Bab 15 Matriks

4.4 Pendaraban Matriks dengan Nombor
Pendaraban suatu matriks dengan suatu nombor ialah pendaraban setiap unsur matriks dengan nombor itu.

Contoh:
Diberi A=( 2 4 5 6 )  , cari setiap yang berikut sebagai satu matriks tunggal.
(a)  3A
(b)  -2A

Penyelesaian:
(a) 3A=3( 2 4 5 6 ) =( 3×(2) 3×4 3×5 3×(6) ) =( 6 12 15 18 )

(b) 2A=2( 2 4 5 6 ) =( 2×(2) 2×4 2×5 2×(6) ) =( 4 8 10 12 )

Bab 15 Matriks

4.3 Penambahan dan Penolakan Matriks (Contoh Soalan)
Contoh 1:
Cari hasil tambah bagi matriks yang berikut:
(a) ( 18   7 )+( 3   6 ) (b) ( 13 0 7 1 )+( 1 3 5 6 )

Penyelesaian:
(a) ( 18   7 )+( 3   6 ) =( 18+3   7+6 )=( 21   1 ) (b) ( 13 0 7 1 )+( 1 3 5 6 ) =( 13+( 1 ) 0+3 7+5 1+6 )=( 14 3 12 5 )
 


Contoh 2:
Cari setiap yang berikut sebagai satu matriks tunggal.
(a)( 9 6 )( 7 2 ) (b) ( 3 4 0 5 )( 7 3 6 1 )

Penyelesaian:
(a)( 9 6 )( 7 2 )=( 97 6(2) )=( 2 8 ) (b) ( 3 4 0 5 )( 7 3 6 1 ) =( 3( 7 ) 4(3) 0(6) 51 ) =( 3+7 4+3 0+6 51 )=( 10 1 6 4 )


(B) Menentukan nilai unsur yang tidak diketahui dalam persamaan matriks yang melibatkan operasi tambah dan tolak
Contoh 3:
Diberi   ( p q )+( 5p 9 )=( 12 3q+1 ), cari nilai bagi p dan q.

Penyelesaian:
( p q )+( 5p 9 )=( 12 3q+1 ) ( p+5p q+9 )=( 12 3q+1 ) p+5p=12 6p=12 p=2
q+9=3q+1 q3q=19 2q=8 q=4


Contoh 4:
Cari nilai m dan n bagi persamaan matriks yang berikut:
( 7 6 n 1 )( 1 m 4 2 )=( 5 12 6 11 )

Penyelesaian:
( 7 6 n 1 )( 1 m 4 2 )=( 5 12 6 11 ) 6m=12 m=6 m=6 n(4)=6 n+4=6 n=2

Bab 15 Matriks

4.2 Matriks Sama (Contoh Soalan)
Contoh 1:
( 1 x+2 4y 1 )=( 1 3 2 1 )

Penyelesaian:
( 1 x+2 4y 1 )=( 1 3 2 1 ) x+2=3 x=1 4y=2 y=2 y=2


Contoh 2:
Hitung nilai p dan nilai q dalam setiap persamaan matriks yang berikut:
(a) ( 3 2p+q p 3 )=( 3 1 82q 3 ) (b) ( 10 0 5p8 1 )=( p2q 0 4q 1 )

Penyelesaian:
(a) ( 3 2p+q p 3 )=( 3 1 82q 3 )
2p + q = 1
q= 1 – 2p ----(1)
p= 8 – 2q ----(2)
Gantikan (1) ke dalam (2),
p= 8 – 2 (1 – 2p)
p= 8 – 2 +  4p
p– 4p = 6
–3p = 6
p= –2
Gantikan p= –2 ke dalam (1),
q= 1 – 2(–2)
q= 5

(b) ( 10 0 5p8 1 )=( p2q 0 4q 1 )
10 = p – 2 q
p= 10 + 2q ----(1)
5p – 8 = –4q ----(2)
Gantikan (1) ke dalam (2),
5 (10 + 2q) – 8 = –4q
50 + 10q – 8 = –4q
14q = –42
q= –3

Gantikan q= –3 ke dalam (1),
p= 10 + 2(–3)
p= 4

Bab 15 Matriks

4.10 SPM Practis (Soalan Panjang)

Soalan 1:
Diberi bahawa matriks A = ( 3 1 5 2 )  
(a)  Cari matriks songsang bagi A.
(b)  Tulis persamaan linear serentak berikut dalam persamaan matriks:
      3uv = 9
      5u – 2v = 13
Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai u dan nilai v.

