Bab 13 Garf Fungsi II

Posted on by
2.1 Graf Fungsi (Bahagian 2)

(B) Bentuk graf fungsi.
1.      Fungsi Linear: y = mx + c
Kuasa tertinggi bagi x ialah 1.
(a)  y = mx + c, m > 0

(b)  y = mx + c, m < 0



2.      Fungsi Kuadratik: y = ax2 + bx + c
Kuasa tertinggi bagi x ialah 2.
(a)  y = ax2 + bx + c, a > 0



(b)  y = ax2 + bx + c, a < 0



3.      Fungsi Kubik: y = ax3 + bx + c
Kuasa tertinggi bagi x ialah 3.
(a)  y = ax3 + bx + c, a > 0


(b)  y = ax3 + bx + c, a < 0



4.      Fungsi Salingan: y= a x    
Kuasa tertinggi bagi x ialah –1.





Bab 8 Bulatan III

Posted on by

8.3.1 Tangen Sepunya (Contoh Soalan)
 
Contoh 1:


Dalam rajah di atas, O dan F ialah pusat bagi dua bulatan yang bersilang. ABG dan CDG ialah tangen-tangen sepunya kepada bulatan-bulatan itu. Cari nilai
(a)  x, (b) y, (c) z
 
Penyelesaian:
(a)
Dalam ∆ BFG,
∠BFG = ½× 56o = 28o
∠FBG= 90o ← (jejari berserenjang dengan tangen)
xo+ 28o + 90o = 180o
xo= 180o – 118o
xo= 62o
x = 62
 
(b)
∠AOF= xo = 62o ← (AO // BF)
yo= 2 × 62o
yo= 124o
y = 124
 
(c)
Sudut luaran bagi AOC = 360o – 124o = 236o
∠EOC = ½ × 236o = 118o
zo= (180o – 118o) × ½  ← (∆ EOC ialah segitiga kaki sama, ∠OEC = ∠OCE)
zo= 31o
z = 31

Bab 8 Bulatan III

Posted on by

Soalan 5:


Dalam rajah di atas, PAQ ialah tangen kepada bulatan ABCD di titik A. AEC dan BED ialah garis lurus. Nilai bagi y ialah
 
Penyelesaian:
∠ABD = ∠ACD = 40o
∠ACB = ∠PAB = 60o
y = 180o  – ∠ACB – ∠CBD – ∠ABD
y = 180o  – 60o – 25o– 40o = 55o



Soalan 6:


Dalam rajah di atas, KPL ialah tangen kepada bulatan PQRS di titik P. Nilai bagi x ialah
 
Penyelesaian:
∠PQS = ∠SPL= 55o
∠SPQ = 180o  – 30o – 55o= 95o
Dalam sisi empat kitaran,
∠SPQ + ∠SRQ = 180o
95o+ xo = 180o
x = 85o



Soalan 7:


Dalam rajah di atas, APB ialah tangen kepada bulatan PQR di titik P. QRB ialah garis lurus.
Nilai bagi x ialah
 
Penyelesaian:
∠PQR = ∠RPB= 45o
∠QPR = (180o  – 45o) ÷ 2 = 67.5o
∠PQR + ∠BPQ + xo = 180o
45o+ (67.5o + 45o) + xo = 180o
x = 22.5o



Soalan 8:
 

Rajah di atas menunjukkan dua bulatan berpusat di O dan V. AB ialah tangen sepunya kepada bulatan-bulatan itu. OPRV ialah garis lurus. Panjang PR, dalam cm, ialah

Penyelesaian:


cos 86 o = O M O V 0.070 = 1 O V O V = 1 0.070 O V = 14.29 c m ∴ P R = 14.29 − 5 − 4 = 5.29 c m

Bab 8 Bulatan III

Posted on by

Soalan 1:


Dalam rajah di atas, FAD ialah tangen kepada bulatan berpusat O. AEB dan OECD ialah garis lurus. Nilai bagi y ialah
 
Penyelesaian:
∠OAD = 90o
∠AOD= 180o  – 90o – 34o= 56o
yo= 56o  ÷ 2 = 28o


Soalan 2:


Dalam rajah di atas, PQR ialah tangen kepada bulatanQSTU di Q dan TUPV ialah garis lurus. Nilai bagi y ialah

Penyelesaian:
∠ Q T S = ∠ R Q S = 40 o ∠ S Q T = ∠ Q T S = 40 o ( Segitiga kaki sama ) ∠ P Q T = 180 o – 40 o – 40 o = 100 o ∠ T P Q = 180 o – 115 o = 65 o y o = 180 o – 100 o – 65 o = 1 5 o


Soalan 3:


Dalam rajah di atas, ABC ialah tangen kepada bulatan BDE berpusat O, di B.
Cari nilai bagi y.
 
