Bab 18 Kebarangkalian II

Posted on by
7.3 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung
7.3b Mencari Kebarangkalian Peristiwa Bergabung (a) Aatau B (b) A dan B
1. Rumus yang berikut digunakan untuk mencari kebarangkalian peristiwa bergabung ‘A atau B’.

  P(A atau B)=P(A∪B)                       = n(A∪B) n(S)   

2. Rumus yang berikut pula digunakan untuk mencari kebarangkalian peristiwa bergabung ‘A dan B’.

  P(A dan B)=P(A∩B)                      = n(A∩B) n(S)   


Contoh:
Kebarangkalian bahawa dua pelajar tingkatan 5, Farhana dan Wendy akan lulus ujian lisan Bahasa Inggeris ialah 1 3  dan  2 5  masing-masing. Hitung kebarangkalian bahawa
(a) kedua-dua Farhana dan Wendy lulus ujian lisan Bahasa Inggeris,
(b) kedua-dua Farhana dan Wendy gagal ujian lisan Bahasa Inggeris,
(c) salah seorang daripada mereka lulus ujian lisan Bahasa Inggeris,
(d) sekurang-kurangnya salah seorang daripada mereka lulus ujian lisan Bahasa Inggeris.  

Penyelesaian:
Katakan
F = Peristiwa bahawa Farhana lulus ujian lisan Bahasa Inggeris
W = Peristiwa bahawa Wendy lulus ujian lisan Bahasa Inggeris
Oleh itu,
F’ = Peristiwa bahawa Farhana gagal ujian lisan Bahasa Inggeris
W’ = Peristiwa bahawa Wendy gagal ujian lisan Bahasa Inggeris
P( F )= 1 3 ,         P( F' )= 2 3 P( W )= 2 5 ,         P( W' )= 3 5  

(a)
P (kedua-dua Farhana dan Wendy lulus ujian lisan Bahasa Inggeris)
= P (F ∩ W)
= P (F)  × P (W)
= 1 3 × 2 5 = 2 15

(b)
P (kedua-dua Farhana dan Wendy gagal ujian lisan Bahasa Inggeris)
= P (F’ ∩ W’)
= P (F’)  × P (W’)
= 2 3 × 3 5 = 2 5

(c)
P (salah seorang daripada mereka lulus ujian lisan Bahasa Inggeris)
= P (F ∩ W’) + P (F’ ∩ W)
= (P (F)  × P (W’)) + (P (F’)  × P (W))
=( 1 3 × 3 5 )+( 2 3 × 2 5 ) = 7 15

(d)
P (sekurang-kurangnya salah seorang daripada mereka lulus ujian lisan Bahasa Inggeris)
= 1 – P (kedua-duanya gagal) ← (Konsep peristiwa pelengkap)
= 1 – P (F’) ×  P (W’)
=1− 2 5 = 3 5

Bab 18 Kebarangkalian II

Posted on by
7.5 Kebarangkalian II, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:

Tiga belas keping kad huruf seperti yang ditunjukkan dalam rajah di atas dimasukkan ke dalam sebuah kotak.
Dua keping kad dikeluarkan secara rawak daripada kotak itu, satu demi satu, tanpa pengembalian. Hitung kebarangkalian bahawa
(a)    kad pertama yang dikeluarkan ialah kad huruf Ndan kad kedua yang dikeluarkan ialah kad huruf I.
(b)   dua keping kad yang dikeluarkan adalah kad yang sama huruf.

Penyelesaian:
(a)
Terdapat 3 keping kad dengan huruf ‘N’ dan 1 keping kad huruf ‘I’.
P (kad pertama yang dikeluarkan ialah kad huruf Ndan kad kedua yang dikeluarkan ialah kad huruf I)
= 3 13 × 2 ( 13−1 ) = 3 13 × 2 12 = 1 26

(b)
P (dua keping kad yang dikeluarkan adalah kad yang sama huruf)
= P (II or NN or TT or AA)
= P (II) + P (NN) + P (TT) + P (AA)
=( 2 13 × 1 12 )+( 3 13 × 2 12 )+( 2 13 × 1 12 )+( 2 13 × 1 12 )                             ↑                Terdapat 3 huruf 'N' = 2 156 + 6 156 + 2 156 + 2 156 = 12 156 = 1 13



Soalan 2:
Sempena Hari Kebangsaan, sekumpulan pelajar yang terdiri daripada 8 pelajar lelaki dan 5 orang pelajar perempuan mengambil bahagian dalam pertandingan nyanyian. Setiap hari, dua orang pelajar dipilih secara rawak daripada kumpulan pelajar itu untuk membuat persembahan khas.
(a)    Hitung kebarangkalian bahawa kedua-dua pelajar yang dipilih untuk membuat persembahan khas itu adalah lelaki.
(b)   Dua orang pelajar lelaki yang telah membuat persembahan khas itu dikecualikan daripada membuat persembahan khas pada hari kedua.
Hitung kebarangkalian bahawa dua orang pelajar yang dipilih untuk membuat persembahan khas dalam hari kedua terdiri daripada jantina yang sama.

