Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on May 18, 2016 by user

2.4 Syarat untuk Jenis Punca Persamaan Kuadratik

2.4.1 Jenis-jenis Punca Persamaan Kuadratik

Jenis-jenis punca persamaan kuadratik ditentukan oleh nilai ungkapan b² – 4 ac .

b² – 4ac > 0 ↔ dua punca nyata yang berbeza

b² – 4ac = 0 ↔ dua punca nyata yang sama

b² – 4ac < 0 ↔ tiada punca nyata

b² – 4ac ≥ 0 ↔ punca nyata

Contoh:

Tentukan jenis punca bagi setiap persamaan kuadratik yang berikut.

(a) 5x ² – 7x + 3 = 0

(b) x ² – 4x + 4 = 0

Penyelesaian:

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on May 18, 2016 by user

2.3c Cari Hasil Tambah Punca (HTP) dan Cari Hasil Darab Punca (HDP) bagi suatu Persamaan Kuadratik (Contoh)

Contoh:

Punca-punca bagi 2x ² + 3x – 1 = 0 adalah αdan β. Cari nilai-nilai berikut:

\begin{array}{l} (a) (α + 1) (β + 1) \\ (b) \frac{1}{α} + \frac{1}{β} \\ (c) α^{2} β + α β^{2} \\ (d) \frac{α}{β} + \frac{β}{α} \\ [P e t u n j u k : α^{2} + β^{2} = {(α + β)}^{2} - 2 α β] \end{array}

Penyelesaian:

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on May 18, 2016 by user

2.3b Cari Hasil Tambah Punca (HTP) dan Cari Hasil Darab Punca (HDP) bagi suatu Persamaan Kuadratik

Contoh:

Cari hasil tambah punca dan hasil darab punca bagi persamaan yang berikut:

(a) x ² + 7x – 3 = 0

(b) x (x – 1) = 5 (1 – x)

Penyelesaian:

(a) x ² + 7x – 3 = 0

a = 1, b = 7, c = –3,

\begin{array}{l} Hasil Tambah Punca (HTP) \\ α + β = - \frac{b}{a} = - \frac{7}{1} = - 7 \\ Hasil Darab Punca (HDP) \\ α β = \frac{c}{a} = - \frac{3}{1} = - 3 \end{array}

(b)

x (x – 1) = 5 (1 – x)

x ² – x = 5 – 5x

x ² – x – 5 + 5x = 0

x ² + 4x – 5 = 0

a = 1, b = 4, c = –5,

\begin{array}{l} Hasil Tambah Punca (HTP) \\ α + β = - \frac{b}{a} = - \frac{4}{1} = - 4 \\ Hasil Darab Punca (HDP) \\ α β = \frac{c}{a} = - \frac{5}{1} = - 5 \end{array}

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on May 18, 2016 by user

2.2c Penyelesaian Persamaan Kuadratik – Rumus Kuadratik

(A) Rumus Kuadratik

Persamaan kuadratik ax ² + bx + c = 0 boleh diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadratik.

x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}

Contoh:

Selesaikan setiap persamaan yang berikut dengan menggunakan rumus.
(a) x ² + 5x – 24 = 0
(b) x (x + 4 ) = 10

Penyelesaian:

(a) Bagi persamaan x ² + 5x – 24 = 0

a = 1, b = 5, c = –24,

\begin{array}{l} Dari x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- (5) \pm \sqrt{{(5)}^{2} - 4 (1) (- 24)}}{2 (1)} \\ x = \frac{- 5 \pm \sqrt{121}}{2} \\ x = - 8 or x = 3 \end{array}

(b) Bagi persamaan, x (x + 4 ) = 10

x² + 4x – 10 = 0

a = 1, b= 4, c = –10,

\begin{array}{l} Dari x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- (4) \pm \sqrt{{(4)}^{2} - 4 (1) (- 10)}}{2 (1)} \\ x = \frac{- 4 \pm \sqrt{56}}{2} \\ x = 1.742 or x = - 5.742 \end{array}

Bab 2 Persamaan Kuadratik

Posted on May 18, 2016 by user

2.3a Pembentukan Persamaan Kuadratik daripada Punca

Apabila diberi α dan β ialah punca-punca bagi persamaan ax ² + bx + c = 0, maka

x = α atau x = β

x – α = 0 atau x – β = 0

(x – α) (x – β) = 0

x ² – ( α + β ) x + αβ = 0

Kesimpulan:

x ² – (hasil tambah punca ) x + (hasil darab punca) = 0

Contoh:

Bentukkan persamaan kuadratik apabila punca-puncanya adalah seperti berikut:
(a) 3, −1

