Bab 6 Geometri Koordinat


Soalan 9 (3 markah):
Satu garis lurus melalui P(3, 1) dan Q(12, 7). Titik R membahagi tembereng garis PQ dengan keadaan 2PQ = 3RQ.
Cari koordinat R.

Penyelesaian:



2PQ=3RQPQRQ=32Titik R=(1(12)+2(3)1+2,1(7)+2(1)1+2)=(183,93)=(6,3)



Soalan 10 (3 markah):
Maklumat berikut adalah merujuk kepada persamaan dua garis lurus, AB dan CD.

AB:y2kx3=0 CD:x3h+y4=1 dengan keadaan h dan k  ialah pemalar.

Diberi garis lurus AB dan garis lurus CD adalah berserenjang antara satu sama lain, ungkapkan h dalam sebutan k.

Penyelesaian:
AB:y2kx3=0y=2kx+3mAB=2kCD:x3h+y4=1mCD=43hmAB×mCD=12k×(43h)=18k=3hh=83k

6.8.10 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 10 (7 markah):
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 3 menunjukkan kedudukan bagi bandar M dan bandar N yang dilukis pada suatu satah Cartes.

PQ
ialah jalan raya lurus dengan keadaan jarak dari bandar M dan bandar N ke mana-mana titik pada jalan raya adalah sentiasa sama.
(a) Cari persamaan bagi PQ.

(b) Satu lagi jalan raya lurus, ST dengan persamaan y = 2x + 7 akan dibina.
(i) Lampu isyarat akan dipasang di persimpangan kedua-dua jalan raya itu.
Cari koordinat bagi lampu isyarat itu.
(ii) Antara dua jalan raya itu, yang manakah melalui bandar L (43,1)?  


Penyelesaian: 
(a)

T(x,y) adalah satu titik pada PQ.TM=TN[x(4)2]+[y(1)]2=(x2)2+(y1)2(x+4)2+(y+1)2=(x2)2+(y1)2(x+4)2+(y+1)2=(x2)2+(y1)2x2+8x+16+y2+2y+1=x24x+4+y22y+18x+2y+17+4x+2y5=012x+4y+12=03x+y+3=0Persamaan PQ:3x+y+3=0


(b)(i)
y=2x+7  ............ (1)3x+y+3=0 ............ (2)Gantikan (1) ke dalam (2):3x+2x+7+3=05x=10x=2Apabila x=2,Dari (1),y=2(2)+7=3Koordinat bagi lampu isyarat=(2,3).


(b)(ii)
L(43,1):x=43,y=1Persamaan ST:y=2x+7Sebelah kiri: y=1Sebelah kanan: 2(43)+7=413Oleh itu, jalan raya y=2x+7 tidak melalui L.Persamaan PQ:3x+y+3=0Sebelah kiri: 3x+y+3=3(43)+1+3   =4+4=0Sebelah kanan=0Sebelah kiri=Sebelah kananOleh itu, jalan raya 3x+y+3=0melalui L.


6.8.9 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 9 (6 markah):
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah 1 menunjukkan segi tiga OCD.
Rajah 1

(a) Diberi luas segi tiga OCD ialah 30 unit2, cari nilai h.
(b) Titik Q (2, 4) terletak pada garis lurus CD.
(i) Cari CQ : QD.
(ii) Titik P bergerak dengan keadaan PD = 2 PQ.
  Cari persamaan lokus P.


