Bab 7 Kebarangkalian I

Posted on June 22, 2016 by user

7.1 Ruang Sampel

(A) Uji kaji

1. Uji kaji ialah suatu proses dalam membuat pemerhatian untuk mendapat keputusan yang dikehendaki.

2. Kesudahanuji kaji ialah keputusanyang mungkin diperoleh daripada satu uji kaji.

(B) Menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi suatu uji kaji

1. Kita boleh menyenaraikan semua kesudahan yang mungkin bagi suatu uji kaji dengan menjalankan uji kaji atau secara penaakulan.

Contoh 1:

Enam keping kad yang ditunjukkan dalam rajah di atas dimasukkan ke dalam sebuah kotak. Satu kad dipilih secara rawak daripada kotak. Senaraikan semua kesudahan yang mungkin.

Penyelesaian:

Semua kesudahan yang mungkin ialah O, R, A, N, G, E.

(C) Ruang sampel suatu uji kaji

1. Ruang sampel, S, ialah koleksi semua kesudahan yang mungkin bagi sesuatu uji kaji.

2. Huruf S digunakan untuk mewakili ruang sampel dan semua kusudahan yang mungkin ditulis dalam kurungan, { }.

Contoh 2:

Satu huruf dipilih daripada perkataan ‘GARDEN’.

(a) Senaraikan semua kesudahan yang mungkin.

(b) Tulis ruang sampel, S, menggunakan tatatanda set.

Penyelesaian:

(a) Kesudahan yang mungkin ialah G, A, R, D, E dan N.

(b) Ruang sampel, S = { G, A, R, D, E, N }

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on June 22, 2016 by user

4.3 Operasi ke atas Pernyataan (Contoh Soalan)

Soalan 1:

Bentukkan satu pernyataan baru daripada dua pernyataan yang diberi dengan menggunakan perkataan ‘dan’.

(a) 3 × 12 = 36

7 × 5 = 35

(b) 5 ialah satu nombor perdana.

5 ialah satu nombor ganjil.

Segi empat tepat mempunyai 4 bucu.

Penyelesaian:

(a) 3 × 12 = 36 dan 7 × 5 = 35

(b) 5 ialah satu nombor perdana dan satu nombor ganjil.

Soalan 2:

Bentukkan satu pernyataan baru daripada dua pernyataan yang diberi dengan menggunakan perkataan ‘atau’.

(a) 16 ialah satu kuasa dua sempurna. 16 ialah satu nombor genap.

(b) 4 > 3. –5 < –1

Penyelesaian:

(a) 16 ialah satu kuasa dua sempurna atau satu nombor genap.

(b) 4 > 3 or –5 < –1

Soalan 3:

Tentukan sama ada setiap pernyataan yang berikut benar atau palsu.

(a) 3 × (–4) = –12 dan 13 + 6 = 19

(b) 100 × 0.7 = 70 dan 12 + (–30) = 18

Penyelesaian:

1. Apabila dua pernyataan digabungkan dengan menggunakan ‘dan’, satu pernyataan baru yang benar diperolehi, hanya jika kedua-dua pernyataan yang digabungkan itu benar.

2. Jika satu atau kedua-dua pernyataan adalah palsu, maka pernyataan yang digabungkan adalah palsu.

(a) Kedua-dua pernyataan ‘3 × (–4) = –12’ dan ‘13 + 6 = 19’ adalah benar. Oleh itu, pernyataan ‘3 × (–4) = –12 dan 13 + 6 = 19’ adalah benar.

(b) Pernyataan ‘12 + (–30) = 18’ adalah palsu. Oleh itu, pernyataan ‘100 × 0.7 = 70 dan 12 + (–30) = 18’ adalah palsu.

Soalan 4:

Tentukan sama ada setiap pernyataan yang berikut benar atau palsu.

(a) m + m = m²atau p × p × p = p^-³

(b)

\sqrt[3]{64} = - 4 atau \sqrt[3]{- 27} = - 3

Penyelesaian:

1. Apabila dua pernyataan digabungkan dengan menggunakan ‘atau’, satu pernyataan baru yang palsu diperolehi, hanya jika kedua-dua pernyataan yang digabungkan itu palsu.

