Bab 6 Geometri Koordinat

Posted on May 24, 2016 by user

6.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 1:

Bucu-bucu sebuah segitiga ialah P (6, 1), Q (5, 6) dan R (m, –1). Diberi luas segitiga itu ialah 31 unit², cari nilai-nilai m.

Penyelesaian:

Luas segitiga PQR = 31

$\frac{1}{2} | \begin{array}{l} 6 5 m \\ 1 6 - 1 \end{array} \begin{array}{l} 6 \\ 1 \end{array} | = 31$

│(6)(6) + (5)( –1) + (m)(1) – (1)(5) – (6)(m) – (–1)(6)│= 62

│36 – 5 + m – 5 – 6m + 6│= 62

│32 – 5m│= 62

32 – 5m = ±62

–5m = 62 – 32 atau –5m = –62 – 32

m = –6

$m = \frac{94}{5}$

Soalan 2:

Titik-titik P(3m, m), Q(t, u) dan R(3t, 2u) terletak pada satu garis lurus. Q membahagi dalam PR dengan nisbah 3: 2.

Ungkap t dalam sebutan u.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} (\frac{(3 m) (2) + (3 t) (3)}{3 + 2}, \frac{(m) (2) + (2 u) (3)}{3 + 2}) = (t, u) \\ \frac{6 m + 9 t}{5} = t \\ 6 m + 9 t = 5 t \\ 6 m = - 4 t \\ m = - \frac{2}{3} t \to (1) \end{array}$

$\begin{array}{l} \frac{2 m + 6 u}{5} = u \\ 2 m + 6 u = 5 u \\ 2 m = - u \\ Daripada (1), \\ 2 (- \frac{2 t}{3}) = - u \\ t = \frac{3}{4} u \end{array}$

Bab 15 Vektor

Posted on May 24, 2016 by user

4.4 Pengungkapan Suatu Vektor sebagai Gabungan Linear Vektor yang lain

1. Hukum Poligon Vektor

$\vec{P Q} = \vec{P U} + \vec{U T} + \vec{T S} + \vec{S R} + \vec{R Q}$

2. Untuk membuktikan dua vector adalah selari, kita mesti mengungkapkan salah satu vector sebagai kuantiti scalar kepada vector yang lain.

Misalnya,

$\vec{A B} = k \vec{C D} atau \vec{C D} = h \vec{A B} .$

3. Untuk membuktikan titik P, Q dan R adalah segaris, buktikan salah satu daripada berikut:

$\begin{array}{l} • \vec{P Q} = k \vec{Q R} atau \vec{Q R} = h \vec{P Q} \\ • \vec{P R} = k \vec{P Q} atau \vec{P Q} = h \vec{P R} \\ • \vec{P R} = k \vec{Q R} atau \vec{Q R} = h \vec{P R} \end{array}$

Bab 15 Vektor

Posted on May 24, 2016 by user

4.2 Pendaraban Vektor dengan Kuantiti Skalar dan Keselarian Vektor

1. Hasil darab vektor

$\underset{˜}{a}$ dengan suatu scalar k ialah

$k \underset{˜}{a}$ .

2. Jika

$\underset{˜}{b} = k \underset{˜}{a}$ , vector

$\underset{˜}{b}$ adalah searah dengan vector

$\underset{˜}{a}$ dan magnitudnya,

$| \underset{˜}{b} | = k | \underset{˜}{a} | .$

3. Vektor

$\underset{˜}{a}$ adalah selari dengan vektor

$\underset{˜}{b}$ jika dan hanya jika

$\underset{˜}{b} = λ \underset{˜}{a}$ , dengan keadaan λialah pemalar.

4. Jika vektor

$\underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b}$ tidak selari dan

$h \underset{˜}{a} = k \underset{˜}{b}$ , maka h = 0 dan k = 0.

Contoh 1:

Jika vektor

$\underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b}$ tidak selari dan

$(k - 7) \underset{˜}{a} = (5 + h) \underset{˜}{b}$ , cari nilai k dan nilai h.

Penyelesaian:

Vektor

$\underset{˜}{a} dan \underset{˜}{b}$ tidak selari, maka

k – 7 = 0 → k= 7

5 + h = 0 → h = –5

Bab 15 Vektor

Posted on May 24, 2016 by user

4.3 Penambahan dan Penolakan Vektor

4.3.1 Penambahan Vektor

1. Penambahan dua vektor,

$\underset{˜}{u} dan \underset{˜}{v}$ , boleh ditulis sebagai

$\underset{˜}{u} + \underset{˜}{v}$ . Hasil tambah ini merupakan suatu vektor, yang dinamakan vector paduan.

