Bab 1 Fungsi

Posted on June 1, 2016 by user

Bab 1 Fungsi

1.1 Hubungan

1. Hubungan memasangkan unsur-unsur dalam set A(domain) dengan unsur-unsur dalam set B mengikut definasi hubungan itu.

2. Hubungan boleh diwakilkan dalam 3 bentuk:

(a) Pasangan bertertib

(b) Gambar rajah anak panah

(c) Graf

Bab 1 Fungsi

Posted on June 1, 2016 by user

1.1a Domain and Kodomain

Dalam hubungan antara satu set dengan set yang lain, set pertama dikenali sebagai domain dan set kedua dikenali sebagai kodomain.
Unsur-unsur dalam domain dinamakan objek, manakala unsur-unsur dalam kodomain dipadankan dengan objek dinamakan imej.
Unsur-unsur dalam kodomain tidak dipadankan dengan objek adalah bukan imejnya.
Semua imej dalam kodomain boleh ditulis sebagai satu set dinamakan julat.

Contoh:

Domain = {3, 4, 5}

Kodomain = {7, 9, 12, 15}

Julat = {9, 12, 15} [7 bukan satu imej kerana ia tidak dipadankan dengan sebarang objek]

3 ialah objek bagi 9, 12 dan 15.

4 ialah object bagi 12.

5 ialah object bagi 15.

9, 12 dan 15 ialah imej bagi 3.

12 ialah imej bagi 4.

15 ialah imej bagi 5.

Bab 7 Statistik

Posted on June 1, 2016 by user

7.4.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 5:

Jadual 1 menunjukkan taburan kekerapan longgokan bagi skor 80 kanak-kanak dalam suatu
pertandingan.

Jadual 1

(a) Berdasarkan Jadual 1 di atas, salin dan lengkapkan Jadual 2.

Jadual 2

(b) Tanpa melukis ogif, cari julat antara kuartil bagi taburan itu.

Penyelesaian:

(a)

(b)

Julat antara kuartil = Kuartil ketiga – Kuartil pertama

Kelas kuartil ketiga, k₃ = ¾ × 80 = 60

Maka kelas kuartil ketiga ialah kelas 60 – 69.

Kelas kuartil pertama, k₁ = ¼ × 80 = 20

Maka kelas kuartil pertama ialah kelas 30 – 39.

Julat antara kuartil

\begin{array}{l} = L_{Q_{3}} + (\frac{\frac{3 N}{4} - F}{f_{_{Q_{3}}}}) c - L_{Q_{1}} + (\frac{\frac{N}{4} - F}{f_{_{Q_{1}}}}) c \\ = 59.5 + (\frac{\frac{3}{4} (80) - 59}{10}) 10 - 29.5 + (\frac{\frac{1}{4} (80) - 7}{18}) 10 \\ = 59.5 + 1 - (29.5 + 7.22) \\ = 23.78 \end{array}

Bab 7 Statistik

Posted on June 1, 2016 by user

7.4 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 3:

Min bagi data 1, a, 2 a, 8, 9 dan 15 setelah disusun mengikut tertib menaik ialah b. Jika setiap nombor dalam data ditolak dengan 3, median baru ialah

\frac{4}{7} b

. Cari

(a) nilai a dan b,

(b) varians bagi data baru.

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} Min \bar{x} = b \\ \frac{1 + a + 2 a + 8 + 9 + 15}{6} = b \end{array}

33 + 3a = 6b

3a = 6b – 33

a = 2b – 11 ---- (1)

\begin{array}{l} Median baru = \frac{4 b}{7} \\ \frac{(2 a - 3) + (8 - 3)}{2} = \frac{4 b}{7} \\ \frac{2 a + 2}{2} = \frac{4 b}{7} \end{array}

14a + 14 = 8b

7a = 4b – 7 ---- (2)

Gantikan (1) ke dalam (2),

7(2b – 11) = 4b – 7

14b – 77 = 4b – 7

10b = 70

b = 7

Dari (1),

a = 2(7) – 11 = 3

(b)

Data baru ialah (1 – 3), (3 – 3), (6 – 3), (8 – 3), (9 – 3), (15 – 3)

