Bab 9 Pembezaan

Posted on June 1, 2016 by user

9.8 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Lengkung y = x³ – 6x² + 9x + 3 melalui titik P (2, 5) dan mempunyai dua titik pusingan A (3, 3) dan B.

Cari

(a) kecerunan lengkung itu pada P.

(b) persamaan normal kepada lengkung itu pada P.

Penyelesaian:

(a)

y = x³ – 6x² + 9x + 3

dy/dx = 3x² – 12x + 9

di titik P (2, 5),

dy/dx = 3(2)² – 12(2) + 9 = –3

Kecerunan lengung pada titik P = –3.

(b)

Kecerunan normal pada titik P = ⅓

persamaan normal pada P (2, 5):

y – y₁= m (x - x₁)

y – 5 = ⅓ (x– 2)

3y – 15 = x – 2

3y = x + 13

(c)

Pada titik pusingan dy/dx= 0.

3x² – 12x + 9 = 0

x² – 4x + 3 = 0

(x – 1)( x – 3) = 0

x – 1 = 0 atau x – 3 = 0

x = 1 atau x = 3 (titik A)

Pada titik B:

x = 1

y = (1)³– 6(1)² + 9(1) + 3 = 7

Maka, koordinat B = (1, 7)

\begin{array}{l} Apabila x = 1, \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x - 12 \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 (1) - 12 \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 6 < 0 \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} < 0, B ialah titik maksimum . \end{array}

Soalan 4:

Rajah di atas menunjukkan sebuah kon dengan diameter 0.8m dan tinggi 0.6m. Air dituang ke dalam kon dengan kadar tetap 0.02m³s^-1. Cari kadar perubahan tinggi paras air pada ketika tinggi parasnya ialah 0.5m.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Isipadu air, I = \frac{1}{3} π j^{2} h \\ I = \frac{1}{3} π {(\frac{2}{3} h)}^{2} h \\ I = \frac{4}{27} π h^{3} \\ \frac{d I}{d h} = (3) \frac{4}{27} π h^{2} \\ \frac{d I}{d h} = \frac{4}{9} π h^{2} \end{array}

Kadar perubahan tinggi paras air pada ketika tinggi parasnya ialah 0.5m =

\frac{d h}{d t} .

\begin{array}{l} \frac{d h}{d t} = \frac{d h}{d I} \times \frac{d I}{d t} \leftarrow Petua rantai \\ \frac{d h}{d t} = \frac{9}{4 π h^{2}} \times 0.02 \leftarrow Diberi \frac{d I}{d t} = 0.02 \\ \frac{d h}{d t} = \frac{9}{4 π {(0.5)}^{2}} \times 0.02 \\ \frac{d h}{d t} = 0.0572 m s^{- 1} \end{array}

Katakan,

h = tinggi paras air

j = jejari permukaan air

I = isipadu air

\begin{array}{l} \frac{j}{h} = \frac{0.4}{0.6} \leftarrow Konsep segitiga serupa \\ \frac{j}{h} = \frac{2}{3} \\ j = \frac{2}{3} h \end{array}

Bab 9 Pembezaan

Posted on June 1, 2016 by user

9.7 Pembezaan, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Bezakan ungkapan 2x (4x² + 2x - 5) terhadap x.

Penyelesaian:

2x (4x² + 2x – 5) = 8x³ + 4x²– 10x

d/dx (8x³ + 4x² – 10x)

= 24x + 8x –10

Soalan 2:

Diberi y = \frac{x^{3} + 2 x^{2} + 1}{3 x}, cari \frac{d y}{d x} .

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = \frac{x^{3} + 2 x^{2} + 1}{3 x} \\ y = \frac{x^{3}}{3 x} + \frac{2 x^{2}}{3 x} + \frac{1}{3 x} \\ y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} x^{- 1} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} x^{- 2} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} - \frac{1}{3 x^{2}} \end{array}

Soalan 3:

Diberi y = \frac{3}{\sqrt{5 x + 1}}, cari \frac{d y}{d x}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = \frac{3}{\sqrt{5 x + 1}} = 3 {(5 x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \\ \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{2} .3 {(5 x + 1)}^{- \frac{3}{2}} (5) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{- 15}{2 {[{(5 x + 1)}^{3}]}^{\frac{1}{2}}} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{- 15}{2 \sqrt{{(5 x + 1)}^{3}}} \end{array}