2. Apabila dua vektor yang sama ditambah, vector paduan yang terhasil mempunyai

(a) arah yang sama dengan kedua-dua vektor itu,

(b) magnitude yang sama dengan hasil tambah magnitud kedua-dua vektor itu.

(A) Penambahan Vektor Paduan Dua Vektor Tidak Selari

1. Penambahan dua vektor yang tidak selari,

$\underset{˜}{u} dan \underset{˜}{v}$ , boleh ditunjukkan dengan dua hukum.

(i) Hukum Segitiga

Vektor paduan

$\underset{˜}{u} + \underset{˜}{v}$ yang terhasil ialah AC.

(ii) Hukum Segiempat Selari

Vektor paduan

$\underset{˜}{u} + \underset{˜}{v}$ yang terhasil ialah AC.

Contoh 1:

Cari

(a) vector paduan hasil tambah bagi dua vector selari yang di atas.

(b) magnitud bagi vector paduan.

Penyelesaian:

(a)

Vektor paduan

= hasil tambah dua vektor

$= \vec{P Q} + \vec{R S}$

(b)

Magnitud bagi vector paduan

$\begin{array}{l} = | \vec{P Q} | + | \vec{R S} | \\ = | \sqrt{6^{2} + 8^{2}} | + | \sqrt{6^{2} + 8^{2}} | \\ = 10 + 10 \\ = 20 units \end{array}$

Contoh 2:

Rajah di atas menunjukkan suatu segiempat selari OABC. M adalah titik tengah BC. Vektor

$\vec{O A} = \underset{˜}{a} dan \vec{O C} = \underset{˜}{c} .$ Cari setiap vektor yang berikut dalam sebutan

$\underset{˜}{a} dan \underset{˜}{c} .$

$\begin{array}{l} (a) \vec{O B} \\ (b) \vec{M B} \\ (c) \vec{O M} \end{array}$

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{A B} \leftarrow Hukum segitiga \\ = \vec{O A} + \vec{O C} \leftarrow \vec{A B} = \vec{O C} \\ = \underset{˜}{a} + \underset{˜}{c} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} \vec{M B} = \frac{1}{2} \vec{C B} \leftarrow M adalah titik tengah C B \\ = \frac{1}{2} \vec{O A} \\ = \frac{1}{2} \underset{˜}{a} \end{array}$

(c)

$\begin{array}{l} \vec{O M} = \vec{O C} + \vec{C M} \leftarrow Hukum segitiga \\ = \vec{O C} + \vec{M B} \leftarrow \vec{C M} = \vec{M B} \\ = \underset{˜}{c} + \frac{1}{2} \underset{˜}{a} \end{array}$

Bab 15 Vektor

Posted on May 24, 2016 by user

4.3 Penambahan dan Penolakan Vektor

4.3.2 Penolakan Dua Vektor

Penolakan vektor

$\underset{˜}{b}$ dari vektor

$\underset{˜}{a}$ ditulis sebagai

$\underset{˜}{a} - \underset{˜}{b}$ . Operasi ini juga merupakan penambahan vektor

$\underset{˜}{a}$ dengan vektor negatif

$\underset{˜}{b}$ . Oleh itu

$\underset{˜}{a} - \underset{˜}{b} = \underset{˜}{a} + (- \underset{˜}{b}) .$

Contoh 1:

Dalam rajah di atas, vektor

$\vec{O P} = \underset{˜}{p}, \vec{O R} = \underset{˜}{r}$ dan Q membahagikan PR dalam nisbah 2: 3. Cari vektor-vektor berikut dalam sebutan

$\underset{˜}{p} dan \underset{˜}{r}$ ,

$\begin{array}{l} (a) \vec{P R} \\ (b) \vec{O Q} \\ (c) \vec{Q M} jika M ialah titik tengah O R . \end{array}$

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} \vec{P R} = \vec{P O} + \vec{O R} \\ = - \vec{O P} + \vec{O R} \\ = - \underset{˜}{p} + \underset{˜}{r} \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} \vec{O Q} = \vec{O P} + \vec{P Q} \\ = \vec{O P} + \frac{2}{5} \vec{P R} \\ = \underset{˜}{p} + \frac{2}{5} (- \underset{˜}{p} + \underset{˜}{r}) \\ = \underset{˜}{p} - \frac{2}{5} \underset{˜}{p} + \frac{2}{5} \underset{˜}{r} \\ = \frac{3}{5} \underset{˜}{p} + \frac{2}{5} \underset{˜}{r} \end{array}$

(c)

