Bab 15 Vektor

4.5 Vektor dalam Satah Cartes
1.      Vektor unit mempunyai magnitud satu unit.
2.      Vektor i ˜  ialah vektor unit ke arah positif paksi-x.
Vektor j ˜  ialah vektor unit ke arah positif paksi-y.
3.    Suatu vektor dalam satah Cartes boleh ditulis dalam bentuk x i ˜ +y j ˜  atau vektor lajur ( x y ). 
4.      Magnitud bagi vektor unit ialah | i ˜ |=| j ˜ |=1. 
5.      Magnitud bagi vektor OA =x i ˜ +y j ˜  diberi oleh | OA |= x 2 + y 2 .


Contoh 1:
Jika r ˜ =k i ˜ 8 j ˜  dan | r ˜ |=10, cari nilai k. Tentukan vektor unit dalam arah r ˜  bagi setiap nilai k.

Penyelesaian:
Diberi  | r ˜ | = 10 x 2 + y 2 = 10 k 2 + ( 8 ) 2 = 10 k 2 + 64 = 100 k = ± 6

Vektor unit,  r ˜ ^ = x i ˜ +y j ˜ x 2 + y 2 Apabila k=6,                         Apabila k=6 r ˜ ^ = 6 i ˜ 8 j ˜ 10 = 3 i ˜ 4 j ˜ 5              r ˜ ^ = 6 i ˜ 8 j ˜ 10 = 3 i ˜ 4 j ˜ 5 r ˜ ^ = 1 5 ( 3 i ˜ 4 j ˜ )                        r ˜ ^ = 1 5 ( 3 i ˜ 4 j ˜ )


Contoh 2:
Diberi bahawa a ˜ =( 6 3 ) dan  b ˜ =( 3 7 ). 
(a) Cari b ˜ a ˜  dan | b ˜ a ˜ |.  
(b) Seterusnya, cari vektor unit dalam arah b ˜ a ˜  .

Penyelesaian:
(a)
b ˜ a ˜ =( 3 7 )( 6 3 )        =( 36 73 )        =( 3  4 ) | b ˜ a ˜ |= ( 3 ) 2 + 4 2 = 9+16 = 25 =5


(b)
Vektor unit dalam arah  b ˜ a ˜ = 1 5 ( 3  4 ) =( 3 5   4 5 )


Bab 15 Vektor

4.1  Pengenalan Vektor

(A) Kuantiti Vektor dan Kuantiti Skalar
1.      Vektor ialah kuantiti yang mempunyai maginitud dan arah.
2.      Skalar ialah kuantiti yang mempunyai magnitud sahaja.
3.      Misalnya, magnitud vektor OA  ialah panjang OA dan arahnya adalah dari O ke A. OA  boleh ditandakan sebagai a ˜  dan magnitudnya pula ditandakan sebagai | OA | atau | a ˜ |.  

(B) Vektor sebagai Garis Terarah
1.      Vektor AB  mewakili satu vektor yang mempunyai magnitud AB  dan menghala dari A ke B. Magnitud AB  ditulis sebagai | A B | .




(C) Kesamaan Dua Vektor
1.      Dua vektor adalah sama jika kedua-duanya mempunyai magnitud dan arah yang sama. Misalnya,
                a ˜ = b ˜ Jika (a) | a ˜ |=| b ˜ |,         (b) arah  a ˜  dan  b ˜  sama.
2.      Vektor negatif bagi AB  ialah vektor yang mempunyai magnitud yang sama dengan AB  tetapi dalam arah yang bertentangan dengan arah AB . Vektor negatif bagi AB  boleh ditulis sebagai AB  atau  BA  . Vektor negatif bagi a ˜  ditulis sebagai a ˜ .

3.      Vektor sifar, 0 ˜  , ialah vektor yang mempunyai magnitud sifar dan arahnya tidak tertakrif.


Bab 12 Janjang

1.2.1 Janjang Geometri

(A) Ciri-ciri Janjang Geometri
Janjang Geometri (J.G.) ialah satu jujukan nombor yang setiap sebutan (kecuali sebutan pertama) diperoleh dengan mendarabkan satu pemalar kepada sebutan sebelumnya. Pemalar ini dekenal sebagai nisbah sepunya, r.