Penyelesaian:
(a)
P (kedua-dua orang pelajar adalah lelaki)
= P (LL)
= 8 13 × 7 12 = 7 24

(b)
P (kedua-dua orang pelajar adalah daripada jantina yang sama)
= P (LL) +  P (PP)
=( 6 11 × 5 10 )+( 5 11 × 4 10 )← 11 orang pelajar tinggal dalam kumpulan dalam hari kedua selepas dua orang pelajar lelaki dikecualikan. = 3 11 + 2 11 = 5 11


Bab 18 Kebarangkalian II

Posted on by
7.4 Kebarangkalian II, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 1:
Sebuah beg mengandungi 36 biji guli yang berwarna hitam dan putih. Diberi bahawa kebarangkalian sebiji guli hitam dipilih daripada beg ialah 5 9 .
Hitung bilangan guli putih perlu diambil keluar daripada beg supaya kebarangkalian sebiji guli hitam dipilih ialah 5 8 .

Penyelesaian:
Bilangan guli hitam dalam beg
= 5 9 ×36=20

Katakan y ialah bilangan guli yang tinggal dalam beg.
y× 5 8 =20 y=20× 8 5 =32

Bilangan guli putih yang perlu diambil keluar daripada beg
= 36 – 32
= 4


Soalan 2:
Jadual di bawah menunjukkan bilangan bola berwarna di dalam tiga beg.
Hijau
Perang
Ungu
Beg A
3
1
6
Beg B
5
3
4
Beg C
4
6
2

Jika sebuah beg dipilih secara rawak dan kemudian sebiji bola dipilih secara rawak daripada beg itu, apakah kebarangkalian sebiji bola ungu dipilih?

Penyelesaian:
Kebarangkalian memilih sebuah beg = ⅓
Kebarangkalian memilih sebiji bola ungu daripada beg A = 6 10 = 3 5
Kebarangkalian memilih sebiji bola ungu daripada beg B = 4 12 = 1 3
Kebarangkalian memilih sebiji bola ungu daripada beg C = 2 12 = 1 6

P( bola ungu )=( 1 3 × 3 5 )+( 1 3 × 1 3 )+( 1 3 × 1 6 )                             = 1 5 + 1 9 + 1 18                             = 11 30

Bab 18 Kebarangkalian II

Posted on by
7.3 Kebarangkalian Peristiwa Bergabung

7.3a Mencari kebarangkalian secara menyenaraikan kesudahan peristiwa bergabung
1.     Peristiwa bergabung ialah peristiwa yang dihasilkan daripada kesatuan atau persilangan dua peristiwa atau lebih.
2.     Kesatuan peristiwa bergabung ‘A atau B’ = A υ B
3.     Persilangan peristiwa bergabung ‘A dan B’ = A ∩ B

Contoh:
Rajah di bawah menunjukkan lima keping kad huruf.


Semua kad dimasukkan ke dalam sebuah kotak. Suatu kod dua-huruf hendak dibentuk dengan menggunakan mana-mana dua daripada kad ini. Dua kad dipilih secara rawak, satu persatu, tanpa dikembalikan.
(a) Senaraikan ruang sampel.
(b) Senaraikan semua kesudahan peristiwa dan cari kebarangkalian bahawa
(i) kod itu bermula dengan huruf P.
(ii) kod itu terdiri daripada dua vocal atau dua konsonan.

Penyelesaian:
(a)
Ruang sampel, S
= {(G, R), (G, A), (G, P), (G, E), (R, G), (R, A), (R, P), (R, E), (A, G), (A, R),
     (A, P), (A, E), (P, G), (P, R), (P, A), (P, E), (E, G), (E, R), (E, A), (E, P)}

(b)
n(S) = 20
Katakan
A = Peristiwa memilih suatu kod bermula dengan huruf P
B = Peristiwa memilih suatu kod yang terdiri daripada dua vocal atau dua konsonan.