Penyelesaian:
(a)
Diberi luas  OCD = 3012 |0  h6 0  2   8  00|=30|(0)(2)+(h)(8)+(6)(0)(0)(h)(2)(6)(8)(0)|=60|0+8h+00+120|=60|8h+12|=608h+12=608h=48h=6atau 8h+12=608h=72h=9(abaikan)



(b)(i)

[6(m)+(6)(n)m+n, 2(m)+(8)(n)m+n]=(2, 4)6m6nm+n=26m6n=2m+2n4m=8nmn=84mn=212m+8nm+n=42m+8n=4m+4n2m=4nmn=42mn=21Oleh itu, CQ=QD=2:1


(b)(ii)
PD=2PQ(x6)2+(y2)2=2(x2)2+(y4)2(x6)2+(y2)2=4[(x2)2+(y4)2]x212x+36+y24y+4=4[x24x+4+y28y+16]x212x+36+y24y+4=4x216x+16+4y232y+64Persamaan lokus P:3x2+3y24x28y+40=0


6.8.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)


Soalan 8:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat ABCD. Titik C terletak pada paksi-y.

Persamaan garis lurus AD ialah 2y = 5x – 21.
(a) Cari
(i) persamaan garis lurus AB,
(ii) koordinat A,
(b) Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik D sentiasa 5 unit.
Cari persamaan lokus P.


Penyelesaian:
(a)(i)
2y=5x21y=52x212mAD=52mAB×mAD=1mAB×52=1mAB=25Persamaan AByy1=mAB(xx1)y+1=25(x+2)5y+5=2x45y=2x9

(a)(ii)
2y=5x21 .......... (1)5y=2x9 .......... (2)(1)×5:10y=25x105 .......... (3)(2)×2:10y=4x18 .......... (4)(2)(4):0=29x87                x=3Dari (1),2y=15212y=6y=3A=(3 , 3)

(b)
y=2,4=5x215x=25x=5Titik D=(5, 2)PD=5(x5)2+(y2)2=5(x5)2+(y2)2=25x210x+25+(y24y+4)=25x2+y210x4y+4=0

6.8.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)


6.8.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 7:
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima.
Rajah di bawah menunjukkan segi tiga PRS. Sisi PR bersilang dengan paksi-y pada titik Q.


(a) Diberi PQ : QR = 2 : 3, cari
(i) koordinat P,
(ii) persamaan garis lurus PS,
(iii) luas, dalam unit2, segi tiga PRS.
(b) Titik M bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik R adalah sentiasa dua kali jaraknya dari titik S.
Cari persamaan lokus M.


Penyelesaian:
(a)(i)
P=(2(6)+3h2+3,2(12)+3k2+3)(0,6)=(12+3h5,24+3k5)12+3h5=0      3h=12 h=424+3k5=63k=3024k=2P=(4,2)

(a)(ii)
mPS=2(6)42 =86 =43Persamaan PS:yy1=43(x2)y(6)=43x+833y+18=4x+83y=4x10

(a)(iii)
Luas  PRS=12|4   2    6  2  6 12  42|=12|(24+24+12)(43648)|=12|60(80)|=70 unit2

(b)
Katakan P=(x,y)MR=2MS(x6)2+(y12)2=2(x2)2+(y+6)2(x6)2+(y12)2=4[(x2)2+(y+6)2]x212x+36+y224y+144=4[x24x+4+y2+12y+36]x212x+y224y+180=4x216x+4y2+48y+1603x2+3y24x+72y20=0


Bab 6 Geometri Koordinat

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 6:
Penyelesaian secara lukisan berskala tidak akan diterima.
Rajah di bawah menunjukkan sebuah segi tiga OPQ.  Titik S terletak pada garis PQ.

(a)   Suatu titik Y bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik S adalah sentiasa 5 uint.
      Cari persamaan lokus Y.   
            (b)   Diberi bahawa titik P dan titik Q terletak pada lokus Y.
Hitung
            (i)     nilai k,
            (ii)   koordinat Q.
(c)    Seterusnya, cari luas, dalam uint2, bagi segi tiga OPQ.