(b) −2, ¼

Penyelesaian:

Bab 15 Vektor

Posted on May 17, 2016 by user

4.7 Vektor, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 2:

Diberi

\vec{A B} = (\begin{matrix} 10 \\ 14 \end{matrix}), \vec{O B} = (\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix}), dan \vec{C D} = (\begin{matrix} m \\ 7 \end{matrix}), carikan

(a) koordinat A,

(b) vektor unit dalam arah

\vec{O A}

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} \vec{A B} = (\begin{matrix} 10 \\ 14 \end{matrix}), \vec{O B} = (\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix}) \vec{C D} = (\begin{matrix} m \\ 7 \end{matrix}) \\ \vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B} \\ (\begin{matrix} 10 \\ 14 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 \\ 14 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 \\ 6 \end{matrix}) \\ \vec{A O} = (\begin{matrix} 6 \\ 8 \end{matrix}) \\ \vec{O A} = (\begin{matrix} - 6 \\ - 8 \end{matrix}) \\ A = (- 6, - 8) \end{array}

(b)

\begin{array}{l} | \vec{O A} | = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(- 8)}^{2}} \\ | \vec{O A} | = \sqrt{100} = 10 \\ the unit vector in the direction of \vec{O A} \\ = \frac{\vec{O A}}{| \vec{O A} |} \\ = \frac{(\begin{matrix} - 6 \\ - 8 \end{matrix})}{10} = \frac{1}{10} (\begin{matrix} - 6 \\ - 8 \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} - \frac{3}{5} \\ - \frac{4}{5} \end{matrix}) \end{array}

(c)

\begin{array}{l} Given \vec{C D} parallel \vec{A B} \\ ∴ \vec{C D} = k \vec{A B} \\ (\begin{matrix} m \\ 7 \end{matrix}) = k (\begin{matrix} 10 \\ 14 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} m \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 10 k \\ 14 k \end{matrix}) \end{array}

7 = 14k

k= ½

m = 10k = 10 (½) = 5

Bab 15 Vektor

Posted on May 17, 2016 by user

4.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 5:

\begin{array}{l} p = 5 \underset{˜}{a} - 7 \underset{˜}{b} \\ q = - 2 \underset{˜}{a} + 3 \underset{˜}{b} \\ r = (h - 1) \underset{˜}{a} + (h + k) \underset{˜}{b}, \\ dengan keadaan h dan k adalah pemalar \end{array}

Gunakan maklumat di atas untuk mencari nilai h dan nilai k apabila r= 2p – 3q.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} r = 2 p - 3 q \\ (h - 1) \underset{˜}{a} + (h + k) \underset{˜}{b} = 2 (5 \underset{˜}{a} - 7 \underset{˜}{b}) - 3 (- 2 \underset{˜}{a} + 3 \underset{˜}{b}) \\ (h - 1) \underset{˜}{a} + (h + k) \underset{˜}{b} = 10 \underset{˜}{a} - 14 \underset{˜}{b} + 6 \underset{˜}{a} - 9 \underset{˜}{b} \\ (h - 1) \underset{˜}{a} + (h + k) \underset{˜}{b} = 16 \underset{˜}{a} - 23 \underset{˜}{b} \end{array}

Bandingkan vektor,

h– 1 = 16

h = 17

h+ k = –23

17 + k = –23

k = –40

Soalan 6:

Titik-titik P, Qdan R adalah segaris. Diberi bahawa

\vec{P Q} = 4 \underset{˜}{a} - 2 \underset{˜}{b} dan \vec{Q R} = 3 \underset{˜}{a} + (1 + k) \underset{˜}{b}

, dengan keadaan kialah pemalar. Cari

(a) nilai k,

(b) nisbah PQ : QR.

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} Jika P, Q dan R adalah segaris, \\ \vec{P Q} = m \vec{Q R} \\ 4 \underset{˜}{a} - 2 \underset{˜}{b} = m [3 \underset{˜}{a} + (1 + k) \underset{˜}{b}] \\ 4 \underset{˜}{a} - 2 \underset{˜}{b} = 3 m \underset{˜}{a} + m (1 + k) \underset{˜}{b} \\ Bandingan vektor: \\ \underset{˜}{a} : 4 = 3 m \\ m = \frac{4}{3} \\ \underset{˜}{b} : - 2 = m (1 + k) \\ - 2 = \frac{4}{3} (1 + k) \\ 1 + k = - \frac{6}{4} \\ k = - \frac{3}{2} - 1 \\ k = - \frac{5}{2} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} \vec{P Q} = m \vec{Q R} \\ \vec{P Q} = \frac{4}{3} \vec{Q R} \\ \frac{\vec{P Q}}{\vec{Q R}} = \frac{4}{3} \\ ∴ P Q : Q R = 4 : 3 \end{array}

Soalan 7:

Diberi bahawa

\underset{˜}{x} = 3 \underset{˜}{i} + m \underset{˜}{j} dan \underset{˜}{y} = 4 \underset{˜}{i} - 3 \underset{˜}{j},

, cari nilai m jika vektor

\underset{˜}{x} selari dengan vektor \underset{˜}{y} .