$\begin{array}{l} \vec{Q M} = \vec{Q O} + \vec{O M} \\ = - \vec{O Q} + \vec{O M} \\ = - \vec{O Q} + \frac{1}{2} \vec{O R} \\ = - (\frac{3}{5} \underset{˜}{p} + \frac{2}{5} \underset{˜}{r}) + \frac{1}{2} \underset{˜}{r} \\ = - \frac{3}{5} \underset{˜}{p} - \frac{2}{5} \underset{˜}{r} + \frac{1}{2} \underset{˜}{r} \\ = - \frac{3}{5} \underset{˜}{p} + \frac{1}{10} \underset{˜}{r} \end{array}$

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 23, 2016 by user

3.1 Pengamiran Sebagai Songsangan Pembezaan

1. Pengamiran ialah process songsangan pembezaan.

$Jika \frac{d y}{d x} = f (x), maka \int f (x) d x = y .$

(A) Pengamiran Pemalar

$\int a d x = a x + c$

Contoh:

$\int 2 d x = 2 x + c$

(B) Pengamiran axⁿ

$\int a x^{n} d x = \frac{a x^{n + 1}}{n + 1} + c$

Contoh 1:

$\int 2 x^{3} d x = \frac{2 x^{4}}{4} + c = \frac{x^{4}}{2} + c$

Contoh 2:

$\begin{array}{l} \int \frac{2}{3 x^{5}} d x = \int \frac{2}{3} x^{- 5} d x \\ = \frac{2}{3} (\frac{x^{- 4}}{- 4}) + c \\ = \frac{2}{3} (\frac{x^{- 4}}{- 4}) + c \\ = \frac{x^{- 4}}{- 6} + c \end{array}$

(C) Pengamiran Fungsi berbentuk Hasil Tambah Sebutan Algebra

$\begin{array}{l} \int (u \pm v) d x = \int u d x \pm \int v d x \\ u dan v adalah fungsi dalam x \end{array}$

Contoh 1:

$\begin{array}{l} \int 3 x^{2} + 2 x d x \\ = \int 3 x^{2} d x + \int 2 x d x \\ = \frac{3 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{2} + c \\ = \frac{3 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{2} + c \\ = x^{3} + x^{2} + c \end{array}$

Contoh 2:

$\begin{array}{l} \int (x + 2) (3 x + 1) d x \\ = \int 3 x^{2} + 7 x + 2 d x \\ = \int 3 x^{2} d x + \int 7 x d x + \int 2 d x \\ = \frac{3 x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 2 x + c \\ = x^{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 2 x + c \end{array}$

Contoh 3:

$\begin{array}{l} \int \frac{3 x^{3} + x^{2} - x}{x} d x \\ = \int (3 x^{2} + x - 1) d x \\ = \int 3 x^{2} d x + \int x d x - \int 1 d x \\ = \frac{3 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + c \\ = x^{3} + \frac{x^{2}}{2} - x + c \end{array}$

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 22, 2016 by user

3.6 Pengamiran Sebagai Penghasiltambahan Isi padu

(1).

Isi padu yang dijanakan apabila rantau berlorek dikisarkan melalui 360° pada paksi-x

$I_{x} = π \int_{a}^{b} y^{2} d x$

(2).

Isi padu yang dijanakan apabila rantau berlorek dikisarkan melalui 360° pada paksi-y

$I_{y} = π \int_{a}^{b} x^{2} d y$

Contoh 1:

Hitung isi padu pepejal yang dijanakan apabila rantau berlorek di bawah dikisarkan melalui 360° pada paksi-x.

Penyelesaian:

Isi padu yang dijanakan, I_x

$\begin{array}{l} I_{x} = π \int_{a}^{b} y^{2} d x \\ I_{x} = π \int_{2}^{4} {(3 x - \frac{8}{x})}^{2} d x \\ I_{x} = π \int_{2}^{4} (3 x - \frac{8}{x}) (3 x - \frac{8}{x}) d x \\ I_{x} = π \int_{2}^{4} (9 x^{2} - 48 + \frac{64}{x^{2}}) d x \\ I_{x} = π {[\frac{9 x^{3}}{3} - 48 x + \frac{64 x^{- 1}}{- 1}]}_{2}^{4} \\ I_{x} = π {[3 x^{3} - 48 x - \frac{64}{x}]}_{2}^{4} \\ I_{x} = π [(3 {(4)}^{3} - 48 (4) - \frac{64}{4}) - (3 {(2)}^{3} - 48 (2) - \frac{64}{2})] \\ I_{x} = π (- 16 + 104) \\ I_{x} = 88 π u n i t^{3} \end{array}$

Contoh 2:

Hitung isi padu pepejal yang dijanakan apabila rantau berlorek di bawah dikisarkan melalui 360° pada paksi-y.

