Bab 10 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk

Posted on June 12, 2016 by user

10.3 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Rajah di bawah menunjukkan dua batang tiang tegak yang terletak pada permukaan mengufuk. J, K, L, M dan N adalah lima titik yang terletak pada tiang-tiang itu dengan keadaan KL = MN.

Namakan sudut dongakan titik J dari titik M.

Penyelesaian:

Sudut dongakan titik J dari titik M = ∠KMJ

Soalan 2:

Rajah di bawah menunjukkan dua batang tiang tegak, JM dan KL yang terletak pada permukaan mengufuk.

Hitung sudut dongakan puncak K dari M .

Penyelesaian:

JN= 10 tan 42^o = 9.004 m

NM= 25 – 9.004 = 15.996 m

KL= NM = 15.996 m

\begin{array}{l} \tan ∠ K M L = \frac{K L}{M L} \\ = \frac{15.996}{10} \\ = 1.5996 \\ ∠ K M L = \tan^{- 1} 1.5996 \\ = 57^{o} 59^{'} \end{array}

Soalan 3:

Rajah di bawah menunjukkan satu batang tiang tegak, KMN yang terletak pada suatu permukaan mengufuk. Sudut dongakan M dari L ialah 20^o.

Hitung tinggi, dalam m, bagi tiang itu.

Penyelesaian:

tan 20 o = K M K L 0.3640 = K M 15

KM= 5.4m

Tinggi tiang = 9 + 5.4 = 14.4m

Bab 10 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk

Posted on June 11, 2016 by user

10.1 Sudut Dongakan dan Sudut Tunduk

1. Sudut dongakan ialah sudut tirus di antara garis mengufukyang melalui mata pencerap dengan garis lurus yang menyambungkan mata pencerap dengan objek yang berada di sebelah atas garis mengufuk itu.

Contoh 1:

Sudut dongakan bagi objek O dari P = ∠OPA

2. Sudut tunduk ialah sudut tirus di antara garis mengufukyang melalui mata pencerap dengan garis lurus yang menyambungkan mata pencerap dengan objek yang berada di sebelah bawah garis mengufuk itu.

Contoh 2:

Sudut tunduk bagi objek O dari P = ∠OPA

3. Sudut dongakan dan sudut tunduk adalah sentiasa diukur dari garisan mengufuk.

Contoh 3:

Rajah di bawah menunjukkan dua batang tiang tegak, JK dan NL yang terletak pada permukaan mengufuk. M adalah satu titik atas NLdengan keadaan JK = ML.

Sudut tunduk titik J dari titik N ialah

Penyelesaian:

Sudut tunduk titik J dari titik N ialah sudut di antara garis JN dengan garis mengufuk melalui N.

Sudut tunduk Jdari N

= sudut dongakan Ndari J

= ∠NJM

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.3.2 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 4:

Dalam rajah di atas, WZY ialah satu garis lurus. ∠XYZ = 90^o, ∠XWZ = 30^odan WZ = XZ = 30cm. Cari panjang XY.

Penyelesaian:

∠WXZ = ∠XWZ = 30^o

Maka ∠XZY = 30^o+ 30^o= 60^o

\begin{array}{l} \sin ∠ X Z Y = \frac{X Y}{X Z} \\ \sin 60^{o} = \frac{X Y}{30} \end{array}

XY= sin 60^o × 30

XY = 25.98cm

Soalan 5:

Dalam rajah di atas, PQS ialah satu segitiga bersudut tegak. Diberi bahawa SR = 6cm, PQ = 12 cm dan 5SR = 2PS. Cari nilai cos α dan tan β.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} 5 S R = 2 P S \\ P S = \frac{5}{2} S R \\ P S = \frac{5}{2} (6) \\ P S = 15 c m \\ k o s α = \frac{P Q}{P S} \\ k o s α = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} \end{array}

Dalam ∆ PQS, guna Teori Pythagoras,

\begin{array}{l} Q S = \sqrt{P S^{2} - P Q^{2}} \\ Q S = \sqrt{15^{2} - 12^{2}} = 9 c m \\ \tan β = - \tan ∠ P S Q \leftarrow \begin{array}{l} 90^{\circ} < β < 180^{\circ} \\ (d a l a m sukuan II), \\ tan β is negatif \end{array} \\ \tan β = - \frac{P Q}{Q S} \\ \tan β = - \frac{12}{9} = - \frac{4}{3} \end{array}

Soalan 6:

Dalam rajah di atas, ADC ialah satu garis lurus,

\sin q = \frac{3}{5} dan \tan p = \frac{1}{2}

. Hitung jarak AC.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Diberi \sin q = \frac{B D}{A B} = \frac{3}{5} \\ \frac{B D}{30} = \frac{3}{5} \\ B D = \frac{3}{5} \times 30 \\ B D = 18 c m \end{array}

Dalam ∆ ABD, guna Teori Pythagoras,

\begin{array}{l} A D = \sqrt{A B^{2} - B D^{2}} \\ A D = \sqrt{30^{2} - 18^{2}} = 24 c m \\ Given tan p = \frac{B D}{D C} = \frac{1}{2} \\ \frac{18}{D C} = \frac{1}{2} \\ D C = 36 c m \end{array}

Oleh itu, jarak AC = 24 + 36 = 60cm

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.3.1 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Dalam rajah di atas, cari nilai tan θ.