Penyelesaian:
(a) A 1 = 1 3( 2 )( 5 )( 1 ) ( 2 1 5 3 ) =1( 2 1 5 3 )=( 2 1 5 3 )

(b) ( 3 1 5 2 )( u v )=( 9 13 )               ( u v )=1( 2 1 5 3 )( 9 13 )               ( u v )=1( ( 2 )( 9 )+( 1 )( 13 ) ( 5 )( 9 )+( 3 )( 13 ) )               ( u v )=1( 5 6 )               ( u v )=( 5 6 ) u=5,v=6


Soalan 2:
Diberi bahawa matriks A = ( 2 5 1 3 )  dan matriks B = m( 3 k 1 2 )  dengan keadaan AB = ( 1 0 0 1 )  
(a)  Cari nilai m dan nilai k.
(b)  Tulis persamaan linear serentak berikut dalam persamaan matriks:
      2u – 5v = –15
      u+ 3v = –2
Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai u dan nilai v.

Penyelesaian:
(a)
AB= ( 1 0 0 1 ) , Songsang bagi matriks A ialah B.
m= 1 ( 2 )( 3 )( 5 )( 1 ) = 1 11  
k= 5

(b)
( 2 5 1 3 )( u v )=( 15 2 )               ( u v )= 1 11 ( 3 5 1 2 )( 15 2 )               ( u v )= 1 11 ( ( 3 )( 15 )+( 5 )( 2 ) ( 1 )( 15 )+( 2 )( 2 ) )               ( u v )= 1 11 ( 55 11 )               ( u v )=( 5 1 ) u=5,v=1

Bab 15 Matriks

Soalan 3:
Diberi bahawa Q( 3 2 6 5 )=( 1 0 0 1 ), dengan keadaan Q ialah matriks 2 × 2.
(a)  Cari matriks Q.
(b)  Tulis persamaan linear serentak berikut dalam persamaan matriks:
      3u + 2v = 5
      6u + 5v = 2
Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai u dan nilai v.

Penyelesaian:
(a) Q= ( 3 2 6 5 ) 1 Q= 1 3( 5 )2( 6 ) ( 5 2 6 3 ) Q= 1 3 ( 5 2 6 3 ) Q=( 5 3 2 3 2 1 )

(b) ( 3 2 6 5 )( u v )=( 5 2 )               ( u v )= 1 3 ( 5 2 6 3 )( 5 2 )               ( u v )= 1 3 ( ( 5 )( 5 )+( 2 )( 2 ) ( 6 )( 5 )+( 3 )( 2 ) )               ( u v )= 1 3 ( 21 24 )               ( u v )=( 7 8 ) u=7,v=8



Soalan 4:
Diberi bahawa Q( 3 2 5 4 )=( 1 0 0 1 ), dengan keadaan Q ialah matriks 2 × 2.
(a)  Cari matriks Q.
(b)  Tulis persamaan linear serentak berikut dalam persamaan matriks:
      3x – 2y = 7
      5x – 4y = 9
Seterusnya, menggunakan kaedah matriks, hitung nilai x dan nilai y.

Penyelesaian:
(a) Q= 1 3( 4 )( 5 )( 2 ) ( 4 2 5 3 ) = 1 2 ( 4 2 5 3 ) =( 2 1 5 2 3 2 )

(b) ( 3 2 5 4 )( x y )=( 7 9 )               ( x y )= 1 2 ( 4 2 5 3 )( 7 9 )               ( x y )= 1 2 ( ( 4 )( 7 )+( 2 )( 9 ) ( 5 )( 7 )+( 3 )( 9 ) )               ( x y )= 1 2 ( 10 8 )               ( x y )=( 5 4 ) x=5,  y=4

Bab 15 Matriks

4.9 SPM Practis (Soalan Pendek)

Soalan 1:
( 1 4 6 2 )+3( 2 0 4 3 )( 3 0 2 5 )=

Penyelesaian:
( 1 4 6 2 )+3( 2 0 4 3 )( 3 0 2 5 ) =( 1 4 6 2 )+( 6 0 12 9 )( 3 0 2 5 ) =( 7 4 18 7 )( 3 0 2 5 ) =( 7(3) 40 18( 2 ) 7(5) ) =( 10 4 20 2 )


Soalan 2:
Cari nilai mdalam persamaan matriks berikut:
( 9 4 5 0 )+ 1 2 ( 8 m 6 10 )=( 13 7 2 1 )

Penyelesaian:
( 9 4 5 0 )+ 1 2 ( 8 m 6 10 )=( 13 7 2 1 ) 4+ 1 2 m=7 1 2 m=3 m=6


Soalan 3:
Diberi ( 2x 3y )4( 2 3 )=( 2 6 ) Cari nilai x dan y.

Penyelesaian:
2x + 8 = –2
2x = –10
x= –5

3y – 12 = 6
3y = 18
y= 6 


Soalan 4:
Diberi bahawa persamaan matriks 3(6   m) + n(3   4) = (12   7),
Cari nilai m+ n.

Penyelesaian:
3(6   m) + n(3   4) = (12   7)
18 + 3n = 12
3n = –6
n= –2

3m + 4n = 7
3m + 4(–2) = 7
3m = 15
m= 5

Maka m + n = 5 + (–2) = 3