Maka data baru ialah – 2, 0, 3, 5, 6, 12

\begin{array}{l} Varians, σ^{2} = \frac{\sum x^{2}}{N} - {\bar{x}}^{2} \\ σ^{2} = \frac{{(- 2)}^{2} + {(0)}^{2} + {(3)}^{2} + {(5)}^{2} + {(6)}^{2} + {(12)}^{2}}{6} \\ - {(\frac{- 2 + 0 + 3 + 5 + 6 + 12}{6})}^{2} \\ σ^{2} = \frac{218}{6} - 16 = 20.333 \end{array}

Soalan 4:

Satu set data mengandungi 20 nombor. Min bagi nombor itu ialah 8 dan sisihan piawai ialah 3.

(a) Hitungkan ∑x dan ∑x².

(b) Hasil tambah nombor tertentu ialah 72 dengan min ialah 9 dan hasil tambah kuasa dua nombor-nombor itu ialah 800, dikeluarkan dari set 20 nombor itu. Hitung min dan sisihan piawai baki nombor.

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} Min \bar{x} = \frac{\sum x}{N} \\ 8 = \frac{\sum x}{20} \\ \sum x = 160 \end{array}

\begin{array}{l} Sisihan piawai, σ = \sqrt{\frac{\sum x^{2}}{N} - {\bar{x}}^{2}} \\ 3 = \sqrt{\frac{\sum x^{2}}{N} - {\bar{x}}^{2}} \\ 9 = \frac{\sum x^{2}}{20} - 8^{2} \\ \frac{\sum x^{2}}{20} = 73 \\ \sum x^{2} = 1460 \end{array}

(b)

Hasil tambah nombor tertentu, M ialah 72 dengan min 9,

\begin{array}{l} \frac{72}{M} = 9 \\ M = 8 \end{array}

Min baki nombor

= \frac{160 - 72}{20 - 8} = 7 \frac{1}{3}

Varians baki nombor

\begin{array}{l} = \frac{1460 - 800}{12} - {(7 \frac{1}{3})}^{2} \\ = 55 - 53 \frac{7}{9} = 1 \frac{2}{9} \end{array}

Bab 7 Statistik

Posted on May 31, 2016 by user

7.4.1 Statistik, SPM Praktis (Kertas 2)

Soalan 1:

Jadual di bawah menunjukkan umur 40 orang pelancong melawat suatu tempat pelancongan.

Diberi umur median ialah 35.5, cari nilai m dan n.

Penyelesaian:

Diberi umur median ialah 35.5,

22 + m + n = 40

n = 18 – m -----(1)

Diberi umur median = 35.5, maka kelas median ialah 30 – 39.

\begin{array}{l} 35.5 = 29.5 + (\frac{20 - (4 + m)}{n}) \times 10 \\ 6 = (\frac{16 - m}{n}) \times 10 \end{array}

6n = 160 – 10m

3n = 80 – 5m -----(2)

Gantikan (1) ke dalam (2).

3 (18 – m) = 80 – 5m

54 – 3m = 80 – 5m

2m = 26

m = 13

Ganti m = 13 ke dalam (1).

n = 18 – 13

n = 5

Dengan itu, m = 13, n = 5.

Soalan 2:

Satu set markah ujian x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆ mempunyai min 6 dan sisihan piawai 2.4.

(a) Cari

(i) hasil tambah markah itu, ∑x,

(ii) hasil tambah kuasa dua markah itu, ∑x².

(b) Setiap markah itu didarab dengan 2 dan kemudian ditambah dengan 3. Cari bagi set markah baru itu,

(i) min,

(ii) varians.

Penyelesaian:

(a)(i)

\begin{array}{l} Diberi min = 6 \\ \frac{Σ x}{6} = 6 \\ Σ x = 36 \end{array}

(a)(ii)

\begin{array}{l} Diberi σ = 2.4 \\ σ^{2} = {2.4}^{2} \\ \frac{Σ x^{2}}{n} - {\bar{X}}^{2} = 5.76 \\ \frac{Σ x^{2}}{6} - 6^{2} = 5.76 \\ \frac{Σ x^{2}}{6} = 41.76 \\ Σ x^{2} = 250.56 \end{array}

(b)(i)

Markah min baru

= 6(2) + 3

= 15

(b)(ii)