Penyelesaian:

Dalam ∆ ABC, guna Teori Pythagoras,

\begin{array}{l} A C = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2} c m \\ \tan θ = \frac{C D}{A C} \\ \tan θ = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}

Soalan 2:

Dalam rajah di atas, ABCE ialah satu segiempat tepat and titik D terletak pada garis lurus EC. Diberi bahawa DC = 5 cm dan AE = 4cm, cari nilai kos θ.

Penyelesaian:

AD = DC = 5cm

Dalam ∆ AED, guna Teori Pythagoras,

\begin{array}{l} E D = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3 c m \\ k o s θ = - k o s ∠ A D E \leftarrow \begin{array}{l} 90^{\circ} < θ < 180^{\circ} \\ (s u k u a n II), \\ k o s θ adalah negatif \end{array} \\ k o s θ = - \frac{E D}{A D} \\ k o s θ = - \frac{3}{5} \end{array}

Soalan 3:

Dalam rajah di atas, PMR ialah garis lurus, M ialah titik tengah bagi garis PR. Diberi bahawa QR = 12cm dan sin y = 0.6, cari nilai tan x^o.

Penyelesaian:

Dalam ∆ QMR,

sin y^o= 0.6

\sin y^{\circ} = \frac{Q R}{Q M} = \frac{6}{10}

Diberi QR = 12cm

Maka QM = 10 × 2 = 20cm

Dalam ∆ QMR, guna Teori Pythagoras,

\begin{array}{l} M R = \sqrt{20^{2} - 12^{2}} = 16 c m \\ P R = 16 \times 2 = 32 c m \\ Oleh itu \tan x^{\circ} = \frac{Q R}{P R} = \frac{12}{32} = \frac{3}{8} \end{array}

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.1.2 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sesuatu Sudut (Bahagian 2)

(D) Sudut khusus 30^o, 45^o, 60^o

(E) Mencari sudut di antara 0^o dengan 360^o apabila nilai sin θ, kos θ atau tan θ diberi

1. Jika nilai sin θ, kos θ atau tan θ diberi dan 0^o< θ < 360^o, nilai θ dapat dicari dengan menggunakan langkah-langkah di bawah.
(a) Cari sudut asas dalam sukuan I yang sesuai dengan θ.
(b) Berdasarkan nilai (positif atau negatif) bagi sin θ, kos θ atau tan θ, tentukan sukuan yang mana θ berada.
(c) Cari nilai-nilai θ dalam sukuan yang dicari dalam (b).

Contoh:

Cari nilai θ yang memuaskan setiap persamaan di bawah.

(a) sin θ = 0.6025 dan 90^o< θ < 180^o

(b) kos θ = –0.6025 dan 180^o< θ < 270^o

(d) tan θ = –1.732 dan 0^o< θ < 360^o

Penyelesaian:

(a)

sin θ = 0.6025

Sudut asas ∠ = 37.05^o ← (tekan SHIFT sin^-1 0.6025 = 37.04975756)

Oleh itu θ = 180^o – 37.05^o = 142.95^o ← (90^o< θ < 180^o)

(b)

kos θ = –0.6025

Sudut asas ∠ = 52.95^o ← (tekan SHIFT kos^-1 0.6025 = 52.9508)

Oleh itu θ = 180^o + 52.95^o = 232.95^o ← (180^o< θ < 270^o)

(c)

sin θ = –0.8387 ← (sin θ adalah negatif dalam sukuan ke III dan ke IV)

Sudut asas ∠ = 57^o ← (tekan SHIFT sin^-1 0.8387 = 57.003)

θ₁ = 180^o + 57^o = 237^o ← (180^o< θ < 270^o)

θ₂ = 360^o – 57^o = 303^o ← (270^o< θ < 360^o)

Oleh itu θ = 237^odan 303^o

(d)

tan θ = –1.732 ← (tan θ adalah negatif dalam sukuan ke II dan ke IV)

Sudut asas ∠ = 60^o ← (tekan SHIFT tan^-1 1.732 = 59.9993)