Penyelesaian:
(a)
Katakan koordinat titik Yialah (x, y), dan YS = 5 unit
(x5)2+(y3)2=5 
x2 – 10x + 25 + y2 – 6y + 9 = 25
x2 + y2 – 10x – 6y + 9 = 0

(b)(i)
Diberi titik P (2,k) terletak pada lokus Y
(2)2 + (k)2– 10 (2) – 6 (k) + 9 = 0
4 + k2 – 20 – 6k + 9 = 0
k2 – 6k – 7 = 0
(k – 7) (k + 1) = 0
k = 7  atau  k = –1
Berdasarkan rajah, k = 7  

(b)(ii)
Diberi P dan Q terletak pada lokus Y, Sialah titik tengah PQ. P = (2, 7), S = (5, 3)
Katakan koordinat Q = (x, y),
(2+x2,7+y2)=(5,3)2+x2=5       dan       7+y2=3 
2 + x = 10       dan   7 + y= 6
       x = 8        dan         y = –1

Koordinat Q = (8, –1).

(c)
Luas ∆ OPQ
=12|0     8     2   0  1     7  00|=12|0+(8)(7)+00(1)(2)0|=12|58|=29 unit2

Bab 6 Geometri Koordinat

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5:

Dalam rajah di atas, persamaan bagi garis lurus FMG ialah y = – 4. Satu titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari E adalah sentiasa separah jarak bagi E dari garis lurus FG. Cari
(a)   persamaan bagi lokus P,
(b)   koordinat-xbagi titik persilangan antara lokus dengan paksi-x.

Penyelesaian:
( a)
Kecerunan garis lurus FMG= 0
EM iadalah berserenjang dengan FMG, jadi kecerunan EM adalah juga = 0, persamaan EM adalah x = 2
Koordinat bagi titik M= (2, 4).

Katakan koordinat bagi titik P = (x, y).
Diberi PE = ½ EM
2PE = EM
2 ( x2 ) 2 +  ( y4 ) 2 = ( 22 ) 2 +  ( 4( 4 ) ) 2  
4 (x2– 4x + 4 + y2 – 8y +16) = (0 + 64) → (Kuasa duakan kedua-dua belah)
4x2– 16x + 16 + 4y2 – 32y + 64 = 64
4x2+ 4y2 – 16x – 32y + 16 = 0
x2 + y2 – 4x – 8y + 4 = 0

( b)
x2 + y2 – 4x – 8y + 4 = 0
pada paksi-x, y = 0.
x2 + 0 – 4x – 8(0) + 4 = 0
x2  – 4x+ 4 = 0
(x – 2) (x – 2) = 0
x = 2

Jadi, koordinat-x bagi titik persilangan antara lokus dengan paksi-x ialah 2.


Bab 6 Geometri Koordinat

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 4:
Rajah di atas menunjukkan segitiga LMN dengan keadaan L terletak di paksi-y. Persamaan garis lurus LKN dan MK adalah 2y – 3x + 6 = 0 dan 3y + x – 13 = 0 masing-masing. Cari
(a)   koordinat titik K
(b)   nisbah LK:KN

Penyelesaian:
(a)
2y – 3x + 6 = 0 ----(1)
3y + x – 13 = 0 ----(2)
x = 13 – 3y ----(3)

Gantikan persamaan (3) ke dalam (1),
2y – 3 (13 – 3y) + 6 = 0
2y – 39 + 9y + 6 = 0
11y = 33
y = 3

Gantikan y = 3 ke dalam persamaan (3),
x = 13 – 3 (3)
x = 4

Koordinat titik K = (4, 3).

(b)
Diberi persamaan LKNialah 2y – 3x + 6 = 0
Di paksi-y, x = 0,
2y – 3(0) + 6 = 0
2y = –6
y = –3
koordinat titik L= (0, –3).

Nisbah LK:KN
Samakan koordinat x,

LK(10)+KN(0) LK+KN =4 10LK=4LK+4KN 6LK=4KN LK KN = 4 6 LK KN = 2 3  

Nisbah LK:KN = 2 : 3

Bab 6 Geometri Koordinat

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Dalam rajah di atas, PRS dan QRT ialah garis lurus. Diberi Radalah titik tengah bagi PS dan QR : RT = 1 : 3, Cari
(a)   koordinat titik R,
(b)   koordinat titik T,
(c)    koordinat bagi titik persilangan antara garis PQ dan garis ST.

