Bab 7 Statistik

Posted on May 31, 2016 by user

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 3)

7.2c Varians dan Sisihan Piawai

1. Varians ialah sukatan minbagi kuasa dua sisihan-sisihan daripada min.

2. Sisihan piawai merujuk kepada punca kuasa dua positif bagi varians.

(A) Data Tak Terkumpul

$Varians, σ^{2} = \frac{\sum x^{2}}{N} - {\bar{x}}^{2}$

$Sisihan piawai, σ = \sqrt{varians}$

Contoh 1:

Cari varians dan sisihan piawai bagi set data,

15, 17, 21, 24 dan 31

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} Varians, σ^{2} = \frac{\sum x^{2}}{N} - {\bar{x}}^{2} \\ σ^{2} = \frac{15^{2} + 17^{2} + 21^{2} + 24^{2} + 31^{2}}{5} \\ - {(\frac{15 + 17 + 21 + 24 + 31}{5})}^{2} \\ σ^{2} = \frac{2492}{5} - {21.6}^{2} \\ σ^{2} = 31.84 \\ Sisihan piawai, σ = \sqrt{varians} \\ σ = \sqrt{31.84} \\ σ = 5.642 \end{array}$

(B) Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)

$Varians, σ^{2} = \frac{\sum f x^{2}}{\sum f} - {\bar{x}}^{2}$

$Sisihan piawai, σ = \sqrt{varians}$

Contoh 2:

Data di bawah menunjukkan bilangan kanak-kanak oleh 30 keluarga:

Bilangan kanak-kanak	2	3	4	5	6	7	8
Kekerapan	6	8	5	3	3	3	2

Cari varians dan sisihan piawai bagi set data.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} Min \bar{x} = \frac{\sum f x}{\sum f} \\ = \frac{(6) (2) + (8) (3) + (5) (4) + (3) (5) + (3) (6) + (3) (7) + (2) (8)}{6 + 8 + 5 + 3 + 3 + 3 + 2} \\ = \frac{126}{30} = 4.2 \\ \frac{\sum f x^{2}}{\sum f} \\ = \frac{(6) {(2)}^{2} + (8) {(3)}^{2} + (5) {(4)}^{2} + (3) {(5)}^{2} + (3) {(6)}^{2} + (3) {(7)}^{2} + (2) {(8)}^{2}}{6 + 8 + 5 + 3 + 3 + 3 + 2} \\ = \frac{634}{30} = 21.13 \end{array}$

$\begin{array}{l} Varians, σ^{2} = \frac{\sum f x^{2}}{\sum f} - {\bar{x}}^{2} \\ σ^{2} = 21.133 - {4.2}^{2} \\ σ^{2} = 3.493 \\ Sisihan piawai, σ = \sqrt{varians} \\ σ = \sqrt{3.493} \\ σ = 1 .869 \end{array}$

(C) Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)

$Varians, σ^{2} = \frac{\sum f x^{2}}{\sum f} - {\bar{x}}^{2}$

$Sisihan piawai, σ = \sqrt{varians}$

Contoh 3:

Hitung min gaji harian dan sisihan piawai.

Penyelesaian:

Gaji harian (RM)	Bilangan pekerja, f	Nilai tengah, x	fx	fx²
10 – 14	40	12	480	5760
15 – 19	25	17	425	7225
20 – 24	15	22	330	7260
25 – 29	12	27	324	8748
30 – 34	8	32	256	8192
Total	100		1815	37185

$\begin{array}{l} Min \bar{x} = \frac{\sum f x}{\sum f} \\ Min gaji harian = \frac{1815}{100} = 18.15 \end{array}$

$\begin{array}{l} Varians, σ^{2} = \frac{\sum f x^{2}}{\sum f} - {\bar{x}}^{2} \\ Sisihan piawai, σ = \sqrt{varians} \\ σ^{2} = \frac{37185}{100} - {18.15}^{2} \\ σ^{2} = 42.43 \\ σ = \sqrt{42.43} \\ σ = 6 .514 \end{array}$

Bab 7 Statistik

Posted on May 30, 2016 by user

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 2)

7.2b Julat antara Kuartil 2

(C) Julat antara Kuartil untuk Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)

Julat antara kuartil bagi data terkumpul boleh ditentukan melalui

Kaedah 1 (guna jadual kekerapan longgokan) atau Kaedah 2 (ogif).