(i)
A = {(P, G), (P, R), (P, A), (P, E)}
n(A) = 4
P( A )= 4 20 = 1 5  

(ii)
B = {(G, R), (G, P), (R, G), (R, P), (A, E), (P, G), (P, R), (E, A)}
n(B) = 8
P( B )= 8 20 = 2 5

Bab 18 Kebarangkalian II

Posted on by
7.2 Kebarangkalian Peristiwa Pelengkap
1. Peristiwa pelengkap bagi peristiwa A dalam satu ruang sampel, S, adalah terdiri daripada semua kesudahan S yang bukan kesudahan  A.

2. Bagi peristiwa A, A’ ialah pelengkap kepada peristiwa A

   
    P (A’) = 1 – P (A)


Contoh:
Satu nombor dipilih secara rawak daripada satu set nombor bulat dari 1 hingga 40. Hitung kebarangkalian bahawa nombor yang dipilih bukan satu kuasa dua sempurna.

Penyelesaian:
Katakan
A = Peristiwa memilih satu nombor kuasa dua sempurna.
A’ = Peristiwa memilih satu nombor bukan kuasa dua sempurna.
A = {1, 4, 9, 16, 25, 36}
n(A) = 6
P( A )= n( A ) n( S )         = 6 40 = 3 20 ∴P( A' )=1−P( A )         =1− 3 20 = 17 20    

Oleh itu, kebarangkalian bahawa nombor yang dipilih bukan satu kuasa dua sempurna ialah 17 20 .   

Bab 18 Kebarangkalian II

Posted on by

7.1 Kebarangkalian suatu Peristiwa

1.      Ruang sampel, S, mengandungi semua kesudahan yang mungkin berlaku.
2.      Kebarangkalian bagi suatu peristiwa  A, P(A) berlaku diberi oleh

   P(A)= bilangan kesudahan A bilangan kesudahan S        P(A)= n(A) n(S)    dengan keadaan 0≤P(A)≤1

3.      Jika P(A) = 0, maka peristiwa A pasti tidak berlaku.
4.      Jika P(A) = 1, maka peristiwa A pasti berlaku.

Contoh 1:
Sebuah kotak mengandungi 9 pen merah dan 13 pen biru. Tom memasukkan lagi 4 pen merah dan 2 pen biru ke dalam kotak. Sebatang pen dipilih secara rawak daripada kotak itu. Apakah kebarangkalian sebatang pen merah akan dipilih?

Penyelesaian:
n(S) = 9 + 13 + 4 + 2 = 28
katakan M = Peristiwa sebatang pen merah dipilih.
n(M) = 9 + 4 = 13
P( M )= n( M ) n( S )            = 13 28  



Contoh 2:
Sebuah beg mengandungi 45 keping kad hijau dan kad kuning. Sekeping kad dipilih secara rawak daripada bag itu. Kebarangkalian sekeping kad hijau dipilih ialah 1 5  .
Berapa bilangan kad hijau yang perlu ditambah ke dalam beg itu supaya kebarangkalian sekeping kad hijau dipilih ialah ½ ?

Penyelesaian:
n(S) = 45
Katakan
x = bilangan kad hijau dalam bag.
A = Peristiwa memilih sekeping kad hijau secara rawak.
n(A) = x
P( A )= n( A ) n( S )       1 5  = x 45       x= 45 5       x=9

Katakan y ialah bilangan kad hijau yang ditambah ke dalam beg.
9+y 45+y = 1 2
2 (9 + y) = 45 + y
 18 + 2y= 45 + y
    2y– y = 45 – 18
            y = 27

Bab 7 Kebarangkalian I

Posted on by
7.4 Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 5:
Sebuah kotak mengandungi 36 pemadam hijau dan beberapa ketul pemadam merah.
Jika seketul pemadam dipilih secara rawak daripada kotak itu, kebarangkalian seketul pemadam berwarna merah dipilih ialah 5 8 . Cari bilangan pemadam merah.

Penyelesaian:
Kebarangkalian memilih pemadam hijau =1− 5 8 = 3 8
Jumlah pemadam dalam kotak =36× 8 3 =96

Oleh itu, bilangan pemadam merah dalam kotak = 96 – 36 = 60 


Soalan 6:
Sebuah kotak mengandungi guli biru dan guli hijau. Sebiji guli dipilih secara rawak daripada kotak itu. Kebarangkalian memilih sebiji guli biru ialah 6 11 . Jika terdapat 30 biji guli hijau dalam kotak, berapa biji guli biru dalam kotak itu.

Penyelesaian:
Kebarangkalian memilih sebiji guli hijau =1− 6 11 = 5 11

Jumlah guli dalam kotak =30× 11 5 =66

Oleh itu, bilangan guli biru dalam kotak = 66 – 30 = 36 


Soalan 7:
Jadual di bawah menunjukkan taburan sekumpulan 90 orang murid yang mengambil bahagian dalam satu program latihan sepakan penalty.