Varians bagi set markah asal

= 2.4²= 5.76

Varians bagi set markah baru

= 2² (5.76)

= 23.04

Bab 7 Statistik

Posted on May 31, 2016 by user

7.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 3:

Min bagi lima nombor ialah

\sqrt{p}

. hasil tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah 120 dan sisihan piawai ialah 2q. Ungkap p dalam sebutan q.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Min \bar{x} = \frac{\sum x}{N} \\ \sqrt{p} = \frac{\sum x}{5} \\ \sum x = 5 \sqrt{p} \\ Sisihan piawai, σ = \sqrt{\frac{\sum x^{2}}{N} - {\bar{x}}^{2}} \\ 2 q = \sqrt{\frac{120}{5} - {(\sqrt{p})}^{2}} \\ 4 q^{2} = 24 - p \\ p = 24 - 4 q^{2} \end{array}

Soalan 4:

Satu set integer positif terdiri daripada 1, 4 dan p. Varians bagi set integer ini ialah 6. Cari nilai p.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Varians, σ^{2} = \frac{\sum x^{2}}{N} - {\bar{x}}^{2} \\ 6 = \frac{1^{2} + 4^{2} + p^{2}}{3} - {(\frac{1 + 4 + p}{3})}^{2} \\ 6 = \frac{17 + p^{2}}{3} - {(\frac{5 + p}{3})}^{2} \\ 6 = \frac{17 + p^{2}}{3} - [\frac{25 + 10 p + p^{2}}{9}] \\ 6 = \frac{51 + 3 p^{2} - 25 - 10 p - p^{2}}{9} \end{array}

2p² – 10p + 26 = 54

2p² – 10p + 28 = 0

p² – 5p + 14 = 0

(p – 7)(p + 2) = 0

p= –2 (tidak diterima)

Maka p = 7

Bab 7 Statistik

Posted on May 31, 2016 by user

7.3 Statistik, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 1:

Sisihan piawai bagi lima nombor ialah 6 dan hasil tambah bagi kuasa dua nombor-nombor itu ialah 260. Cari min bagi set nombor itu.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Diberi σ = 6, Σ x^{2} = 260. \\ σ = 6 \\ \sqrt{\frac{Σ x^{2}}{n} - {\bar{X}}^{2}} = 6 \\ \frac{Σ x^{2}}{n} - {\bar{X}}^{2} = 36 \\ \frac{260}{5} - {\bar{X}}^{2} = 36 \\ {\bar{X}}^{2} = 16 \\ \bar{X} = \pm 4 \\ ∴ min = \pm 4 \end{array}

Soalan 2:

Kedua-dua min dan sisihan piawai bagi set nombor 1, 3, 7, 15, m dan n ialah 6. Cari

(a) nilai m+ n,

(b) nilai yang mungkin bagi n.

Penyelesaian:

(a)

\begin{array}{l} Diberi min = 6 \\ \frac{Σ x}{n} = 6 \\ \frac{Σ x}{6} = 6 \end{array}

1 + 3 + 7 + 15 + m + n= 36

26 + m + n = 36

m + n = 10

(b)

\begin{array}{l} σ = 6 \\ σ^{2} = 36 \\ \frac{Σ x^{2}}{n} - {\bar{X}}^{2} = 36 \\ \frac{1 + 9 + 49 + 225 + m^{2} + n^{2}}{6} - 6^{2} = 36 \\ \frac{284 + m^{2} + n^{2}}{6} - 36 = 36 \\ \frac{284 + m^{2} + n^{2}}{6} = 72 \end{array}

284 + m² + n² = 432

m² + n² = 148

Daripada (a), m = 10 – n

(10 – n)² + n² = 148

100 – 20n + n²+ n² = 148

2n² – 20n – 48 = 0

n² – 10n – 24 = 0

(n – 6)(n + 4) = 0

n = 6 atau n = –4

Bab 7 Statistik

Posted on May 31, 2016 by user

7.1c Median

1. Median ialah nilai yang terletak di tengah-tengah sesuatu set data setelah set data itu disusun mengikut tertib tertentu.

(A) Data Tak Terkumpul

Median, m = C e r a p a n_{\frac{n + 1}{2}}

Contoh 1:

Cari median bagi setiap set data yang berikut.

