ .
(c)  Ia mempunyai nilai maximum di xμ .
(d)  Luas rantau yang dibatasi oleh lengkung dan paksi-x ialah 1, iaitu jumlah kebarangkalian bagi semua nilai X ialah 1.

2. Pembolehubah rawak selanjar, X, yang bertaburan normal ditulis sebagai X ~ N (µσ2 ) dengan m ialah min dan σ2 ialah varians.


(C) Taburan Normal Piawai
Jika suatu pembolehubah rawak normal, X, mempunyai min, µ = 0 dan sisihan piawai,  σ = 1, maka X mengikut suatu taburan normal piawai, X ~ N (0, 1).


(D) Lengkung Suatu Taburan Normal Piawai
1.      Lengkung bagi suatu taburan normal piawai mempunyai ciri-ciri yang berikut.


(a)  Ia bersimetri pada paksi tegak yang melalui min, µ  = 0  dan mempunyai varians, σ2 = 1.
(b)  Ia mempunyai nilai maksimum pada Z = 0.
(c)  Luas rantau yang dibatasi oleh lengkung taburan normal piawai dengan paksi-z ialah 1.



(E) Penukaran Pembolehubah Suatu Taburan Normal kepada Pembolehubah Taburan Normal Piawai

1. Suatu taburan normal boleh ditukar kepada taburan normal piawai dengan menggunakan:

   Z= xμ σ    

dengan keadaan,
Z = skor piawai atau skor-z
X = nilai pembolehubah rawak normal
µ = min taburan normal
σ  = sisihan piawai taburan normal

Bab 19 Taburan Kebarangkalian

8.2b Taburan Normal Piawai
1.      Suatu pembolehubah rawak normal X ~ N (µσ2 ) boleh dipiawaikan dan ditulis sebagai
      Z ~ N (0, 1)  dengan min 0 dan varians 1.
2.      Ciri-ciri sifir taburan normal piawai, N (0, 1) adalah seperti berikut:

Kes 1


P(Z > a) adalah luas rantau berlorek dalam rajah di atas.


Kes 2


P(–∞ < Z> ∞) = 1


Kes 3


P(Z > 0) = P(Z < 0) = 0.5


Kes 4

P(Z > a) = P(Z < –a)


Bab 19 Taburan Kebarangkalian

8.2a Skor Piawai (Skor–z) bagi Suatu Taburan Normal
Contoh:
(a)    Suatu taburan normal mempunyai min, µ = 50 dan sisihan piawai σ = 10. Hitung skor piawai bagi nilai X = 35.
(b)   Jisim pelajar tingkatan 5 di sebuah sekolah adalah mengikut taburan normal dengan min 60kg dan sisihan piawai 15kg.
Cari
(i) skor piawai bagi jisim 65kg,
(ii) jisim pelajar itu yang sepadan dengan skor piawai – ½.   

Peneyelesaian:
(a)
X ~ N (µσ2 ).
X ~ N (50, 102)
Z= Xμ σ = 3550 10 =1.5 

(b)(i)
X ~ Jisim seorang pelajar tingkatan 5
X ~ N (µσ2 ).
X ~ N (60, 152)
Z= Xμ σ = 6560 15 = 1 3

Oleh itu, skor piawai bagi jisim 65kg ialah .

(b)(ii)
Z = – ½,
Z= Xμ σ 1 2 = X60 15 X60= 1 2 ( 15 ) X=52.5

Oleh itu, jisim seorang pelajar tingkatan 5 yang sepadan dengan skor piawai –½ ialah 52.5kg

Bab 19 Taburan Kebarangkalian

8.1b Min, Varians, dan Sisihan Piawai Taburan Binomial
Untuk suatu pemboleh ubah rawak diskret X yang bertaburan Binomial atau X~B(n, p),

Min bagi X,      μ=np          

Varians bagi X,       σ 2 =npq  

Sisihan piawai bagi X,        σ= npq     



Contoh 1:
Suatu kelab bola sepak mengadakan sesi latihan sepakan penalti bagi pelajar-pelajar tingkatan 4 dari sebuah sekolah. Setiap pelajar menendang 8 sepakan penalti. Kebarangkalian bahawa seorang pelajar menjaring sepakan penalti ialah p. Selepas latihan, didapati min bilangan gol oleh seorang pelajar ialah 7.2.
Cari nilai p.

Penyelesaian:
Min = np
np = 7.2
8p= 7.2
p = 0.9 


Contoh 2:
X adalah suatu pemboleh ubah rawak binomial dengan keadaan X ~ B (n, p). Jika min dan sisihan piawainya ialah 90 dan  masing-masing, cari nilai p dan nilai n.

Penyelesaian:
Min = 90
np = 90
Sisihan piawai=3 7 npq =3 7
npq = 9 (7) ← (kuasa dua kedua-dua belah)
npq = 63
(np) q = 63
90q= 63
q= 7 10 Oleh itu p=1 7 10 = 3 10 Dari np=90, n( 3 10 )=90 n=300

Bab 19 Taburan Kebarangkalian

8.1 Taburan Binomial

8.1a Kebarangkalian Sesuatu Peristiwa dalam Taburan Binomial
Dalam suatu taburan Binomial, kebarangkalian bahawa r kejayaan diperoleh dalam n percubaan tak bersandar diberi oleh

   P(X = r) = nC. pr. qn-r

dengan
P = kebarangkalian
X = pembolehubah rawak diskret
r = bilangan kejayaan (0, 1, 2, 3, …,n)
n = bilangan percubaan
p = kebarangkalian memperoleh kejayaan
       (0 < p <1)
q = kebarangkalian memperoleh kegagalan
      (q= 1 – p)


Contoh 1:
Kelvin melepaskan 3 tembakan dalam suatu sesi latihan menembak. Kebarangkalian bahawa Kelvin mengena sasaran ialah 0.6.
X mewakili bilangan kali Kelvin mengena sasaran.
(a)          Senaraikan unsur-unsur pemboleh ubah rawak diskret X yang bertaburan Binomial.
(b)         Hitung kebarangkalian bagi setiap kejadian unsur X.
(c)          Seterusnya, plot satu graf untuk mewakili kebarangkalian taburan binomial untuk X.

Penyelesaian:
(a)
X = Bilangan kali Kelvin mengena sasaran
X = {0, 1, 2, 3}

(b)
X ~ B (n, p)
X ~ B (3, 0.6)
P(X = r) = nC. pr. qn-r

(i)     P(X= 0)
            = 3C0 (0.6)0 (0.4)3 ← (Kebarangkalian memperoleh kegagalan = 1 – 0.6 = 0.4)
            = 0.064

(ii)   P(X= 1)
            = 3C1 (0.6)1 (0.4)2
            = 0.288

(iii) P(X = 2)
             = 3C2 (0.6)2 (0.4)1
             = 0.432

(iv) P(X = 3)
            = 3C3 (0.6)3 (0.4)0
            = 0.216


(c)