Penyelesaian:
∠ B O D = 2 × ∠ B E D = 2 × 35 o = 70 o ∠ O D B = ∠ O B D = ( 180 o − 70 o ) ÷ 2 = 55 o ∠ E D B = ∠ E B A = 75 o y o + ∠ O D B = 75 o y o + 55 o = 75 o y = 20


Soalan 4:

Dalam rajah di atas, ABCD ialah tangen kepada bulatan CEF di titik C. EGC ialah garis lurus. Nilai bagi y ialah

Penyelesaian:
∠ C E F = ∠ D C F = 70 ∘ ∠ A E G + 70 ∘ + 210 ∘ = 360 ∘ ∠ A E G = 80 ∘ Dalam sisi empat kitaran A B G E , ∠ A B G + ∠ A E G = 180 ∘ y ∘ + 80 ∘ = 180 ∘ y = 100

Bab 15 Matriks

Posted on by
4.10 SPM Practis (Soalan Panjang)

Soalan 1:
Diberi bahawa matriks A = ( 3 −1 5 −2 )  
(a)  Cari matriks songsang bagi A.
(b)  Tulis persamaan linear serentak berikut dalam persamaan matriks:
      3u – v = 9
      5u – 2v = 13
Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai u dan nilai v.

Penyelesaian:
(a) A −1 = 1 3( −2 )−( 5 )( −1 ) ( −2 1 −5 3 ) =−1( −2 1 −5 3 )=( 2 −1 5 −3 )

(b) ( 3 −1 5 −2 )( u v )=( 9 13 )               ( u v )=−1( −2 1 −5 3 )( 9 13 )               ( u v )=−1( ( −2 )( 9 )+( 1 )( 13 ) ( −5 )( 9 )+( 3 )( 13 ) )               ( u v )=−1( −5 −6 )               ( u v )=( 5 6 ) ∴u=5,v=6


Soalan 2:
Diberi bahawa matriks A = ( 2 −5 1 3 )  dan matriks B = m( 3 k −1 2 )  dengan keadaan AB = ( 1 0 0 1 )  
(a)  Cari nilai m dan nilai k.
(b)  Tulis persamaan linear serentak berikut dalam persamaan matriks:
      2u – 5v = –15
      u+ 3v = –2
Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai u dan nilai v.

Penyelesaian:
(a)
AB= ( 1 0 0 1 ) , Songsang bagi matriks A ialah B.
m= 1 ( 2 )( 3 )−( −5 )( 1 ) = 1 11  
k= 5

(b)
( 2 −5 1 3 )( u v )=( −15 −2 )               ( u v )= 1 11 ( 3 5 −1 2 )( −15 −2 )               ( u v )= 1 11 ( ( 3 )( −15 )+( 5 )( −2 ) ( −1 )( −15 )+( 2 )( −2 ) )               ( u v )= 1 11 ( −55 11 )               ( u v )=( −5 1 ) ∴u=−5,v=1

Bab 15 Matriks

Posted on by
Soalan 3:
Diberi bahawa Q( 3 2 6 5 )=( 1 0 0 1 ), dengan keadaan Q ialah matriks 2 × 2.
(a)  Cari matriks Q.
(b)  Tulis persamaan linear serentak berikut dalam persamaan matriks:
      3u + 2v = 5
      6u + 5v = 2
Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai u dan nilai v.

Penyelesaian:
(a) Q= ( 3 2 6 5 ) −1 Q= 1 3( 5 )−2( 6 ) ( 5 −2 −6 3 ) Q= 1 3 ( 5 −2 −6 3 ) Q=( 5 3 − 2 3 −2 1 )

(b) ( 3 2 6 5 )( u v )=( 5 2 )               ( u v )= 1 3 ( 5 −2 −6 3 )( 5 2 )               ( u v )= 1 3 ( ( 5 )( 5 )+( −2 )( 2 ) ( −6 )( 5 )+( 3 )( 2 ) )               ( u v )= 1 3 ( 21 −24 )               ( u v )=( 7 −8 ) ∴u=7,v=−8



Soalan 4:
Diberi bahawa Q( 3 −2 5 −4 )=( 1 0 0 1 ), dengan keadaan Q ialah matriks 2 × 2.
(a)  Cari matriks Q.
(b)  Tulis persamaan linear serentak berikut dalam persamaan matriks:
      3x – 2y = 7
      5x – 4y = 9
Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai x dan nilai y.