Penyelesaian:
(a)
Diberi R ialah titik tengah bagi PS.
R=( 3+7 2 , 2+6 2 ) R=( 5, 4 )

(b)
QR : RT = 1 : 3
Katakan koordinat titik T = (x, y)
( ( 1 )( x )+( 3 )( 4 ) 1+3 , ( 1 )( y )+( 3 )( 5 ) 1+3 )=( 5, 4 ) x+12 4 =5 x+12=20 x=8 y+15 4 =4  
y + 15 = 16
y = 1

T = (8, 1)

(c)
Kecerunan PQ= 52 43 =3
Persamaan PQ,
y – 2 = 3 (x – 3)
y – 2 = 3x – 9
y = 3x – 7 ---- (1)

Kecerunan ST= 61 78 =5
Persamaan ST,
y – 1 = –5 (x – 8)
y – 1 = –5x + 40
y = –5x + 41 ---- (2)

Gantikan (1) ke dalam (2),
3x – 7 = –5x + 41
8x = 48
x = 6

Dari (1),
y = 3(6) – 7 = 11

Koordinat bagi titik persilangan antara garis PQ dan garis ST = (6, 11).

Bab 6 Geometri Koordinat

6.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 6:
Titik M ialah (-3, 5) dan titik N ialah (4, 7). Titik P bergerak dengan keadaan PM: PN= 2: 3. Cari persamaan lokus bagi P.

Penyelesaian:
Katakan P = (x, y)
PM : PN = 2 : 3
PM PN = 2 3 3PM=2PN 3 ( x( 3 ) ) 2 + ( y5 ) 2 =2 ( x4 ) 2 + ( y7 ) 2   

Menguasa dua kedua-dua belah untuk menghapuskan punca kuasa dua.
9[x2+ 6x + 9 + y2 – 10y + 25] = 4 [x2 – 8x + 16 + y2 – 14y + 49]
9x2+ 54x + 9y2 – 90y + 306 = 4x2 – 32x + 4y2– 56y + 260
5x2+ 5y2 + 86x – 34y + 46 = 0

Oleh itu, persamaan lokus bagi titik P ialah
5x2 + 5y2 + 86x – 34y + 46 = 0


Soalan 7:
Diberi titik A (0,2) dan titik B (6,5). Cari persamaan lokus bagi suatu titik bergerak P dengan keadaan APB sentiasa bersudut tegak di P.
Penyelesaian:
Katakan P = (x, y)
Diberi segi tiga APB = 90o, maka AP adalah berserenjang dengan PB.
Oleh itu, (mAP)(mPB) = –1.

(mAP)(mPB) = –1
( y2 x0 )( y5 x6 )=1 
(y – 2)(y – 5) = – x(x – 6)
y2 – 7y + 10 = –x2 + 6x
y2 + x2 – 6x – 7y + 10 = 0

Persamaan lokus bagi titik P ialah,
y2 + x2 – 6x – 7y + 10 = 0


Soalan 8:
Cari persamaan pembahagi dua sama serenjang bagi garis lurus yang menyambungkan titik (–4, 3) dengan titik (2, 4).

Penyelesaian:
Kecerunan garis, m1= 43 2( 4 ) = 1 6  

Kecerunan garis serenjang, m2 = 1 m 1 =6 
Titik tengah =( 4+2 2 , 3+4 2 )                    =( 1, 7 2 )  

Jadi, persamaan pembahagi dua sama serenjang ialah
y 7 2 =6( x( 1 ) ) y 7 2 =6x6  
2y – 7 = –12x – 12
12x + 2y + 5 = 0