Soalan 4:

\begin{array}{l} Cari \frac{d s}{d t} bagi setiap fungsi yang berikut . \\ (a) s = {(t - \frac{3}{t})}^{2} \\ (b) s = \frac{(t + 1) (3 - 5 t)}{t^{2}} \end{array}

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} s = {(t - \frac{3}{t})}^{2} \\ s = (t - \frac{3}{t}) (t - \frac{3}{t}) \\ s = t^{2} - 6 + \frac{9}{t^{2}} \\ s = t^{2} - 6 + 9 t^{- 2} \\ \frac{d s}{d t} = 2 t - 18 t^{- 3} = 2 t - \frac{18}{t^{3}} \\ \frac{d s}{d t} = 2 t - \frac{18}{t^{3}} \end{array}

(b)

\begin{array}{l} s = \frac{(t + 1) (3 - 5 t)}{t^{2}} \\ s = \frac{3 t - 5 t^{2} + 3 - 5 t}{t^{2}} \\ s = \frac{- 5 t^{2} - 2 t + 3}{t^{2}} \\ s = - 5 - \frac{2}{t} + \frac{3}{t^{2}} \\ s = - 5 - 2 t^{- 1} + 3 t^{- 2} \\ \frac{d s}{d t} = 2 t^{- 2} - 6 t^{- 3} \\ \frac{d s}{d t} = \frac{2}{t^{2}} - \frac{6}{t^{3}} \end{array}

Soalan 5:

\begin{array}{l} Diberi y = \frac{3}{5} u^{5}, dengan keadaan u = 4 x + 1. \\ Cari \frac{d y}{d x} dalam sebutan x . \end{array}

Penyelesaian:

\begin{array}{l} y = \frac{3}{5} u^{5}, u = 4 x + 1 \\ y = \frac{3}{5} {(4 x + 1)}^{5} \\ \frac{d y}{d x} = 5. \frac{3}{5} {(4 x + 1)}^{4} .4 \\ \frac{d y}{d x} = 12 {(4 x + 1)}^{4} \end{array}

Bab 1 Fungsi

Posted on June 1, 2016 by user

Bab 1 Fungsi

1.1 Hubungan

1. Hubungan memasangkan unsur-unsur dalam set A(domain) dengan unsur-unsur dalam set B mengikut definasi hubungan itu.

2. Hubungan boleh diwakilkan dalam 3 bentuk:

(a) Pasangan bertertib

(b) Gambar rajah anak panah

(c) Graf

Bab 1 Fungsi

Posted on June 1, 2016 by user

1.1a Domain and Kodomain

Dalam hubungan antara satu set dengan set yang lain, set pertama dikenali sebagai domain dan set kedua dikenali sebagai kodomain.
Unsur-unsur dalam domain dinamakan objek, manakala unsur-unsur dalam kodomain dipadankan dengan objek dinamakan imej.
Unsur-unsur dalam kodomain tidak dipadankan dengan objek adalah bukan imejnya.
Semua imej dalam kodomain boleh ditulis sebagai satu set dinamakan julat.

Contoh:

Domain = {3, 4, 5}

Kodomain = {7, 9, 12, 15}

Julat = {9, 12, 15} [7 bukan satu imej kerana ia tidak dipadankan dengan sebarang objek]

3 ialah objek bagi 9, 12 dan 15.

4 ialah object bagi 12.

5 ialah object bagi 15.

9, 12 dan 15 ialah imej bagi 3.

12 ialah imej bagi 4.

15 ialah imej bagi 5.

Bab 7 Statistik

Posted on June 1, 2016 by user

7.4.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5:

Jadual 1 menunjukkan taburan kekerapan longgokan bagi skor 80 kanak-kanak dalam suatu
pertandingan.

Jadual 1

(a) Berdasarkan Jadual 1 di atas, salin dan lengkapkan Jadual 2.

Jadual 2

(b) Tanpa melukis ogif, cari julat antara kuartil bagi taburan itu.

Penyelesaian:

(a)

(b)

Julat antara kuartil = Kuartil ketiga – Kuartil pertama

Kelas kuartil ketiga, k₃ = ¾ × 80 = 60

Maka kelas kuartil ketiga ialah kelas 60 – 69.