θ₁ = 180^o – 60^o = 120^o ← (90^o< θ < 180^o)

θ₂ = 360^o – 60^o = 300^o ← (270^o< θ < 360^o)

Oleh itu θ = 120^odan 300^o

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.1 Nilai Sinus, Kosinus dan Tangen bagi Sesuatu Sudut (Bahagian 1)

(A) Sinus, kosinus dan tangen untuk segitiga sudut tegak

\begin{array}{l} \sin θ = \frac{sisi bertentangan}{hipotenus} \\ cos θ = \frac{sisi bersebelahan}{hipotenus} \\ tan θ = \frac{sisi bertentangan}{sisi bersebelahan} \end{array}

(B) Nilai sin θ, kos θ dan tan θ dalam sukuan pertama dalam bulatan unit

Dalam sukuan I, P adalah satu titik yang terletak pada lilitan bulatan unit yang berpusatkan asalan, 0. θ adalah sudut di antara jejari OPdengan paksi-x yang positif. Daripada rajah

\begin{array}{l} (a) sin θ = \frac{P Q}{O P} = y \\ (b) kos θ = \frac{O Q}{O P} = x \\ (c) tan θ = \frac{P Q}{O Q} = \frac{y}{x} \\ O l e h i t u, \\ \begin{array}{l} sin θ = y -koordinat \\ kos θ = x -koordinat \\ tan θ = \frac{y -koordinat}{x -koordinat} \end{array} \end{array}

(C) Suatu satah Cartesan dibahagikan kepada empat bahagian, disebut sukuanoleh paksi-x dan paksi-y. Sukuan-sukuan itu dinamakan sebagai sukuan I, sukuan II, sukuan III, dan sukuan IV mengikut lawan arah jam.

Contoh:

Tentukan samada setiap nilai berikut adalah positif atau negatif.

(a) sin 105^o (b) kos 75^o (c) tan 305^o (d) sin 50^o

(e) kos 160^o (f) tan 220^o (g) kos 260^o (h) kos 350^o

Penyelesaian:

(a) sin 105^oadalah positif kerana 90^o< 105^o < 180^o (sukuan II).

(b) kos 75^oadalah positif kerana 0^o< 75^o < 90^o (sukuan I).

(c) tan 305^oadalah negatif kerana 270^o< 305^o < 360^o (sukuan III).

(d) sin 50^oadalah positif kerana 0^o< 50^o < 90^o (sukuan I).

(e) kos 160^oadalah negatif kerana 120^o< 160^o < 180^o (sukuan II).

(f) tan 220^oadalah positif kerana 180^o< 220^o < 270^o(sukuan III).

(g) kos 260^oadalah negatif kerana 180^o< 260^o < 270^o (sukuan III).

(h) kos 350^oadalah positif kerana 270^o< 350^o < 360^o (sukuan IV).

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.3 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 13:

Antara graf berikut, yang manakah mewakili graf y = tan x for 0^o ≤ x ≤ 360^o?

Penyelesaian:

Jawapan: A

Soalan 14:

Graf manakah yang mewakili sebahagian daripada y = tan x?

Penyelesaian:

Jawapan: C

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.3 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 10:

Antara graf berikut, yang manakah mewakili graf y = cos 2x?

Penyelesaian:

Jawapan: C

Soalan 11:

Antara graf berikut, yang manakah mewakili graf y = cos x for 0^o ≤ x ≤ 180^o?

Penyelesaian:

Jawapan: D

Soalan 12:

Graf manakah yang mewakili sebahagian daripada y = cos x?

Penyelesaian:

Jawapan: B

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.3 Trigonometri II, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 7:

Graf manakah yang mewakili y = sin x bagi 0^o≤ x ≤ 270^o?

Penyelesaian:

Jawapan: B

Soalan 8:

Graf manakah yang mewakili y = sin x bagi 0^o≤ x ≤ 180^o?

Penyelesaian:

Jawapan: D

Soalan 9:

Graf manakah yang mewakili sebahagian daripada y = sin x?

Penyelesaian:

Jawapan: A

Bab 9 Trigonometri II

Posted on June 11, 2016 by user

9.2 Graf Sinus, Kosinus dan Tangen

1. y = sin x, 0^o≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
*sin x*	0	1	0	-1	0

2. y = kos x, 0^o≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
*kos x*	1	0	-1	0	1

3. y = tan x, 0^o≤ x ≤ 360^o

x	0^o	90^o	180^o	270^o	360^o
*tan* x	0	∞	0	∞	0

4. y = sin 2x, 0^o≤ 2x ≤ 360^o

5. y = kos 2x, 0^o≤ 2x ≤ 360^o

6. y = tan 2x, 0^o≤ 2x ≤ 360^o