Penyelesaian:
(a) Q= 1 3( −4 )−( 5 )( −2 ) ( −4 2 −5 3 ) =− 1 2 ( −4 2 −5 3 ) =( 2 −1 5 2 − 3 2 )

(b) ( 3 −2 5 −4 )( x y )=( 7 9 )               ( x y )=− 1 2 ( −4 2 −5 3 )( 7 9 )               ( x y )=− 1 2 ( ( −4 )( 7 )+( 2 )( 9 ) ( −5 )( 7 )+( 3 )( 9 ) )               ( x y )=− 1 2 ( −10 −8 )               ( x y )=( 5 4 ) ∴x=5,  y=4

Bab 15 Matriks

Posted on by
4.9 SPM Practis (Soalan Pendek)

Soalan 1:
( 1 4 6 2 )+3( 2 0 4 −3 )−( −3 0 −2 −5 )=

Penyelesaian:
( 1 4 6 2 )+3( 2 0 4 −3 )−( −3 0 −2 −5 ) =( 1 4 6 2 )+( 6 0 12 −9 )−( −3 0 −2 −5 ) =( 7 4 18 −7 )−( −3 0 −2 −5 ) =( 7−(−3) 4−0 18−( −2 ) −7−(−5) ) =( 10 4 20 −2 )


Soalan 2:
Cari nilai mdalam persamaan matriks berikut:
( 9 −4 5 0 )+ 1 2 ( 8 m 6 −10 )=( 13 −7 −2 1 )

Penyelesaian:
( 9 −4 5 0 )+ 1 2 ( 8 m 6 −10 )=( 13 −7 −2 1 ) −4+ 1 2 m=−7 1 2 m=−3 m=−6


Soalan 3:
Diberi ( 2x 3y )−4( −2 3 )=( −2 6 ) Cari nilai x dan y.

Penyelesaian:
2x + 8 = –2
2x = –10
x= –5

3y – 12 = 6
3y = 18
y= 6 


Soalan 4:
Diberi bahawa persamaan matriks 3(6   m) + n(3   4) = (12   7),
Cari nilai m+ n.

Penyelesaian:
3(6   m) + n(3   4) = (12   7)
18 + 3n = 12
3n = –6
n= –2

3m + 4n = 7
3m + 4(–2) = 7
3m = 15
m= 5

Maka m + n = 5 + (–2) = 3

Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

Posted on by
2.4 Punca Persamaan Kuadratik
1.      Punca persamaan kuadratik ialah nilai bagi anu yang memuaskan persamaan kuadratik itu.
2.      Punca persamaan juga dikenali sebagai penyelesaianbagi persamaan tertentu.
3.      Menyelesaikan persamaan kuadratik dengan kaedah pemfaktoran.
Langkah 1: Tulis persamaan kuadratik dalam bentuk am ax2+ bx + c = 0.
Langkah 2: Faktorkan ungkapan kuadratik ax2 + bx + c= 0 dalam bentuk (mx + p) 
(nx+ q) = 0.
Langkah 3: Nyatakan mx + p= 0 atau nx + q = 0.
Langkah 4: Selesaikan dua persamaan dalam langkah 3.

 mx+p=0      atau      nx+q=0     x=− p m       atau          x=− q n


Contoh 1:
Selesaikan persamaan kuadratik, 2 x 2 −5 3 =3x 
Penyelesaian:
2 x 2 −5 3 =3x

2x2– 5 = 9x
2x2– 9x – 5 = 0
(x – 5) (2x + 1) = 0
x – 5 = 0   atau   2x + 1 = 0
x = 5                         x = – ½


Contoh 2:
Selesaikan persamaan kuadratik, 4x2 – 12 = –13x.
Penyelesaian:
4x2– 12 = –13x
4x2+ 13x – 12 = 0
(4x – 3) (x + 4) = 0
4x – 3 = 0   atau   x + 4 = 0
x= ¾                    x = – 4


Contoh 3:
Selesaikan persamaan kuadratik, 5x2 = 3(x + 2) – 4.
Penyelesaian:
5x2= 3(x + 2) – 4
5x2= 3x + 6 – 4
5x2 – 3x – 2 = 0
(x – 1) (5x + 2) = 0
x – 1 = 0   atau   5x + 2 = 0
x= 1                      x=− 2 5         