Contoh:
Tentukan sama ada jujukan nombor yang berikut ialah janjang geometri (J.G.) atau bukan janjang geometri.
(a) 1, 4, 16, 64, …..
(b) 10, –5, 2.5, –1.25, …..
(c) 2, 4, 12, 48, …..
 [Tip pintar: Bagi suatu janjang geometri, sentiasa darab satu nombor tetap untuk mendapat nombor seterusnya]

Penyelesaian:
(a)


Nisbah sepunya, r= T n T n1 T 3 T 2 = 16 4 =4,  T 2 T 1 = 4 1 =4 T 3 T 2 = T 2 T 1  
1, 4, 16, 64, …. ialah JG, a =1, r = 4.

(b)


Nisbah sepunya,  r= T 2 T 1 = 5 10 = 1 2  
10, –5, 2.5, –1.25, ….., ialah JG, a =1, r = – ½.

(c)



Nisbah sepunya,  r= T 2 T 1 = 4 2 =2 r= T 3 T 2 = 12 4 =3 T 2 T 1 T 3 T 2
2, 4, 12, 48, …..Bukan JG.
kerana nisbah antara nombor-nombor yang berturutan tidak sama.


(B) Langkah-langkah untuk membuktikan sama ada jujukan nombor yang diberi ialah satu janjang geometri.

Langkah 1: Senaraikan tiga sebutan yang berturutan. [Contoh: T1, T2, T3.]
Langkah 2: Hitung nilai bagi  T 3 T 2  dan  T 2 T 1 .   
Langkah 3: Jika T 3 T 2 = T 2 T 1 =r, maka jujukan nombor itu ialah satu janjang geometri.
Langkah 4: Jika T 3 T 2 T 2 T 1 , maka jujukan nombor itu bukan satu janjang geometri.

Bab 12 Janjang

1.1 Janjang Aritmetik

(A) Ciri-ciri Janjang Aritmetik
1.      Jujukan ialah suatu set nombor yang mengikut suatu pola tertentu.Misalnya: 4, 7, 10, 13, … ialah satu jujukan.
2.      Setiap nombor dalam suatu jujukan dikenali sebagai sebutan.
3.      Janjang aritmetik (J.A.) ialah satu jujukan nombor yang setiap sebutan (kecuali sebutan pertama) diperoleh dengan menambahkan satu pemalar kepada sebutan sebelumnya. Pemalar ini dikenal sebagai beza sepunya, d.


d = Tn – Tn-1   atau  d = Tn+1 – Tn


Contoh: 
Tentukan sama ada jujukan nombor yang berikut ialan janjang aritmetik (J.A.) atau bukan janjang aritmetik.
(a) –5, –3, –1, 1, …
(b) 10, 7, 4, 1, -2, …
(c) 2, 8, 15, 23, …
(d) 3, 6, 12, 24, …
Tip pintar: Bagi suatu janjang aritmetik, anda sentiasa tambah atau tolak satu nombor tetap.


Penyelesaian:




(B) Langkah-langkah untuk membuktikan sama ada jujukan nombor yang diberi ialah satu janjang aritmetik

Langkah1: Senaraikan tiga sebutan yang berturutan. [Contoh: T1 , T2 , T3 .]
Langkah 2: Hitung nilai bagi T3  T2 dan T2  T1 .
Langkah 3: Jika T3  T2 = T2  T1 = d, maka jujukan nombor itu ialah satu janjang aritmetik.

Contoh:
Buktikan sama ada jujukan nombor yang berikut ialah satu janjang aritmetik (J.A.).
(a) 7, 10, 13, …
(b) –20, –15, –9, …

Penyelesaian:
(a)
7, 10, 13 ← (Langkah 1: Senaraikan T1 , T2 , T3 )
T3 T2 = 13 – 10 = 3(Langkah 2: Cari T3 T2 dan T2 T1)
T2 T1 = 10 – 7 = 3(Langkah 2: Cari T3 T2 dan T2 T1)
T3 T2 = T2 T1
Maka, ) 7, 10, 13, … ialah J.A.

(b)
 –20, –15, –9
T3 T2 = –9 – (–15) = 6
T2 T1 = –15 – (–20) = 5
T3 T2T2 T1
Maka. –20, –15, –9, … bukan satu J.A.