2. Jika satu atau kedua-dua pernyataan adalah benar, maka pernyataan yang digabungkan adalah benar.

(a) Kedua-dua pernyataan ‘m + m = m²’ dan ‘p × p× p = p^-³’ adalah palsue. Oleh itu, pernyataan m + m= m² atau p × p× p = p^-³ adalah palsu.

(b) Pernyataan

' \sqrt[3]{- 27} = - 3'

adalah benar. Oleh itu, pernyataan

' \sqrt[3]{64} = - 4 atau \sqrt[3]{- 27} = - 3'

adalah benar.

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on June 21, 2016 by user

4.3 Operasi ke atas Pernyataan (Bhg 1)

(A) Menafikan suatu pernyataan dengan menggunakan perkataan ‘bukan’ atau ‘tidak’.

1. Penafian suatu pernyataan ialah satu proses yang menukar kebenaran pernyataan itu, iaitu, menukar pernyataan yang benar kepada palsu dan sebaliknya dengan menggunakan perkataan ‘bukan’ atau ‘tidak’.

Contoh 1:

Tukarkan nilai kebenaran bagi pernyataan yang diberi menggunakan perkataan ‘tidak’ atau ‘bukan’.

(a) 17 ialah satu nombor perdana.

(b) 39 adalah gandaan bagi 9.

Penyelesaian:

(a) 17 bukan satu nombor perdana. (Benar kepada palsu)

(b) 39 bukan gandaan bagi bagi 9. (Palsu kepada benar)

2. Satu pernyataan baru boleh dibentuk dengan menggabungkan dua pernyataan menggunakan perkataan ‘dan’.

Contoh 2:

Kenal pasti dua pernyataan yang telah digabungkan dengan perkataan ‘dan’.

(a) Semua pentagon mempunyai 5 sisi dan 5 bucu.

(b) 3³= 27 dan 4³ = 64

Penyelesaian:

(a) Semua pentagon mempunyai 5 sisi.

Semua pentagon mempunyai 5 bucu.

(b) 3³= 27

4³= 64

Contoh 3:

Bentukkan satu pernyataan baru daripada dua pernyataanyang diberi dengan menggunakan perkataan ‘dan’.

(a) 19 ialah satu nombor perdana.

19 ialah satu nombor ganjil.

(b) 15 – 5 = 10

15 × 5 = 75

Penyelesaian:

(a) 19 ialah satu nombor perdana and satu nombor ganjil.

(b) 15 – 5 = 10 dan 15 × 5 = 75.

3. Satu pernyataan baru juga boleh dibentuk dengan menggabungkan dua pernyataan menggunakan perkataan ‘atau’.

Contoh 4:

Bentukkan satu pernyataan baru daripada dua pernyataan yang diberi dengan menggunakan perkataan ‘atau’.

(a) 11 ialah satu nombor ganjil.

11 ialah satu nombor perdana.

\begin{array}{l} (b) - 3 = \sqrt[3]{- 27} \\ - 3 = - 4 + 1 \end{array}

Penyelesaian:

(a) 11 ialah satu nombor ganjil atau satu nombor perdana.

(b) - 3 = \sqrt[3]{- 27} atau - 3 = - 4 + 1

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on June 21, 2016 by user

4.6 Penaakulan Matematik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 6:

(a) Lengkapkan ayat matematik yang berikut dengan menulis simbol > atau <.

(i) 5³____ 20 ialah satu pernyataan palsu.

(ii) –3 ____ –10 ialah satu pernyataan benar.

(b) Lengkapkan kesimpulan dalam hujah berikut:

Premis 1 : If n 1 2 = n , then 4 1 2 = 4 =2. Premis 2 : n 1 2 = n Kesimpulan : _____________________

10 = 5 (2)² – 10

35 = 5 (3)² – 10

70 = 5 (4)² – 10

…. = ………..

Penyelesaian:

(a)(i) 5³ < 20 ialah satu pernyataan palsu.

(a)(ii) –3 > –10 ialah satu pernyataan benar.

(b) Kesimpulan : 4 1 2 = 4 =2

Soalan 7:
(a)(i) Nyatakan sama ada pernyataan majmuk berikut adalah benar atau palsu.