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Jika vektor \underset{˜}{x} selari dengan vektor \underset{˜}{y} \\ \underset{˜}{x} = h \underset{˜}{y} \\ (3 \underset{˜}{i} + m \underset{˜}{j}) = h (4 \underset{˜}{i} - 3 \underset{˜}{j}) \\ 3 \underset{˜}{i} + m \underset{˜}{j} = 4 h \underset{˜}{i} - 3 h \underset{˜}{j} \\ Bandingkan vektor: \\ \underset{˜}{i} : 3 = 4 h \\ h = \frac{3}{4} \\ \underset{˜}{j} : m = - 3 h \\ m = - 3 (\frac{3}{4}) = - \frac{9}{4} \end{array}

Bab 15 Vektor

Posted on May 17, 2016 by user

4.6.2 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 3:

Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat tepat OABC dan titik D terletak pada garis lurus OB.

Diberi bahawa OD = 3DB. Ungkapkan

\vec{O D}

, dalam sebutan

\underset{˜}{x} dan \underset{˜}{y} .

Penyelesaian:

\begin{array}{l} \vec{O B} = \vec{O A} + \vec{A B} = 3 \underset{˜}{x} + 12 \underset{˜}{y} \\ \vec{O D} = 3 \vec{D B} \\ \frac{\vec{O D}}{\vec{D B}} = \frac{3}{1} \\ \vec{O D} : \vec{D B} = 3 : 1 \\ ∴ \vec{O D} = \frac{3}{4} \vec{O B} \\ = \frac{3}{4} (3 \underset{˜}{x} + 12 \underset{˜}{y}) \\ = \frac{9}{4} \underset{˜}{x} + 9 \underset{˜}{y} \end{array}

Soalan 4:

Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi empat selari ABCD dan BED ialah satu garis lurus.

\begin{array}{l} Diberi bahawa \vec{A B} = 7 \underset{˜}{p}, \vec{A D} = 5 \underset{˜}{q} dan D E = 3 E B, \\ ungkap dalam sebutan \underset{˜}{p} dan \underset{˜}{q} . \\ (a) \vec{B D} \\ (b) \vec{E C} \end{array}

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} Bagi segi empat selari, \\ \vec{A B} = \vec{D C} = 7 \underset{˜}{p}, \vec{A D} = \vec{B C} = 5 \underset{˜}{q} . \\ \vec{B D} = \vec{B A} + \vec{A D} \\ \vec{B D} = - 7 \underset{˜}{p} + 5 \underset{˜}{q} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} \vec{D E} =3 \vec{E B} \\ \frac{\vec{E B}}{\vec{D E}} = \frac{1}{3} \to E B : D E = 1 : 3 \\ ∴ \vec{E B} = \frac{1}{4} \vec{D B} \\ = \frac{1}{4} (- \vec{B D}) \\ = \frac{1}{4} [- (- 7 \underset{˜}{p} + 5 \underset{˜}{q})] \leftarrow Dari (a) \\ = \frac{7}{4} \underset{˜}{p} + \frac{5}{4} \underset{˜}{q} \end{array}

\begin{array}{l} \vec{E C} = \vec{E B} + \vec{B C} \\ \vec{E C} = \frac{7}{4} \underset{˜}{p} + \frac{5}{4} \underset{˜}{q} + 5 \underset{˜}{q} \\ \vec{E C} = \frac{7}{4} \underset{˜}{p} + \frac{25}{4} \underset{˜}{q} \end{array}

Bab 15 Vektor

Posted on May 17, 2016 by user

4.6 Vektor, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Diberi bahawa O (0, 0), A(–3, 4) dan B(-9, 12), Cari dalam sebutan vektor unit

\underset{˜}{i} dan \underset{˜}{j}

(a)