Bab 5 Indeks dan Logaritma

5.4 Persamaan yang Melibatkan Logaritma (Contoh 4 & 5)

Contoh 4:
Selesaikan setiap persamaan yang berikut.
(a)  log 9 ( x2 )= log 3 2 (b)  log 4 x= 3 2 log 2 3  

Penyelesaian:






Contoh 5:
Selesaikan setiap persamaan yang berikut.
(a) log4 x = 25 logx 4
(b) log2 5x log4 16x = 6

Penyelesaian:





Bab 5 Indeks dan Logaritma

5.4 Persamaan yang Melibatkan Logaritma (Contoh 2 & 3)

Contoh 2:
Selesaikan setiap persamaan yang berikut.
(a)  log y 813= log y 3 (b) 2 log 2 x log 2 ( x 2 1 )4=0

Penyelesaian:







Contoh 3:
Selesaikan setiap persamaan yang berikut.
(a) log3 [log2 (2x 1)] = 2 
(b) log16 [log2 (5x 4)] = log9 √3 

Penyelesaian:





Bab 5 Indeks dan Logaritma

5.4 Persamaan yang Melibatkan Logaritma

Kaedah:
1. Bagi dua logaritma yang sama asas, jika loga m = loga n, maka m = n . 
2. Menukar logaritma kepada bentuk index, jika loga m = n, maka m = an.

Contoh 1:
Selesaikan setiap persamaan yang berikut.
(a) log3 2 + log3 (x + 5) = log3 (3x 1) 
(b) log2 8 x 3 = log2 (2x 1) 
(c) 3 logx 2 + 2 logx 4 logx 256 = −1 


Penyelesaian:





Bab 3 Fungsi Kuadratik

3.2 Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Fungsi Kuadratik

Titik Maksimum dan Titik Minimum

1.      Suatu fungsi kuadratik  f ( x ) = ax 2 + bx + c  boleh diungkapkan dalam bentuk f ( x ) = a ( x + p ) 2   + q  dengan cara menyempurnakan kuasa dua.
2.      Titik maksimum atau titik minimum boleh ditentukan daripada persamaan f (x ) = a (x + p )2 + q  .

(A) Titik Minimum
1. Fungsi kuadratik f (x ) mempunyai nilai minimum jika a ialah positif
2. Fungsi kuadratik f (x ) mempunyai nilai minimum apabila (x + p) = 0.
3. Nilai minimum ialah q.
4. Titik minimum ialah (p, q).

(B) Titik Maksimum
1. Fungsi kuadratik f (x ) mempunyai nilai maksimum jika a ialah negatif .
2. Fungsi kuadratik f (x ) mempunyai nilai maksimum apabila (x + p) = 0.
3. Nilai maksimum ialah q.
4. Titik maksimum ialah (p, q).


Contoh:
Cari titik maksimum atau titik minimum bagi setiap persamaan kuadratik yang berikut.
(a) f (x ) = (x 3)2 + 7
(b) f (x ) = 5 3(x + 15)2

Penyelesaian:
(a) f (x ) = (x 3)2 + 7
a = 1, p = 3, q = 7

a > 0, fungsi kuadratik mempunyai titik minimum.
Titik minimum = (p, q) = (3, 7)

(b) f (x ) = 5 3(x + 15)2
a = 3 , p = 15, q = 5

a < 0, fungsi kuadratik mempunyai titik maksimum.
Titik maksimum = ( p, q) = ( –15 , 5 )

Bab 3 Fungsi Kuadratik

3.4 Ketaksamaan Kuadratik (Bahagian 1)

(A) Menyelesaikan Ketaksamaan Kuadratik
1.      Penyelesaian bagi suatu ketaksamaan kuadratik adalah nilai-nilai julat yang memuaskan ketaksamaan itu.
2.      Terdapat dua acara untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik.
(a) Kaedah graf
(b) Kaedah garis nombor

(B)(i) Langkah-langkah untuk menyelesaikan suatu ketaksamaan kuadratik (Kaedah graf)

Langkah 1
 : Tulis semula ketaksamaan kuadratik dengan sifar di satu belah dan pastikan a > 0.
Langkah 2 : Selesaikan persamaan y = 0 untuk mencari titik persilangan graf dengan paksi-x.
Langkah 3 : Lakarkan graf dan lorekkan kawasan itu untuk mencari julat nilai x.


Contoh 1:
Cari julat nilai x bagi setiap ketaksamaan kuadratik yang berikut:
(a) x 2 4x + 3 < 0
(b) 12 + 10x –2x2 < 0

Penyelesaian:





Bab 3 Fungsi Kuadratik

3.5b Jenis Punca Persamaan Kuadratik (Contoh Soalan)

Contoh 2 (Garis Lurus Bersilang dengan Lengkung di Dua Titik Berlainan)
Garis lurus y = 2k+ 1 bersilang dengan  y=x+ k 2 x  di dua titik berlainan.  Cari julat nilai k.

Penyelesaian:




Contoh 3 (Garis Lurus Tidak Bersilang dengan Lengkung)
Cari julat nilai m dengan keadaan garis lurus y = mx+ 6 tidak bersilang dengan lengkung 2x2xy = 3.

Penyelesaian: