Bab 3 Set

3.4 SPM Practis (Soalan Panjang)

Soalan 1:
Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set X, set Y dan set Z dengan keadaan set semesta, ξ=XYZ
Pada rajah di ruang jawapan, lorekkan
(a) X'Y, (b) ( XY' )Z
Penyelesaian:
(a)  X’ ∩ Y menunjukkan persilangan rantau di luar set X dengan rantau set Y.

(b)   
·        Cari rantau (XY')
·        (XY') bermaksud kesatuan rantau X dengan rantau di luar Y.
·        Persilangan rantau ini dengan rantau Z untuk membentuk (XY')Z 



Soalan 2:
Gambar rajah Venn di ruang jawapan menunjukkan set P, set Q dan set R dengan keadaan set semesta, ξ=PQR
Pada rajah di ruang jawapan, lorekkan
(a)  Q R,
(b) (P'R)Q.
Penyelesaian:
(a)  QR menunjukkan persilangan rantau Q dengan rantau R.

(b)   
·        Cari rantau (P’ ∩ R).
·        (P’ ∩ R) bermaksud persilangan rantau di luar Pdengan rantau R.
·        Kesatuan rantau ini dengan rantau Q untuk membentuk (P'R)Q.


Posted in Set

Bab 3 Set

3.4 SPM Practis (Soalan Pendek)

Soalan 1:
Senaraikan semua subset bagi set P = {r, s}.

Penyelesaian:
Terdapat 2 unsur dalam set P, jadi bilangan subset bagi set P ialah 2n = 22= 4.
Set P = {r, s}
Maka subset bagi set P = {r}, {s}, {r, s}, { }


Soalan 2:

Rajah di atas menunjukkan gambar rajah Venn dengan set semesta, ξ = U  P. Senaraikan semua subset bagi set P.

Penyelesaian:
Terdapat 3 unsur dalam set P, jadi bilangan subset bagi set P ialah 2n = 23 = 8.
Set P = {2, 3, 5}
Maka subset bagi set P = { }, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}.


Soalan 3:
Diberi bahawa set semesta, ξ = {x : 30 ≤ x < 42, x ialah integer} dan set P= {x : x ialah nombor dengan keadaan hasil tambah dua digitnya ialah nombor genap}.
Carikan set P’.

Penyelesaian:
ξ = {30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41}
P = {31, 33, 35, 37, 39, 40}

Maka P’= {30, 32, 34, 36, 38, 41}


Soalan 4:
Diberi bahawa set semesta, ξ = {x : 3 < x ≤ 16, x ialah integer},
Set A = {4, 11, 13, 16},
Set B = {x : x ialah nombor ganjil} dan
Set C = {x : x ialah gandaan bagi 3}.
Unsur bagi set (AC)'B  ialah

Penyelesaian:
ξ = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}
A = {4, 11, 13, 16}
B = {5, 7, 9, 11, 13, 15}
C = {6, 9, 12, 15}

(AC)'={5, 6, 7, 8, 10, 14} Maka (AC)'B={5, 7}

Posted in Set

Bab 3 Set

3.3b Kesatuan Set
1.      Kesatuan dua set, A dan B, diwakilkan sebagai A U B, ialah satu set yang unsur-unsurnya terdiri daripada semua unsur dalam set A atau set B atau kedua-dua set itu.
Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan A U B:



2.      Kesatuan tiga set, A, B dan C, diwakilkan sebagai A U B U C, ialah satu set yang unsur-unsurnya terdiri daripada semua unsur dalam set A, set B atau set C atau ketiga-tiga set itu.
Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan A U B U C:



Contoh 1:
Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan bilangan unsur dalam set semesta, ξ, set P , set Q dan set R .

Diberi n(Q) = n (P U R)’, cari n (ξ).

Penyelesaian:
n(Q) = n (P U R)’
2x + 6 + 1 + 5 = 2x + 2x
2x + 12 = 4x
2x = 12
x= 6

n(ξ) = 2x + 2x + x + 7 + 6 + 1 + 5
        = 5x + 19
        = 5(6) + 19
        = 30 + 19
        = 49

Contoh 2:
Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan set semesta, ξ = {Pelajar-pelajar tingkatan 3}, set A = {Pelajar-pelajar yang memain piano} dan set B = { Pelajar-pelajar yang memain biola}.

Diberi n(ξ) = 60, n(A) = 25, n(B) = 12 dan n(AB) = 8, cari bilangan pelajar yang tidak memain kedua-dua jenis alat muzik.

Penyelesaian:
Pelajar-pelajar yang tidak memain kedua-dua jenis alat muzik adalah diwakilkan oleh rantau berlorek, (A U B)’  di bawah .


Bilangan pelajar yang tidak memain kedua-dua jenis alat muzik
= n(A U B)
= 60 – 17 – 8 – 4
= 31

Posted in Set

Bab 3 Set

3.3 Operasi ke Atas Set

3.3a Persilangan Set
1.      Persilangan dua set, P dan Q, diwakilkan sebagai PQ, ialah satu set yang unsur-unsurnya terdiri daripada semua unsur sepunya set P dan set Q.
2.      Persilangan bagi set P, set Q dan set R, diwakilkan sebagai PQ R, ialah satu set yang unsur-unsurnya terdiri daripada semua unsur sepunya set P, set Q dan set R.
3.      Mewakilkan persilangan set dengan menggunakan gambar rajah Venn seperti berikut.
      (a)   PQ

      (b) QP, maka PQ=Q


      (c)   PQ = ϕ
            Tidak ada persilangan antara set P dan set Q.


      (d)  PQ R


Contoh 1:
Diberi  A = {3, 4, 5, 6, 7}, B = {4, 5, 7, 8, 9, 12} dan C = {3, 5, 7, 8, 9, 10}.
(a)  Cari A B C.
(b)  Lukis sebuah gambar rajah Venn untuk mewakilkan A B C.
Penyelesaian:
(a)  A B C = {5, 7}

(b)   

4.      Set pelengkap bagi persilangan dua set, P dan Q, diwakilkan sebagai (PQ)’, ialah satu set yang mengandungi semua unsur dalam set semesta, ξ, yang bukan unsur PQ.
5.      Set pelengkap (PQ)’ diwakilkan oleh rantau berlorek yang ditunjukkan dalam gambar rajah Venn di bawah.




Posted in Set

Bab 3 Set

3.2c Set Pelengkap
1.      Set pelengkap bagi set B dalam set semesta, ξ ialah satu set yang mengandungi semua unsur dalam set semesta yang bukan unsur B.
2.      Set pelengkap bagi set B diwakilkan dengan menggunakan symbol B’.
Contoh:
Jika ξ = {17, 18, 19, 20, 21, 22, 23} dan
B= {17, 20, 21}
B’ = {18, 19, 22, 23}


3.      Gambar rajah Venn di bawah menunjukkan hubunganantara B, B’dan set semesta, ξ.


Set pelengkap bagi set B diwakilkan oleh rantau berlorek dalam set semesta, ξ, tetapi di luar set B.

Posted in Set

Bab 3 Set

3.2b Set Semesta
1.      Set semesta ialah set yang mengandungi semua unsur yang menjadi bahan perbincangan.
2.      Set semesta diwakilkan dengan menggunakan symbol, ξ.

Contoh:
Diberi set semesta, ξ = {nombor bulat kurang daripada 9}, A = {nombor perdana} dan B = {gandaan bagi 4}.
      (a)  Senaraikan semua unsur bagi set A dan set B.
      (b)  Lukiskan gambar rajah Venn untuk mewakilkan hubungan antara set-set yang berikut.
(i)    ξ dan A
(ii) ξ, A dan B

Penyelesaian:
(a)  ξ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A= {2, 3, 5, 7}
B= {4, 8}

(b)(i)

(b)(ii)


Posted in Set

Bab 3 Set

3.2 Subset, Set Semesta, dan Set Pelengkap

3.2a Subset
1.      Set A ialah subset bagi set B jika semua unsur dalam set Aterdapat dalam set B.
2.      Hubungan ‘set A ialah subset bagi set B’ ditulis sebagai AB.
Contoh:
A= {11, 12, 13} dan B = {10, 11, 12, 13, 14}
Semua unsur set Aterdapat dalam set B.
Oleh itu AB.

3.      AB boleh digambarkan dengan menggunakan gambar rajah Venn berikut:


4.      Simbol  diguna untuk menandakan ‘bukan subset kepada’.
5.      Set kosong adalah subsetbagi semua set.
Misalnya, ϕA

6.      Set itu sendiri adalah subset.
Misalnya, BB

7.      Bilangan unsur, n bagi suatu subset adalah 2n.
Misalnya, jika A = {3, 7}
Maka n = 2, bilangan subset bagi set A = 22 = 4
Semua subset bagi set A ialah { }, {3}, {7} and {3, 7}.


Posted in Set

Bab 5 Garis Lurus

5.7 SPM Praktis (Soalan Panjang 2)
Soalan 4:


Dalam rajah di atas, PQRS ialah suatu segi empat selari. Cari
(a)  kecerunan SR,
(b)  persamaan QR,
(c)  pintasan-x bagi QR .

Penyelesaian:
(a)
PQadalah selari dengan SR, kecerunan PQ = kecerunan SR.
Kecerunan  S R = 6 3 = 2

(b) Kecerunan QR= 86 50 = 2 5 Gantikan m= 2 5  dan R (5,8) ke dalam y=mx+c 8= 2 5 ( 5 )+c c=6 Oeh itu, persamaan QR: y= 2 5 x+6

(c) Pada pintasan-xy=0 0= 2 5 x+6 x=15 Oleh itu, pintasan-x bagi QR=15.


Soalan 5:


Dalam rajah di atas, suatu garis lurus 5x +7y + 35 = 0 bersilang pada paksi-x di Rdan paksi-y di S. Tentukan
(a)  Kecerunan garis lurus RS.
(b)  pintasan-x bagi garis lurus RS.
(c)  Jarak RS.

Penyelesaian:
(a) 5x+7y+35=0 7y=5x35 y= 5 7 x5  Kecerunan garis lurus RS= 5 7 .

(b) Pada pintasan-xy=0 0= 5 7 x5 5 7 x=5 x=7  pintasan-x garis lurus RS=7.

(c) Titik R=( 7,0 ) dan titik S=( 0,5 ) Jarak RS= ( 70 ) 2 + ( 0( 5 ) ) 2                 = 49+25                  = 74  unit

Soalan 6:


Dalam rajah di atas, O ialah asalan pada satah Cartesan. AOB ialah garis lurus dan OA= AC. Cari
(a)  Koordinat bagi titik C.
(b)  nilai h.
(c)  persamaan BC.

Penyelesaian:
(a)   
Koordinat xbagi titik C = –3 × 2 = –6
Oleh itu, koordinat bagi titik C = (–6, 0).

(b) Kecerunan AO= kecerunan OB 0( 4 ) 0( 3 ) = h0 60 4 3 = h 6 h=8

(c) Kecerunan BC= 80 6( 6 ) = 8 12 = 2 3 Pada titik C( 6,0 ), 0= 2 3 ( 6 )+c c=4 Persamaan BC ialah, y= 2 3 x+4


Bab 5 Garis Lurus

5.7 SPM Praktis (Soalan Panjang)

Soalan 1:
Rajah di bawah menunjukkan sebuah trapezium, ABCD yang dilukis pada satah Cartesan. . BC selari dengan AD dan O ialah asalan. Persamaan garis lurus BC ialah 3y = kx + 7 dan persamaan garis lurus AD ialah y= 1 2 x+3.