3 + 3 = 9 atau 3 × 3 = 9

(a)(ii) Tentukan sama ada akas berikut adalah benar atau palsu.

jika x > 3, maka x > 7

(b) Tulis Premis 2 untuk melengkapkan hujah berikut:
Premis 1: Jika y = mx + 5 ialah persamaan linear, maka m ialah kecerunan bagi garis lurus itu.
Premis 2: _____________________
Kesimpulan: 2 ialah kecerunan bagi garis lurus itu.

(c) Sudut yang dicangkum di pusat sebuah poligon sekata yang mempunyai n sisi ialah

\frac{360^{o}}{n} .

Buat satu kesimpulan secara deduksi bagi sudut yang dicangkum di pusat sebuah poligon sekata yang mempunyai 5 sisi.

Penyelesaian:
(a)(i) Benar
(a)(ii) Akas adalah benar

(b) Premis 2: y = 2x + 5 ialah satu persamaan linear

(c)

\begin{array}{l} Sudut yang dicangkum di pusat sebuah pentagon sekata \\ = \frac{360^{o}}{n} \\ = \frac{360^{o}}{5} \\ = 72^{o} \end{array}

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on June 21, 2016 by user

4.6 Penaakulan Matematik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:

(a) Gabungkan dua pernyataan yang berikut supaya menjadi satu pernyataan yang benar.

Pernyataan 1: (– 3)² = 9

Pernyataan 2: –3 (3) = 19

(b) Lengkapkan premis dalam hujah berikut :

Premis 1: _____________________

Premis 2: x ialah gandaan bagi 25.

Kesimpulan: x boleh dibahagi dengan 5.

7 = 3 (2)¹ + 1

14 = 3 (2)² + 2

27 = 3 (2)³ + 3

…. = ………..

Penyelesaian:

(a) (– 3)² = 9 or –3 (3) = 19.

(b) Premis 1: Semua gandaan 25 boleh dibahagi dengan 5.

(c) 3 (2)ⁿ+ n, dengan keadaan n = 1, 2, 3, …

Soalan 5:

(a) Nyatakan sama ada pernyataan berikut adalah benar atau palsu.

(i) 2³= 8 atau ⅓ = 1.33.

(ii) – 6 > – 8 dan 6 > 8.

(b) Tulis dua implikasi berdasarkan pernyataan berikut:

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 jika dan hanya jika b x + a y = a b .

(1 - \frac{2}{n}) \times 180^{\circ} .

Buat satu kesimpulan secara deduksi untuk saiz sudut pedalaman sebuah heksagon sekata.

Penyelesaian:

(a)(i) Benar

(a)(ii) Palsu

(b)

\begin{array}{l} Implikasi 1: \underline{Jika \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1, maka b x + a y = a b .} \\ Implikasi 2: \underline{Jika b x + a y = a b, maka \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1.} \end{array}

(c)

Saiz sudut pedalaman sebuah heksagon sekata

\begin{array}{l} = (1 - \frac{2}{6}) \times 180^{\circ} \\ = \frac{2}{3} \times 180^{\circ} \\ = 120^{\circ} \end{array}

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on June 21, 2016 by user

4.6 Penaakulan Matematik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

(a) Nyatakan sama ada setiap pernyataan berikut adalah benar atau palsu.

(i) 2^{4} = 16 dan 12 \div \sqrt[3]{27} = 3.

(ii) 17 ialah nombor perdana atau nombor genap.

(b) Lengkapkan pernyataan, di ruang jawapan, untuk membentuk satu pernyataan yang benar dengan menggunakan pengkuantiti ‘semua’ atau ‘sebilangan’.

Suatu nombor ialah nombor perdana jika dan hanya jika nombor itu hanya boleh dibahagi dengan 1 dan nombor itu sendiri.

Penyelesaian:

(a)(i) Palsu

(a)(ii) Benar

(b) Sebilangan gandaan bagi 3 adalah gandaan bagi 6.

(c) Implikasi 1: Jika suatu nombor ialah nombor perdana, maka nombor itu hanya boleh dibahagi dengan 1 dan nombor itu sendiri.

Implikasi 2: Jika suatu nombor hanya boleh dibahagi dengan 1 dan nombor itu sendiri, maka nombor ialah nombor perdana.

Soalan 2:

(a) Nyatakan sama ada setiap pernyataan berikut adalah benar atau palsu.