$\begin{array}{l} Kuartil pertama, k_{1} = L_{1} + (\frac{\frac{1}{4} N - F_{1}}{f_{k_{1}}}) C \\ Kuartil ketiga, k_{3} = L_{3} + (\frac{\frac{3}{4} N - F_{3}}{f_{k_{3}}}) C \end{array}$

*Rumus-rumus ini diubahsuai daripada rumus median.

Contoh 1:

Jadual yang berikut menunjukkan taburan markah yang diperoleh sekumpulan pelajar tingkatan 4 dalam satu ujian matematik.

Anggarkan julat antara kuartil.

Penyelesaian:

Kaedah 1: Melalui Jadual Kekerapan Longgokan

Langkah 1:

Kuartil pertama, k₁= cerapan ke- ¼ (60)

= cerapan ke-15

Kuartil ketiga, k₃= cerapan ke- ¾ (60)

= cerapan ke- 45

Langkah 2:

$\begin{array}{l} Kuartil pertama, k_{1} = L_{1} + (\frac{\frac{1}{4} N - F_{1}}{f_{k_{1}}}) C \\ = 39.5 + (\frac{15 - 12}{20}) 10 \\ = 39.5 + 1.5 \\ = 41 \end{array}$

Langkah 3:

$\begin{array}{l} Kuartil ketiga, k_{3} = L_{3} + (\frac{\frac{3}{4} N - F_{3}}{f_{k_{3}}}) C \\ = 49.5 + (\frac{45 - 32}{16}) 10 \\ = 49.5 + 8.125 \\ = 57.625 \end{array}$

Langkah 4:

Julat antara kuartil

= kuartil ketiga – Kuartil pertama

= k₃– k₁

= 57.625 – 41

= 16.625

Bab 7 Statistik

Posted on May 30, 2016 by user

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 2)

7.2b Julat antara Kuartil 1

(A) Julat antara Kuartil untuk Data Tak Terkumpul

Contoh 1:

Cari julat antara kuartil bagi setiap set data yang berikut.

(a) 7, 5, 1, 3, 6, 11, 8

(b) 12, 4, 6, 18, 9, 16, 2, 14

Penyelesaian:

(a)

Susun semula data mengikut tertib menaik.

Julat antara kuartil

= kuartil ketiga – Kuartil pertama

= 8 – 3

= 5

(b)

Julat antara kuartil

= kuartil ketiga – Kuartil pertama

$= \frac{14 + 16}{2} - \frac{4 + 6}{2}$

= 15 – 5

= 10

(B) Julat antara Kuartil untuk Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)

Contoh 2:

Jadual yang berikut menunjukkan taburan markah yang diperoleh sekumpulan pelajar tingkatan 4 dalam satu ujian sains.

Tentukan julat antara kuartil bagi taburan itu.

Penyelesaian:

Kuartil pertama, k₁= cerapan ke- ¼ (24)

= cerapan ke- 6

= 2

Kuartil ketiga, k₃= cerapan ke- ¾ (24)

= cerapan ke- 18

= 4

Markah	kekerapan	Kekerapan longgokan
1	4	4
2	7	11 (k₁ terletak di sini)
3	5	16
4	2	18 (k₃ terletak di sini)
5	6	24

Julat antara kuartil

= kuartil ketiga – Kuartil pertama

= k₃ – k₁

= 4 – 2

= 2

Bab 7 Statistik

Posted on May 30, 2016 by user

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 1)

7.2a Julat

(A) Julat untuk Data Tak Terkumpul

Julat

= nilai cerapan terbesar – nilai cerapan terkecil

Contoh 1:

Cari julat bagi set data 2, 4, 7, 10, 13, 16 dan 18.

Penyelesaian:

Julat = nilai cerapan terbesar – nilai cerapan terkecil

= 18 – 2

= 16

(B) Julat untuk Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)

Julat

= nilai tengah kelas tertinggi – nilai tengah kelas terendah

Contoh 2:

Jadual yang berikut menunjukkan taburan kekerapan skor yang diperoleh 100 pelajar dalam
suatu pertandingan.

Cari julat bagi set data.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} J u l a t = nilai tengah kelas - nilai tengah kelas \\ tertinggi terendah \\ J u l a t = \frac{35 + 39}{2} - \frac{5 + 9}{2} \\ = 37 - 7 \\ = 30 \end{array}$

Bab 7 Statistik

Posted on May 30, 2016 by user

7.1b Mod

Mod ialah cerapan yang mempunyai kekerapan paling tinggi dalam suatu set.

Contoh 1:

Cari mod bagi setiap set data yang berikut.