Tingkatan 4
Tingkatan 5
Perempuan
33
15
Lelaki
18
24

Seorang murid dipilih secara rawak daripada kumpulan itu untuk memulakan sepakan.
Apakah kebarangkalian seorang murid lelaki daripada Tingkatan Lima akan dipilih?

Penyelesaian:
P (seorang murid lelaki Tingkatan 5)
= 24 90 = 4 15



Soalan 8:
Rajah di bawah menunjukkan beberapa keeping kad  nombor.


Sekeping kad dipilih secara rawak. Nyatakan kebarangkalian bahawa kad yang dipilih ialah kad nombor perdana.

Penyelesaian:
Nombor perdana = {11, 19, 37}
P (suatu nombor perdana)
= 3 6 = 1 2

Bab 7 Kebarangkalian I

Posted on by
7.4 Kebarangkalian, SPM Praktis (Kertas 1)
Soalan 1:
Sebuah kotak mengandungi 5 biji guli merah jambu dan 21 guli kuning. Sharon memasukkan lagi 4 biji guli merah jambu dan 1 biji guli kuning ke dalam kotak itu. Sebiji guli dipilih secara rawak daripada kotak itu.
Apakah kebarangkalian sebiji guli merah jambu akan dipilih?

Penyelesaian:
Jumlah guli merah jambu = 5 + 4 = 9
Jumlah guli kuning = 21 + 1 = 22
Jumlah guli dalam kotak = 9 + 22 = 31
P( guli merah jambu )= 9 31


Soalan 2:
Dalam satu kumpulan 80 orang pengawas, 25 orang daripadanya adalah pengawas perempuan. Kemudian seramai 10 orang pengawas lelaki meninggalkan kumpulan itu.
Jika seorang pengawas dipilih secara rawak daripada kumpulan itu, nyatakan kebarangkalian bahawa pengawas yang dipilih itu adalah lelaki.

Penyelesaian:
Bilangan pengawas lelaki = 80 – 25 = 55

Selepas 10 lelaki meninggalkan kumpulan,
Bilangan pengawas lelaki yang baru = 55 – 10 = 45

Jumlah bilangan pengawas = 25 + 45 = 70

P( pengawas lelaki )= 45 70 = 9 14


Soalan 3:
60 orang mengambil bahagian dalam pertandingan nyanyian. Jika seorang dipilih secara rawak daripada semua peserta, kebarangkalian memilih seorang peserta lelaki ialah 8 15 . Jika terdapat 12 orang lelaki dan 3 orang perempuan tidak layak ke pusingan kedua, cari kebarangkalian bahawa seorang lelaki dipilih daripada peserta-peserta dalam pusingan kedua.

Penyelesaian:
Bilangan peserta lelaki = 60× 8 15 =32

Selepas 12 orang lelaki dan 3 orang perempuan tidak layak ke pusingan kedua,
Jumlah peserta yang tinggal = 60 – 15 = 45

Peserta lelaki di pusingan kedua = 32 – 12 = 20

P( peserta lelaki )= 20 45 = 4 9



Soalan 4:
John mempunyai koleksi setem dari Thailand, Indonesia dan Singapura. Dia memilih sekeping setem secara rawak. Kebarangkalian memilih sekeping setem Thailand ialah 1 5  dan kebarangkalian memilih sekeping setem Indonesia ialah 8 15 .  John mempunyai 20 keping setem Singapura. Hitungkan jumlah koleksi setem bagi John.

Penyelesaian:
Kebarangkalian memilih sekeping setem Singapura
=1− 1 5 − 8 15 = 4 15

Diberi John mempunyai 20 setem Singapura
Maka, jumlah koleksi setem bagi John
= 15 4 ×20 =75


Bab 7 Kebarangkalian I

Posted on by
7.3 Kebarangkalian suatu Peristiwa

(A) Kebarangkalian suatu Peristiwa
1.      Kebarangkalian bagi suatu peristiwa  A, P(A) berlaku diberi oleh

   P(A)= bilangan kali berlakunya peristiwa A bilangan cubaan        P(A)= n(A) n(S)    dengan keadaan 0≤P(A)≤1

2.      Jika P(A) = 0, maka peristiwa A pasti tidak berlaku.
3.      Jika P(A) = 1, maka peristiwa A pasti berlaku.

Contoh 1:
Jadual di bawah menunjukkan taburan sekumpulan 80 orang murid yang mengambil bahagian dalam satu permainan.
Tingkatan Empat
Tingkatan Empat
Perempuan
28
16
Lelaki
12
24

Seorang murid dipilih secara rawak daripada kumpulan itu untuk memulakan permainan.
Apakah kebarangkalian seorang murid lelaki daripada Tingkatan Lima akan dipilih?