Cari
(a)  nilai k,
(b)  pintasan-x bagi garis lurus BC.

Penyelesaian:
(a)
Persamaan BC:
3y = kx + 7
y= k 3 x+ 7 3 Kecerunan BC= k 3 Persamaan AD: y= 1 2 x+3 Kecerunan AD= 1 2

Kecerunan BC= kecerunan AD k 3 = 1 2 k= 3 2

(b)
Persamaan, 3y= 3 2 x+7
Pada pintasan-x, y = 0
3(0)= 3 2 x+7 3 2 x=7 x= 14 3
Oleh itu, pintasan-x bagi garis lurus BC = 14 3



Soalan 2:
Dalam rajah di bawah, O ialah asalan. Garis lurus MNadalah selari dengan garis lurus OK.


Cari
(a)  persamaan bagi garis lurus MN,
(b)  pintasan-x bagi garis lurus MN.

Penyelesaian:
(a)  Kecerunan MN = kecerunan OK
= 50 30 = 5 3
Gantikan = 5/3 dan (–2, 5) ke dalam y = mx+ c
5= 5 3 ( 2 )+c
15 = –10 + 3c
3c = 25
c= 25/3
Oleh itu, persamaan MN: y= 5 3 x+ 25 3

(b)   
Pada pintasan-x, y = 0
0= 5 3 x+ 25 3 5 3 x= 25 3
5x = –25
x= –5
Oleh itu, pintasan-x bagi MN = –5.


Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus JK dan garis lurus ST dilukis pada satah Cartesan. JKadalah selari dengan ST.

Cari
(a)  persamaan bagi garis lurus ST,
(b)  pintasan-x bagi garis lurus ST.

Penyelesaian:
(a)
JKadalah selari dengan ST, kecerunan JK = kecerunan ST.
= 80 04 =2  
Gantikan m= –2 dan S (5, 6) ke dalam y = mx+ c
6 = –2 (5) + c
c= 16
Oleh itu, persamaan ST: y = –2x + 16

(b)
Pada pintasan-x, y = 0
0 = –2x + 16
2x = 16
x = 8
Oleh itu, pintasan-x bagi ST = 8.

Bab 5 Garis Lurus

5.6 SPM Praktis (Soalan Pendek)

Soalan 1:
Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus RS yang dilukis pada satah Cartesan.

Cari kecerunan RS.
Penyelesaian:
Guna formula kecerunan  y 2 y 1 x 2 x 1 Kecerunan RS= 31 5( 1 ) = 2 6 = 1 3


Soalan 2:
Dalam rajah di bawah, PQ adalah suatu garis lurus dengan kecerunan –½ .

Cari pintasan-x bagi garis lurus PQ.
Penyelesaian:
m= pintasan-y pintasan-x 1 2 =( 3 pintasan-x ) pintasan-x=3×( 2 )=6


Soalan 3:
Rajah di bawah menunjukkan suatu garis lurus RS yang dilukis pada satah Cartesan.

Diberi jarak antara RS ialah 10 unit.
Cari kecerunan RS.

Penyelesaian:
RS=10 unit, OS=6 unit OR= 10 2 ( 6 ) 2 =8 unit pintasan-y bagi RS=6 pintasan-x of RS=8

m= pintasan-y pintasan-x  Kecerunan RS=( 6 8 )= 3 4


Soalan 4:
Kecerunan bagi garis lurus 3x – 4y = 24 ialah

Penyelesaian:
Menyusun semula persamaan dalam bentuk y = mx+ c
3x – 4y = 24
4y = 3x – 24
y= 3 4 x6 

Oleh itu, kecerunan garis lurus = 3 4 .  


Soalan 5:
Tentukan pintasan-y bagi garis lurus 3x + 2y = 5

Penyelesaian:
Bagi pintasan-y, x = 0
3(0) + 2y = 5
           y= 5 2 Oleh itu, pintasan-y= 5 2 .