(i) 2 × 3 = 6 atau 2 + 3 = 6

(ii) 2 ialah nombor perdana dan 5 ialah nombor genap.

(b) Tulis akas untuk implikasi berikut.

Seterusnay, myatakan sama ada akas tersebut adalah benar atau palsu.

Jika x adalah gandaan bagi 12,

maka x adalah gandaan bagi 3.

Premis 1: Semua heksagon mempunyai lima sisi

Premis 2: _____________________

Kesimpulan: ABCDEF mempunyai enam sisi.

Penyelesaian:

(a)(i) benar

(a)(ii) Palsu

(b) Akas: Jika x adalah gandaan bagi 3, maka x adalah gandaan bagi 12.

Akas adalah palsu.

Soalan 3:

(a) Lengkapkan setiap pernyataan dengan menggunakan pengkuantiti ‘semua’ atau ‘sebilangan’ supaya menjadi suatu pernyataan benar.

(i) _______ nombor perdana adalah nombor ganjil.

(ii) _______ pentagon mempunyai lima sisi.

(b) Tulis dua implikasi berdasarkan pernyataan berikut:

A ∩ B = B jika dan hanya jika A U B = A

Premis 1: Jika suatu nombor ialah faktor bagi 24, maka nombor itu ialah faktor bagi 48.

Premis 2: 12 ialah faktor bagi 24.

Kesimpulan: _____________________

Penyelesaian:

(a)(i) Sebilangan nombor perdana adalah nombor ganjil.

(a)(ii) Semua pentagon mempunyai lima sisi.

(b) Implikasi 1: Jika A ∩ B = B, maka A U B = A.

Implikasi 2: Jika A U B= A, maka A ∩ B = B.

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on June 21, 2016 by user

4.5 Deduksi dan Aruhan

(A) Penaakulan Secara Deduksi dan Secara Aruhan

1. Deduksi adalah suatu process membuat kesimpulan khususberdasarkan pernyataan yang umum.

2. Aruhan adalah suatu process membuat kesimpulan umumberdasarkan kes-kes khusus.

Tip Matematik

1. Pernyataan umum → Kesimpulan khusus → Deduksi

2. Kes-kes khusus → Kesimpulan umum → Aruhan

Contoh:

Tentukan sama ada sesuatu kesimpulan yang berikut dibuat berasaskan penaakulan secara deduksi atau penaakulan secara aruhan.

(a) Luas segi tiga = ½ × Tapak × Tinggi

(i)

Luas ∆ ABC

= ½ × 7cm × 5cm

= 17.5 cm²

(ii)

Luas ∆ DEF

= ½ × 7cm × 4cm

= 14 cm²

(b)

1 = 7 (1)² – 6

22 = 7 (2)² – 6

57 = 7 (3)² – 6

106 = 7 (4)² – 6

7n² – 6, n = 1, 2, 3, 4…

Penyelesaian:

(a) Kesimpulan khusus dibuat berdasarkan pernyataan yang umum. Oleh itu, kesimpulan itu dibuat berasaskan penaakulan secara deduksi.

(b) Kesimpulan umum 7n² – 6, n = 1, 2, 3, 4… dibuat berdasarkan kes-kes khusus. Oleh itu, kesimpulan itu dibuat berasaskan penaakulan secara aruhan.

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on June 20, 2016 by user

4.5 Hujah (Contoh Soalan)

Soalan 1:

Lengkapkan kesimpulan bagi hujah yang berikut:

Premis 1: Semua poligon sekata mempunyai sisi sama

Premis 2: ABCD ialah satu polygon sekata.

Kesimpulan:

Penyelesaian:

Kesimpulan: ABCDmempunyai sisi sama.

Soalan 2:

Lengkapkan kesimpulan bagi hujah yang berikut:

Premis 1: Jika m > 4, maka 2m > 8.

Premis 2: 2m < 8

Kesimpulan:

Penyelesaian:

Kesimpulan: m< 4.

Soalan 3:

Lengkapkan premis bagi hujah yang berikut:

Premis 1:

Premis 2: m n bukan satu nombor genap.

Kesimpulan: m dan n bukan nombor genap.

Penyelesaian:

Premis 1: Jika m dan n ialah nombor genap, maka m × n ialah satu nombor genap.