Contoh 4:
Selesaikan persamaan kuadratik, 3x(x−3) 4 =−x+3.
Penyelesaian:
3x(x−3) 4 =−x+3

3x2– 9x = –4x + 12
3x2 – 5x – 12 = 0
(x – 3) (3x + 4) = 0
x – 3 = 0   atau   3x + 4 = 0
x = 3                         x=− 4 3       


Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

Posted on by
2.3 Persamaan Kuadratik
1.      Persamaan Kuadratik adalah persamaan yang memenuhi syarat-syarat berikut:
           (a)  Ia mengandungi tatatanda kesamaan, ‘=’
           (b)  Ia melibatkan hanya satu anu.
           (c)  Kuasa tertinggi anu terlibat ialah 2.

Contoh,


2.      Bentuk am bagi sesuatu persamaan kuadratik boleh ditulis sebagai:
           (a)  ax2 + bx + c = 0 ,
di mana a ≠ 0, b ≠ 0 dan c ≠ 0,
contoh: 4x2 + 13x – 12 = 0

           (b)  ax2 + bx = 0 ,
di mana a ≠ 0, b ≠ 0 tetapi c = 0,
contoh: 7x2 + 9x = 0

           (c)  ax2 + c = 0 ,
di mana a ≠ 0, c ≠ 0 tetapi b = 0,
contoh: 9x2 – 3 = 0

Contoh 1:
Tulis setiap persamaan kuadratik berikut dalam bentuk am.
(a)  x2 – 5x = 12
(b)  –2 + 5x2 – 6x = 0
(c)  7p2 – 3p = 4p2 + 4p – 3
(d)  (x – 2)(x + 6) = 0
(e)  3 – 13x = 4 (x2 + 2)
(f) 2−y= 1−3y y (g)  p 4 = 2 p 2 −3 10 (h)  y 2 +5 4 = y−1 2 (i)  4p 7 =p(7p−6)

Penyelesaian:
Bentuk am bagi sesuatu persamaan kuadratik ialah ax2 + bx + c = 0
(a)  x2 – 5x = 12
x2 – 5x -12 = 0

(b)  –2 + 5x2 – 6x = 0
5x2 – 6x –2 = 0

(c)  7p2 – 3p = 4p2 + 4p – 3
7p2 – 3p – 4p2 – 4p + 3 = 0
3p2 – 7p  + 3 = 0

(d)  (x – 2)(x + 6) = 0
x2 + 6x – 2x – 12 = 0
x2 + 4x – 12 = 0

(e)  3 – 13x = 4 (x2 + 2)
3 – 13x = 4x2 + 8
–4x2 – 8 + 3 – 13x = 0
–4x2 – 13x – 5 = 0
     4x2 + 13x + 5 = 0

(f) 2−y= 1−3y y
2y – y2 = 1 – 3y
2y – y2 – 1 + 3y = 0
 – y2 + 3y – 1 = 0
y2 – 3y + 1 = 0

  (g)  p 4 = 2 p 2 −3 10

10p = 8p2 – 12
–8p2 + 10p +12 = 0
8p2 – 10p – 12 = 0

(h)  y 2 +5 4 = y−1 2

2y2 + 10 = 4y – 4
2y2 – 4y + 10 + 4 = 0
2y2 – 4y + 14 = 0

(i)  4p 7 =p(7p−6)
4p = 7p (7p – 6)
4p = 49p2 – 42p
– 49p2 + 42p + 4p  = 0
49p2 – 46p = 0


Bab 2 Ungkapan dan Persamaan Kuadratik

Posted on by
2.1 Ungkapan Kuadratik (Contoh Soalan)

Contoh 1:
Bentukkan suatu ungkapan kuadratik dengan mendarab setiap yang berikut.
(a)  (6p – 2)(2p – 1)
(b)  (m + 5)(4 – 7m)
(c)  (x + 2) (2x – 3)

Penyelesaian:
(a)  (6p – 2)(2p – 1)
= (6p)(2p) + (6p)( –1) + (–2)(2p) + (–2)( –1)
= 12p2– 6p – 4p + 2
= 12p2– 10p + 2

(b)  (m + 5)(4 – 7m)
= (m)(4) + (m)(-7m) + (5)(4) + (5)(-7m)
= 4m – 7m2 + 20 – 35m
= –7m2– 31m + 20

(c)  (x + 2) (2x – 3)
= (x)(2x) + (x)( –3) + (2)(2x) + (2)( –3)
= 2x2– 3x + 4x – 6
= 2x2 + x - 6