(a) 15, 18, 21, 25, 20, 18

(b) 13, 6, 9, 17, 11

Penyelesaian:

(a)

Susun data mengikut tertib menaik

15, 18, 18, 20, 21, 25

\begin{array}{l} Median \\ = C e r a p a n_{\frac{n + 1}{2}} = C e r a p a n_{\frac{6 + 1}{2}} = C e r a p a n_{3 \frac{1}{2}} \\ = \frac{18 + 20}{2} = 19 \end{array}

(b)

6, 9, 11, 13, 17

\begin{array}{l} Median \\ = C e r a p a n_{\frac{n + 1}{2}} = C e r a p a n_{\frac{5 + 1}{2}} = C e r a p a n_{3} \\ = 11 \end{array}

(B) Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)

Median, m = C e r a p a n_{\frac{n + 1}{2}}

Contoh 2:

Jadual kekerapan yang berikut menunjukkan markah ujian biologi bagi 40 orang pelajar.

Hitung markah median.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Median \\ = C e r a p a n_{\frac{n + 1}{2}} = C e r a p a n_{\frac{40 + 1}{2}} = C e r a p a n_{20 \frac{1}{2}} \\ = 60 \leftarrow (C e r a p a n ke- 20 \frac{1}{2} ialah 60 markah) \end{array}

(C) Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)

m = median

L = sempadan bawah kelas median

N = jumlah kekerapan

F = kekerapan longgokan sebelum kelas median

f_m = kekerapan kelas median

c = saiz kelas median (Sempadan atas kelas – sempadan bawah kelas)

1. Median boleh ditentukan daripada jadual kekerapan longgokan dan ogif.

Contoh 3:

Jadual yang berikut menunjukkan taburan skor yang diperoleh 100 orang pelajar tingkatan 4 dalam satu pertandingan.

Cari median.

Penyelesaian:

Kaedah 1: guna rumus

Langkah 1:

\begin{array}{l} Kelas median \\ = C e r a p a n_{\frac{n}{2}} = C e r a p a n_{\frac{100}{2}} = C e r a p a n_{50} \\ Maka kelas median berada di 20 - 24 \end{array}

Langkah 2:

\begin{array}{l} m = L + (\frac{\frac{N}{2} - F}{f_{m}}) c \\ m = 19.5 + (\frac{\frac{100}{2} - 33}{26}) 5 \\ m = 19.5 + 3.269 = 22.77 \end{array}

Bab 7 Statistik

Posted on May 31, 2016 by user

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 3)

7.2c Varians dan Sisihan Piawai

1. Varians ialah sukatan minbagi kuasa dua sisihan-sisihan daripada min.

2. Sisihan piawai merujuk kepada punca kuasa dua positif bagi varians.

(A) Data Tak Terkumpul

Varians, σ^{2} = \frac{\sum x^{2}}{N} - {\bar{x}}^{2}

Sisihan piawai, σ = \sqrt{varians}

Contoh 1:

Cari varians dan sisihan piawai bagi set data,

15, 17, 21, 24 dan 31

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Varians, σ^{2} = \frac{\sum x^{2}}{N} - {\bar{x}}^{2} \\ σ^{2} = \frac{15^{2} + 17^{2} + 21^{2} + 24^{2} + 31^{2}}{5} \\ - {(\frac{15 + 17 + 21 + 24 + 31}{5})}^{2} \\ σ^{2} = \frac{2492}{5} - {21.6}^{2} \\ σ^{2} = 31.84 \\ Sisihan piawai, σ = \sqrt{varians} \\ σ = \sqrt{31.84} \\ σ = 5.642 \end{array}

(B) Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)

Varians, σ^{2} = \frac{\sum f x^{2}}{\sum f} - {\bar{x}}^{2}

Sisihan piawai, σ = \sqrt{varians}

Contoh 2:

Data di bawah menunjukkan bilangan kanak-kanak oleh 30 keluarga:

Bilangan kanak-kanak	2	3	4	5	6	7	8
Kekerapan	6	8	5	3	3	3	2

Cari varians dan sisihan piawai bagi set data.