Kelas kuartil pertama, k₁ = ¼ × 80 = 20

Maka kelas kuartil pertama ialah kelas 30 – 39.

Julat antara kuartil

\begin{array}{l} = L_{Q_{3}} + (\frac{\frac{3 N}{4} - F}{f_{_{Q_{3}}}}) c - L_{Q_{1}} + (\frac{\frac{N}{4} - F}{f_{_{Q_{1}}}}) c \\ = 59.5 + (\frac{\frac{3}{4} (80) - 59}{10}) 10 - 29.5 + (\frac{\frac{1}{4} (80) - 7}{18}) 10 \\ = 59.5 + 1 - (29.5 + 7.22) \\ = 23.78 \end{array}

Bab 7 Statistik

Posted on June 1, 2016 by user

7.4 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Min bagi data 1, a, 2 a, 8, 9 dan 15 setelah disusun mengikut tertib menaik ialah b. Jika setiap nombor dalam data ditolak dengan 3, median baru ialah

\frac{4}{7} b

. Cari

(a) nilai a dan b,

(b) varians bagi data baru.

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} Min \bar{x} = b \\ \frac{1 + a + 2 a + 8 + 9 + 15}{6} = b \end{array}

33 + 3a = 6b

3a = 6b – 33

a = 2b – 11 ---- (1)

\begin{array}{l} Median baru = \frac{4 b}{7} \\ \frac{(2 a - 3) + (8 - 3)}{2} = \frac{4 b}{7} \\ \frac{2 a + 2}{2} = \frac{4 b}{7} \end{array}

14a + 14 = 8b

7a = 4b – 7 ---- (2)

Gantikan (1) ke dalam (2),

7(2b – 11) = 4b – 7

14b – 77 = 4b – 7

10b = 70

b = 7

Dari (1),

a = 2(7) – 11 = 3

(b)

Data baru ialah (1 – 3), (3 – 3), (6 – 3), (8 – 3), (9 – 3), (15 – 3)

Maka data baru ialah – 2, 0, 3, 5, 6, 12

\begin{array}{l} Varians, σ^{2} = \frac{\sum x^{2}}{N} - {\bar{x}}^{2} \\ σ^{2} = \frac{{(- 2)}^{2} + {(0)}^{2} + {(3)}^{2} + {(5)}^{2} + {(6)}^{2} + {(12)}^{2}}{6} \\ - {(\frac{- 2 + 0 + 3 + 5 + 6 + 12}{6})}^{2} \\ σ^{2} = \frac{218}{6} - 16 = 20.333 \end{array}

Soalan 4:

Satu set data mengandungi 20 nombor. Min bagi nombor itu ialah 8 dan sisihan piawai ialah 3.

(a) Hitungkan ∑x dan ∑x².

(b) Hasil tambah nombor tertentu ialah 72 dengan min ialah 9 dan hasil tambah kuasa dua nombor-nombor itu ialah 800, dikeluarkan dari set 20 nombor itu. Hitung min dan sisihan piawai baki nombor.

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} Min \bar{x} = \frac{\sum x}{N} \\ 8 = \frac{\sum x}{20} \\ \sum x = 160 \end{array}

\begin{array}{l} Sisihan piawai, σ = \sqrt{\frac{\sum x^{2}}{N} - {\bar{x}}^{2}} \\ 3 = \sqrt{\frac{\sum x^{2}}{N} - {\bar{x}}^{2}} \\ 9 = \frac{\sum x^{2}}{20} - 8^{2} \\ \frac{\sum x^{2}}{20} = 73 \\ \sum x^{2} = 1460 \end{array}

(b)

Hasil tambah nombor tertentu, M ialah 72 dengan min 9,

\begin{array}{l} \frac{72}{M} = 9 \\ M = 8 \end{array}

Min baki nombor

= \frac{160 - 72}{20 - 8} = 7 \frac{1}{3}

Varians baki nombor

\begin{array}{l} = \frac{1460 - 800}{12} - {(7 \frac{1}{3})}^{2} \\ = 55 - 53 \frac{7}{9} = 1 \frac{2}{9} \end{array}

Bab 7 Statistik

Posted on May 31, 2016 by user

7.4.1 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Jadual di bawah menunjukkan umur 40 orang pelancong melawat suatu tempat pelancongan.