Soalan 4:

Lengkapkan premis bagi hujah yang berikut:

Premis 1: Jika x = 3, maka x² = 9.

Premis 2:

Kesimpulan: x ≠ 3

Penyelesaian:

Premis 2: x² ≠ 9.

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on June 20, 2016 by user

4.5 Hujah

(A) Premis dan Kesimpulan

1. Penghujahanialah process membuat suatu kesimpulan berdasarkan beberapa pernyataan yang diberi.

2. Pernyataan yang diberi itu dinamakan premis.

3. Suatu hujahadalah terdiri daripada premis dan kesimpulan.

Contoh 1:

Kenal pasti premis dan kesimpulan dalam hujah yang berikut.

(a) Satu pentagon mempunyai 5 sisi. ABCDE adalah satu pentagon. Maka, ABCDE mempunyai 5 sisi.

Penyelesaian:

Premis 1: Satu pentagon mempunyai 5 sisi.

Premis 2: ABCDE adalah satu pentagon.

Kesimpulan: ABCDE mempunyai 5 sisi.

(B) Bentuk Hujah

1. Berdasarkan dua premis yang diberi, satu kesimpulan boleh dibuat untuk tiga bentuk hujah yang berlainan.

Hujah Bentuk I

Premis 1: Semua A adalah B.

Premis 2: C adalah A.

Kesimpulan: C adalah B.

Contoh 2:

Buat satu kesimpulan berdasarkan dua premis yang berikut.

Premis 1: Semua gandaan bagi 5 boleh dibahagi tepat dengan 5.

Premis 2: 45 ialah satu gandaan bagi 5.

Kesimpulan: _______________

Penyelesaian:

Kesimpulan: 45 boleh dibahagi tepat dengan 5.

Hujah Bentuk II

Premis 1: Jika p, maka q.

Premis 2: p adalah benar.

Kesimpulan: q adalah benar.

Contoh 3:

Buat satu kesimpulan berdasarkan dua premis yang berikut.

Premis 1:Jika suatu nombor ialah faktor bagi 18, maka nombor itu ialah faktor bagi 54.

Premis 2:3 ialah faktor bagi 18.

Kesimpulan: _______________

Penyelesaian:

Kesimpulan: 3 ialah faktor bagi 54.

Hujah Bentuk III

Premis 1: Jika p, maka q.

Premis 2: Bukan q adalah benar.

Kesimpulan: Bukan p adalah benar.

Contoh 4:

Buat satu kesimpulan berdasarkan dua premis yang berikut.

Premis 1: Jika P ialah subset bagi Q, maka P ∩ Q = P.

Premis 2: P ∩ Q ≠ P

Kesimpulan: _______________

Penyelesaian:

Kesimpulan:P bukan subset bagi Q.

Bab 4 Penaakulan Matematik

Posted on June 20, 2016 by user

4.4 Implikasi (Contoh Soalan)

Soalan 1:

Tulis dua implikasi berdasarkan pernyataan berikut:

y³ = –125 jika dan hanya jika y = –5

Penyelesaian:

Implikasi 1: Jika y³ = –125, maka y= –5.

Implikasi 2: Jika y = –5, maka y³= –125.

Soalan 2:

Tulis dua implikasi berdasarkan pernyataan berikut:

8 adalah faktor bagi 24 jika dan hanya jika 24 boleh dibahagi tepat dengan 8.

Penyelesaian:

Implikasi 1: 8 adalah faktor bagi 24 jika 24 boleh dibahagi tepat dengan 8.

Implikasi 2: 24 boleh dibahagi tepat dengan 8 jika 8 adalah faktor bagi 24.

Soalan 3:

Nyatakan akas bagi pernyataan berikut dan seterusnya nyatakan sama ada akas itu benar atau palsu.

(a) Jika 2x > 8, maka x > 4.

(b) Jika x adalah gandaan bagi 6, maka x adalah gandaan bagi 3.

Penyelesaian:

(a) Akas implikasi: Jika x > 4, maka 2x > 8.

Akas adalah benar.

(b) Akas implikasi: Jika x adalah gandaan bagi 3, maka x adalah gandaan bagi.

Akas adalah palsu. (penjelasan: 9 adalah gandaan bagi 3 tetapi 9 bukan gandaan bagi 6).