(a) 15, 18, 21, 25, 20, 18

(b) 3, 6, 9, 11, 17

Penyelesaian:

(a) Mod ialah 18. ← (18 berulang sebanyak 2 kali)

(b) Tiada mod.

(c) Mod ialah 1 dan 2. ← (kedua-dua nombor berulang 4 kali)

Bab 7 Statistik

Posted on May 30, 2016 by user

7.1a Min

$Min = \frac{Hasil tambah nilai data}{Bilangan data}$

(A) Data Tak Terkumpul

Contoh 1:

(a) Cari min bagi set data 2, 4, 7, 10, 13, 16 dan 18.

(b) Apabila suatu nilai x ditambah ke dalam set data di (a), nilai baru min menjadi 9.5. Tentukan nilai x.

Penyelesaian:

(a)

$\begin{array}{l} \bar{x} = \frac{2 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 18}{7} \\ \bar{x} = \frac{70}{7} = 10 \end{array}$

(b)

$\begin{array}{l} Min baru = 9.5 \\ \frac{70 + x}{8} = 9.5 \\ 70 + x = 76 \\ x = 6 \end{array}$

(B) Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)

Contoh 2:

Jadual kekerapan yang berikut menunjukkan markah ujian biologi bagi 40 orang pelajar.

Kira min markah.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} Min markah, \bar{x} \\ \bar{x} = \frac{(50) (6) + (55) (8) + (60) (15) + (65) (10) + (70) (1)}{6 + 8 + 15 + 10 + 1} \\ \bar{x} = \frac{2360}{40} = 59 \end{array}$

(C) Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)

Contoh 3:

Jadual yang berikut menunjukkan taburan kekerapan skor yang diperoleh 100 pelajar dalam
suatu pertandingan.

Kira min skor.

Penyelesaian:

$\begin{array}{l} Nilai tengah = \frac{5 + 9}{2} = 7 \\ Min skor, \bar{x} = \frac{\sum f x}{\sum f} = \frac{2290}{100} = 22.9 \end{array}$

8.4.2 Sukatan Membulat, SPM Praktis (Kertas 1)

Soalan 4:

Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O.

Panjang lengkok minor ialah 16 cm dan sudut bagi sector major AOB ialah 290^o.

Guna π = 3.142, cari

(a) nilai θ, dalam radian. (jawapan dalam empat angka bererti)

(b) panjang, dalam cm, jejari bulatan.

Penyelesaian:

(a)

Sudut sektor minor AOB

= 360^o– 290^o

= 70^o

= 70^o×

$\frac{3.142}{180^{\circ}}$

= 1.222 radian

(b)

Guna s = jθ

j × 1.222 = 16

jejari, j = 13.09 cm

Soalan 5:

Rajah di bawah menunjukkan sektor OPQ dengan pusat O dan sektor PXY berpusat P.

Diberi OQ = 8 cm, PY = 3 cm, ∠ XPY = 1.2 radian dan panjang lengkok PQ = 6cm,

hitung

(a) nilai θ, dalam radian,

(b) luas, dalam cm², kawasan berlorek.

Penyelesaian:

(a)

s = jθ

6 = 8θ

θ = 0.75 rad

(b)

Luas kawasan berlorek

= Luas sektor OPQ – Luas sektor PXY

= ½ (8)²(0.75) – ½ (3)² (1.2)

= 24 – 5.4

= 18.6 cm²

Soalan 6:

Rajah di bawah menunjukkan sebuah bulatan berpusat O dan berjejari 10 cm.

Diberi bahawa A, B dan C adalah titik dengan keadaan OA = AB dan ∠OAC = 90°, cari

[Guna π = 3.142]

(a) ∠BOC, dalam radian,

(b) luas, dalam cm², kawasan berlorek.

Penyelesaian:

(a)

Untuk ∆ OAC,

cos ∠AOC = 6/12

∠AOC = 1.047 rad (tukar mode kalkulator kepada RAD)

∠BOC = 1.047 rad

(b)

Luas kawasan berlorek

= Luas ∆ BOC – Luas ∆ AOC

= ½ (12)²(1.047) – ½ (6) (12) sin 1.047 (tukar mode kalkulator kepada RAD)

= 75.38 – 31.17

= 44.21 cm²

Bab 7 Statistik

Bab 7 Statistik

Bab 7 Statistik

Bab 7 Statistik

Bab 7 Statistik

Bab 7 Statistik

Bab 8 Sukatan Membulat

Bab 8 Sukatan Membulat

Bab 8 Sukatan Membulat

Bab 8 Sukatan Membulat