Penyelesaian:
Katakan
A= Peristiwa seorang murid lelaki daripada Tingkatan Lima dipilih
S= Ruang sampel
n(S) = 28 + 12 + 16+ 24 = 80
n(A) = 24
P(A)= n(A) n(S)           = 24 80 = 3 10


(B) Menjangkakan bilangan kali berlakunya sesuatu peristiwa
Jika kebarangkalian bagi suatu peristiwa A dan bilangan cubaan diberi, maka bilangan kali berlakunya peristiwa A yang dijangkakan
= P(A) × Bilangan cubaan

Contoh 2:
Dalam satu sesi latihan bola sepak, kebarangkalian percubaan Ahmad menjaringkan gol ialah ⅝ . Dalam 40 percubaan yang dipilih secara rawak, berapa kalikah Ahmad dijangka akan menjaringkan satu gol?

Penyelesaian:
Bilangan kali Ahmad dijangka akan menjaringkan satu gol
= ⅝ × 40
= 25  


(C) Menyelesaikan masalah yang melibatkan kebarangkalian bagi suatu peristiwa
Contoh 3:
Kelvin mempunyai 30 sapu tangan yang terdiri daripada warna putih, biru dan merah. Jika satu sapu tangan dipilih secara rawak, kebarangkalian memilih sehelai sapu tangan berwarna putih ialah 2 5 .  Hitung
(a)  bilangan sapu tangan yang berwarna putih.
(b)  kebarangkalian memilih sekeping sapu tangan berwarna biru jika Kelvin mempunyai 8 helai sapu tangan yang berwarna merah.

Penyelesaian:
Katakan 
P= Peristiwa sapu tangan berwarna putih dipilih.
B= Peristiwa sapu tangan berwarna biru dipilih.
M= Peristiwa sapu tangan berwarna merah dipilih.
S= Sample space
(a)
n(S) = 30
n(P)=P(P)×n(S)         = 2 5 ×30=12
(b)
Given n(M) = 8
n(B) = 30 – 12 – 8 = 10
P(B)= n(B) n(S)         = 10 30 = 1 3


Bab 7 Kebarangkalian I

Posted on by
7.2 Peristiwa
(A) Menyatakan unsur-unsur ruang sampel yang memenuhi syarat tertentu
1.      Jika suatu syarat tertentu diberi, kita boleh menyenaraikan unsur-unsur ruang sampel yang memenuhi syarat-syarat yang diberi.

Contoh 1:
Suatu nombor dua-digit yang tidak melebihi 25 dipilih secara rawak. Senaraikan unsur-unsur ruang sampel yang memenuhi syarat-syarat yang berikut.
(a)  Satu kuasa dua sempurna dipilih.
(b)  Satu nombor perdana dipilih.

Penyelesaian:
Ruang sampel, S
= {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25}

(a)
Satu kuasa dua sempurna dipilih.
= {16, 25}

(b)
Satu nombor perdana dipilih
= {11, 13, 17, 19, 23}


(B) Peristiwa bagi suatu ruang sampel
1.      Peristiwa ialah set kesudahan yang memenuhi syarat tertentu .
2.      Peristiwa adalah suatu subset bagi ruang sampel.

Contoh 2:
Sebiji duit syiling dan sebiji dadu dilambung pada masa yang sama. Peristiwa-peristiwa  P dan Q ditakrifkan seperti yang berikut.
P= Peristiwa mendapat ‘Gambar’ daripada duit syiling dan nombor ganjil daripada dadu.
Q= Peristiwa mendapat ‘Angka’ daripada duit syiling dan nombor lebih daripada 2 daripada dadu.
(a)  Senaraikan ruang sampel, S.
(b)  Senaraikan unsur-unsur bagi
          (i)    peristiwa P,
          (ii) peristiwa Q.

Penyelesaian:
(a)
Ruang sampel, S
= { (H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6) }

(b)(i)
P= { (H, 1), (H, 3), (H, 5) }
← (Kesudahan yang mungkin bagi Peristiwa P:  mendapat ‘Gambar’ daripada duit syiling dan nombor ganjil daripada dadu.)

(b)(ii)
Q= { (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6) }
← (Kesudahan yang mungkin bagi Peristiwa Q : mendapat ‘Angka’ daripada duit syiling dan nombor lebih daripada 2 daripada dadu.)