\vec{A B}

(b) vektor unit dalam arah

\vec{A B}

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} A = (- 3, 4), dengan itu \vec{O A} = - 3 \underset{˜}{i} + 4 \underset{˜}{j} \\ B = (- 9, 12), dengan itu \vec{O B} = - 9 \underset{˜}{i} + 12 \underset{˜}{j} \\ \vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B} \\ \vec{A B} = - (- 3 \underset{˜}{i} + 4 \underset{˜}{j}) + (- 9 \underset{˜}{i} + 12 \underset{˜}{j}) \\ \vec{A B} = 3 \underset{˜}{i} - 4 \underset{˜}{j} - 9 \underset{˜}{i} + 12 \underset{˜}{j} \\ \vec{A B} = - 6 \underset{˜}{i} + 8 \underset{˜}{j} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} Magnitud | \vec{A B} |, \\ | \vec{A B} | = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(8)}^{2}} = 10 \\ Maka vektor unit dalam arah \vec{A B}, \\ \frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} = \frac{1}{10} (- 6 \underset{˜}{i} + 8 \underset{˜}{j}) = - \frac{3}{5} \underset{˜}{i} + \frac{4}{5} \underset{˜}{j} \end{array}

Soalan 2:

Diberi bahawa A(–3, 2), B(4, 6) dan C(m, n), cari nilai m dan n supaya

2 \vec{A B} + \vec{B C} = (\begin{matrix} 12 \\ - 3 \end{matrix}) .

Penyelesaian:

\begin{array}{l} A = (\begin{array}{l} - 3 \\ 2 \end{array}), B = (\begin{array}{l} 4 \\ 6 \end{array}) and C = (\begin{array}{l} m \\ n \end{array}) \\ \vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B} \\ \vec{A B} = - (\begin{array}{l} - 3 \\ 2 \end{array}) + (\begin{array}{l} 4 \\ 6 \end{array}) = (\begin{array}{l} 7 \\ 4 \end{array}) \\ \vec{B C} = \vec{B O} + \vec{O C} \\ \vec{B C} = - (\begin{array}{l} 4 \\ 6 \end{array}) + (\begin{array}{l} m \\ n \end{array}) = (\begin{array}{l} - 4 + m \\ - 6 + n \end{array}) \end{array}

\begin{array}{l} Given 2 \vec{A B} + \vec{B C} = (\begin{matrix} 12 \\ - 3 \end{matrix}) \\ 2 (\begin{array}{l} 7 \\ 4 \end{array}) + (\begin{array}{l} - 4 + m \\ - 6 + n \end{array}) = (\begin{matrix} 12 \\ - 3 \end{matrix}) \\ (\begin{array}{l} 14 - 4 + m \\ 8 - 6 + n \end{array}) = (\begin{matrix} 12 \\ - 3 \end{matrix}) \end{array}

10 + m = 12

m= 2

2 + n = –3

n= –5

Bab 14 Pengamiran

Posted on May 17, 2016 by user

3.8.2 Pengamiran, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:

Rajah di bawah menunjukkan suatu lengkung x = y² – 1 yang bersilang dengan garis lurus 3y = 2x pada titik Q.

Hitungkan isipadu janaan apabila rantau berlorek itu dikisarkan melalui 360^opada paksi-y.

Penyelesaian:

x = y² – 1 ---- (1)

3y = 2x

\begin{array}{l} x = \frac{3}{2} y \to (2) \\ Gantikan (2) ke dalam (1), \\ \frac{3}{2} y = y^{2} - 1 \end{array}

2y² – 3y – 2 = 0

(2y + 1) (y – 2) = 0

y = –½ atau y = 2

\begin{array}{l} apabila y = 2, x = \frac{3}{2} (2) = 3, Q = (3, 2) \\ I_{1} (Isipadu kon) \\ = \frac{1}{3} π r^{2} h = \frac{1}{3} π {(3)}^{2} (2) \\ = 6 π {unit}^{3} \end{array}

\begin{array}{l} I_{2} (Isipadu lengkung) \\ = π \int_{1}^{2} x^{2} d y \\ = π \int_{1}^{2} {(y^{2} - 1)}^{2} d y \\ = π \int_{1}^{2} (y^{4} - 2 y^{2} + 1) d y \\ = π {[\frac{y^{5}}{5} - \frac{2 y^{3}}{3} + y]}_{1}^{2} \\ = π [(\frac{2^{5}}{5} - \frac{2 {(2)}^{3}}{3} + 2) - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{2 {(1)}^{3}}{3} + 1)] \\ = π (\frac{46}{15} - \frac{8}{15}) \\ = \frac{38}{15} π {unit}^{3} \end{array}

\begin{array}{l} Maka isipadu janaan = I_{1} - I_{2} \\ = 6 π - \frac{38}{15} π \\ = \frac{52}{15} π {unit}^{3} \end{array}