Diberi umur median ialah 35.5, cari nilai m dan n.

Penyelesaian:

Diberi umur median ialah 35.5,

22 + m + n = 40

n = 18 – m -----(1)

Diberi umur median = 35.5, maka kelas median ialah 30 – 39.

\begin{array}{l} 35.5 = 29.5 + (\frac{20 - (4 + m)}{n}) \times 10 \\ 6 = (\frac{16 - m}{n}) \times 10 \end{array}

6n = 160 – 10m

3n = 80 – 5m -----(2)

Gantikan (1) ke dalam (2).

3 (18 – m) = 80 – 5m

54 – 3m = 80 – 5m

2m = 26

m = 13

Ganti m = 13 ke dalam (1).

n = 18 – 13

n = 5

Dengan itu, m = 13, n = 5.

Soalan 2:

Satu set markah ujian x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆ mempunyai min 6 dan sisihan piawai 2.4.

(a) Cari

(i) hasil tambah markah itu, ∑x,

(ii) hasil tambah kuasa dua markah itu, ∑x².

(b) Setiap markah itu didarab dengan 2 dan kemudian ditambah dengan 3. Cari bagi set markah baru itu,

(i) min,

(ii) varians.

Penyelesaian:

(a)(i)

\begin{array}{l} Diberi min = 6 \\ \frac{Σ x}{6} = 6 \\ Σ x = 36 \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} Diberi σ = 2.4 \\ σ^{2} = {2.4}^{2} \\ \frac{Σ x^{2}}{n} - {\bar{X}}^{2} = 5.76 \\ \frac{Σ x^{2}}{6} - 6^{2} = 5.76 \\ \frac{Σ x^{2}}{6} = 41.76 \\ Σ x^{2} = 250.56 \end{array}

(b)(i)

Markah min baru

= 6(2) + 3

= 15

(b)(ii)

Varians bagi set markah asal

= 2.4²= 5.76

Varians bagi set markah baru

= 2² (5.76)

= 23.04

Bab 7 Statistik

Posted on May 31, 2016 by user

7.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 3:

Min bagi lima nombor ialah

\sqrt{p}

. hasil tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah 120 dan sisihan piawai ialah 2q. Ungkap p dalam sebutan q.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Min \bar{x} = \frac{\sum x}{N} \\ \sqrt{p} = \frac{\sum x}{5} \\ \sum x = 5 \sqrt{p} \\ Sisihan piawai, σ = \sqrt{\frac{\sum x^{2}}{N} - {\bar{x}}^{2}} \\ 2 q = \sqrt{\frac{120}{5} - {(\sqrt{p})}^{2}} \\ 4 q^{2} = 24 - p \\ p = 24 - 4 q^{2} \end{array}

Soalan 4:

Satu set integer positif terdiri daripada 1, 4 dan p. Varians bagi set integer ini ialah 6. Cari nilai p.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Varians, σ^{2} = \frac{\sum x^{2}}{N} - {\bar{x}}^{2} \\ 6 = \frac{1^{2} + 4^{2} + p^{2}}{3} - {(\frac{1 + 4 + p}{3})}^{2} \\ 6 = \frac{17 + p^{2}}{3} - {(\frac{5 + p}{3})}^{2} \\ 6 = \frac{17 + p^{2}}{3} - [\frac{25 + 10 p + p^{2}}{9}] \\ 6 = \frac{51 + 3 p^{2} - 25 - 10 p - p^{2}}{9} \end{array}

2p² – 10p + 26 = 54

2p² – 10p + 28 = 0

p² – 5p + 14 = 0

(p – 7)(p + 2) = 0

p= –2 (tidak diterima)

Maka p = 7

Bab 7 Statistik

Posted on May 31, 2016 by user

7.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Sisihan piawai bagi lima nombor ialah 6 dan hasil tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah 260. Cari min bagi set nombor itu.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Diberi σ = 6, Σ x^{2} = 260. \\ σ = 6 \\ \sqrt{\frac{Σ x^{2}}{n} - {\bar{X}}^{2}} = 6 \\ \frac{Σ x^{2}}{n} - {\bar{X}}^{2} = 36 \\ \frac{260}{5} - {\bar{X}}^{2} = 36 \\ {\bar{X}}^{2} = 16 \\ \bar{X} = \pm 4 \\ ∴ min = \pm 4 \end{array}

Soalan 2:

Kedua-dua min dan sisihan piawai bagi set nombor 1, 3, 7, 15, m dan n ialah 6. Cari

(a) nilai m+ n,

(b) nilai yang mungkin bagi n.