Penyelesaian:

\begin{array}{l} Min \bar{x} = \frac{\sum f x}{\sum f} \\ = \frac{(6) (2) + (8) (3) + (5) (4) + (3) (5) + (3) (6) + (3) (7) + (2) (8)}{6 + 8 + 5 + 3 + 3 + 3 + 2} \\ = \frac{126}{30} = 4.2 \\ \frac{\sum f x^{2}}{\sum f} \\ = \frac{(6) {(2)}^{2} + (8) {(3)}^{2} + (5) {(4)}^{2} + (3) {(5)}^{2} + (3) {(6)}^{2} + (3) {(7)}^{2} + (2) {(8)}^{2}}{6 + 8 + 5 + 3 + 3 + 3 + 2} \\ = \frac{634}{30} = 21.13 \end{array}

\begin{array}{l} Varians, σ^{2} = \frac{\sum f x^{2}}{\sum f} - {\bar{x}}^{2} \\ σ^{2} = 21.133 - {4.2}^{2} \\ σ^{2} = 3.493 \\ Sisihan piawai, σ = \sqrt{varians} \\ σ = \sqrt{3.493} \\ σ = 1 .869 \end{array}

(C) Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)

Varians, σ^{2} = \frac{\sum f x^{2}}{\sum f} - {\bar{x}}^{2}

Sisihan piawai, σ = \sqrt{varians}

Contoh 3:

Hitung min gaji harian dan sisihan piawai.

Penyelesaian:

Gaji harian (RM)	Bilangan pekerja, f	Nilai tengah, x	fx	fx²
10 – 14	40	12	480	5760
15 – 19	25	17	425	7225
20 – 24	15	22	330	7260
25 – 29	12	27	324	8748
30 – 34	8	32	256	8192
Total	100		1815	37185

\begin{array}{l} Min \bar{x} = \frac{\sum f x}{\sum f} \\ Min gaji harian = \frac{1815}{100} = 18.15 \end{array}

\begin{array}{l} Varians, σ^{2} = \frac{\sum f x^{2}}{\sum f} - {\bar{x}}^{2} \\ Sisihan piawai, σ = \sqrt{varians} \\ σ^{2} = \frac{37185}{100} - {18.15}^{2} \\ σ^{2} = 42.43 \\ σ = \sqrt{42.43} \\ σ = 6 .514 \end{array}

Bab 7 Statistik

Posted on May 30, 2016 by user

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 2)

7.2b Julat antara Kuartil 2

(C) Julat antara Kuartil untuk Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)

Julat antara kuartil bagi data terkumpul boleh ditentukan melalui

Kaedah 1 (guna jadual kekerapan longgokan) atau Kaedah 2 (ogif).

\begin{array}{l} Kuartil pertama, k_{1} = L_{1} + (\frac{\frac{1}{4} N - F_{1}}{f_{k_{1}}}) C \\ Kuartil ketiga, k_{3} = L_{3} + (\frac{\frac{3}{4} N - F_{3}}{f_{k_{3}}}) C \end{array}

*Rumus-rumus ini diubahsuai daripada rumus median.

Contoh 1:

Jadual yang berikut menunjukkan taburan markah yang diperoleh sekumpulan pelajar tingkatan 4 dalam satu ujian matematik.

Anggarkan julat antara kuartil.

Penyelesaian:

Kaedah 1: Melalui Jadual Kekerapan Longgokan

Langkah 1:

Kuartil pertama, k₁= cerapan ke- ¼ (60)

= cerapan ke-15

Kuartil ketiga, k₃= cerapan ke- ¾ (60)

= cerapan ke- 45

Langkah 2:

\begin{array}{l} Kuartil pertama, k_{1} = L_{1} + (\frac{\frac{1}{4} N - F_{1}}{f_{k_{1}}}) C \\ = 39.5 + (\frac{15 - 12}{20}) 10 \\ = 39.5 + 1.5 \\ = 41 \end{array}

Langkah 3:

\begin{array}{l} Kuartil ketiga, k_{3} = L_{3} + (\frac{\frac{3}{4} N - F_{3}}{f_{k_{3}}}) C \\ = 49.5 + (\frac{45 - 32}{16}) 10 \\ = 49.5 + 8.125 \\ = 57.625 \end{array}

Langkah 4:

Julat antara kuartil

= kuartil ketiga – Kuartil pertama

= k₃– k₁

= 57.625 – 41

= 16.625