Penyelesaian:

Isi padu yang dijanakan, I_y

$\begin{array}{l} I_{y} = π \int_{a}^{b} x^{2} d y \\ I_{y} = π \int_{1}^{2} {(\frac{2}{y})}^{2} d y \\ I_{y} = π \int_{1}^{2} (\frac{4}{y^{2}}) d y \\ I_{y} = π \int_{1}^{2} 4 y^{- 2} d y \\ I_{y} = π {[\frac{4 y^{- 1}}{- 1}]}_{1}^{2} = π {[- \frac{4}{y}]}_{1}^{2} \\ I_{y} = π [(- \frac{4}{2}) - (- \frac{4}{1})] \\ I_{y} = 2 π u n i t^{3} \end{array}$

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 22, 2016 by user

3.5 Pengamiran Sebagai Penghasiltambahan Luas

(A) Luas di bawah suatu lengkung dengan paksi-x

$\begin{array}{l} Luas rantau berlorek, \\ L = \int_{a}^{b} y d x \end{array}$

(B) Luas di bawah suatu lengkung dengan paksi-y

$\begin{array}{l} Luas rantau berlorek, \\ L = \int_{a}^{b} x d y \end{array}$

(C) Luas di bawah suatu lengkung dengan suatu garis lurus

$\begin{array}{l} Luas rantau berlorek, \\ L = \int_{a}^{b} f (x) d x - \int_{a}^{b} g (x) d x \end{array}$

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 22, 2016 by user

3.4b Mencari Nilai Kamiran Tentu

Contoh:

Diberi

$\int_{3}^{7} f (x) d x = 5$ , cari nialai bagi setiap yang berikut:

$\begin{array}{l} (a) \int_{3}^{7} 6 f (x) d x \\ (b) \int_{3}^{7} [3 - f (x)] d x \\ (c) \int_{7}^{3} 2 f (x) d x \\ (d) \int_{3}^{4} f (x) d x + \int_{4}^{5} f (x) d x + \int_{3}^{7} f (x) d x \\ (e) \int_{3}^{7} \frac{f (x) + 7}{2} d x \end{array}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} (a) \int_{3}^{7} 6 f (x) d x = 6 \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = 6 (5) = 30 \end{array}$

$\begin{array}{l} (b) \int_{3}^{7} [3 - f (x)] d x = \int_{3}^{7} 3 d x - \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = {[3 x]}_{3}^{7} - 5 \\ = [3 (7) - 3 (3)] - 5 \\ = 7 \end{array}$

$\begin{array}{l} (c) \int_{7}^{3} 2 f (x) d x = - \int_{3}^{7} 2 f (x) d x \\ = - 2 \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = - 2 (5) \\ = - 10 \end{array}$

$\begin{array}{l} (d) \int_{3}^{4} f (x) d x + \int_{4}^{5} f (x) d x + \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = \int_{3}^{7} f (x) d x \\ = 5 \end{array}$

$\begin{array}{l} (e) \int_{3}^{7} \frac{f (x) + 7}{2} d x = \int_{3}^{7} [\frac{1}{2} f (x) + \frac{7}{2}] d x \\ = \int_{3}^{7} \frac{1}{2} f (x) d x + \int_{3}^{7} \frac{7}{2} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{3}^{7} f (x) d x + {[\frac{7 x}{2}]}_{3}^{7} \\ = \frac{1}{2} (5) + [\frac{7 (7)}{2} - \frac{7 (3)}{2}] \\ = \frac{5}{2} + 14 \\ = 16 \frac{1}{2} \end{array}$

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 21, 2016 by user

3.4 Kamiran Tentu (Bahagian 1)

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$

Contoh:

Nilaikan yang berikut.

$\begin{array}{l} (a) \int_{- 1}^{0} (3 x^{2} - 2 x + 5) d x \\ (b) \int_{0}^{2} {(2 x + 1)}^{3} d x \end{array}$

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} (a) \int_{- 1}^{0} (3 x^{2} - 2 x + 5) d x \\ = {[\frac{3 x^{3}}{3} - \frac{2 x^{2}}{2} + 5 x]}_{- 1}^{0} \\ = {[x^{3} - x^{2} + 5 x]}_{- 1}^{0} \\ = 0 - [{(- 1)}^{3} - {(- 1)}^{2} + 5 (- 1)] \\ = 0 - (- 1 - 1 - 5) \\ = 7 \end{array}$

$\begin{array}{l} (b) \int_{0}^{2} {(2 x + 1)}^{3} d x \\ = {[\frac{{(2 x + 1)}^{4}}{4 (2)}]}_{0}^{2} \\ = {[\frac{{(2 x + 1)}^{4}}{8}]}_{0}^{2} \\ = [\frac{{(2 (2) + 1)}^{4}}{8}] - [\frac{{(2 (0) + 1)}^{4}}{8}] \\ = \frac{625}{8} - \frac{1}{8} \\ = 78 \end{array}$