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} Diberi min = 6 \\ \frac{Σ x}{n} = 6 \\ \frac{Σ x}{6} = 6 \end{array}

1 + 3 + 7 + 15 + m + n= 36

26 + m + n = 36

m + n = 10

(b)

\begin{array}{l} σ = 6 \\ σ^{2} = 36 \\ \frac{Σ x^{2}}{n} - {\bar{X}}^{2} = 36 \\ \frac{1 + 9 + 49 + 225 + m^{2} + n^{2}}{6} - 6^{2} = 36 \\ \frac{284 + m^{2} + n^{2}}{6} - 36 = 36 \\ \frac{284 + m^{2} + n^{2}}{6} = 72 \end{array}

284 + m² + n² = 432

m² + n² = 148

Daripada (a), m = 10 – n

(10 – n)² + n² = 148

100 – 20n + n²+ n² = 148

2n² – 20n – 48 = 0

n² – 10n – 24 = 0

(n – 6)(n + 4) = 0

n = 6 atau n = –4

Bab 7 Statistik

Posted on May 31, 2016 by user

7.1c Median

1. Median ialah nilai yang terletak di tengah-tengah sesuatu set data setelah set data itu disusun mengikut tertib tertentu.

(A) Data Tak Terkumpul

Median, m = C e r a p a n_{\frac{n + 1}{2}}

Contoh 1:

Cari median bagi setiap set data yang berikut.

(a) 15, 18, 21, 25, 20, 18

(b) 13, 6, 9, 17, 11

Penyelesaian:

(a)

Susun data mengikut tertib menaik

15, 18, 18, 20, 21, 25

\begin{array}{l} Median \\ = C e r a p a n_{\frac{n + 1}{2}} = C e r a p a n_{\frac{6 + 1}{2}} = C e r a p a n_{3 \frac{1}{2}} \\ = \frac{18 + 20}{2} = 19 \end{array}

(b)

6, 9, 11, 13, 17

\begin{array}{l} Median \\ = C e r a p a n_{\frac{n + 1}{2}} = C e r a p a n_{\frac{5 + 1}{2}} = C e r a p a n_{3} \\ = 11 \end{array}

(B) Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)

Median, m = C e r a p a n_{\frac{n + 1}{2}}

Contoh 2:

Jadual kekerapan yang berikut menunjukkan markah ujian biologi bagi 40 orang pelajar.

Hitung markah median.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Median \\ = C e r a p a n_{\frac{n + 1}{2}} = C e r a p a n_{\frac{40 + 1}{2}} = C e r a p a n_{20 \frac{1}{2}} \\ = 60 \leftarrow (C e r a p a n ke- 20 \frac{1}{2} ialah 60 markah) \end{array}

(C) Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)

m = median

L = sempadan bawah kelas median

N = jumlah kekerapan

F = kekerapan longgokan sebelum kelas median

f_m = kekerapan kelas median

c = saiz kelas median (Sempadan atas kelas – sempadan bawah kelas)

1. Median boleh ditentukan daripada jadual kekerapan longgokan dan ogif.

Contoh 3:

Jadual yang berikut menunjukkan taburan skor yang diperoleh 100 orang pelajar tingkatan 4 dalam satu pertandingan.

Cari median.

Penyelesaian:

Kaedah 1: guna rumus

Langkah 1:

\begin{array}{l} Kelas median \\ = C e r a p a n_{\frac{n}{2}} = C e r a p a n_{\frac{100}{2}} = C e r a p a n_{50} \\ Maka kelas median berada di 20 - 24 \end{array}

Langkah 2:

\begin{array}{l} m = L + (\frac{\frac{N}{2} - F}{f_{m}}) c \\ m = 19.5 + (\frac{\frac{100}{2} - 33}{26}) 5 \\ m = 19.5 + 3.269 = 22.77 \end{array}