Bab 7 Statistik

Posted on by

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 3)

7.2c Varians dan Sisihan Piawai
1. Varians ialah sukatan minbagi kuasa dua sisihan-sisihan daripada min.
2. Sisihan piawai merujuk kepada punca kuasa dua positif bagi varians.


(A) Data Tak Terkumpul
Varians,  σ 2 = ∑ x 2 N − x ¯ 2  
 
Sisihan piawai, σ =  varians  

Contoh 1:
Cari varians dan sisihan piawai bagi set data,
15, 17, 21, 24 dan 31

Penyelesaian:
Varians,  σ 2 = ∑ x 2 N − x ¯ 2 σ 2 = 15 2 + 17 2 + 21 2 + 24 2 + 31 2 5 − ( 15+17+21+24+31 5 ) 2 σ 2 = 2492 5 − 21.6 2 σ 2 =31.84 Sisihan piawai, σ =  varians σ =  31.84 σ = 5.642  



(B) Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)

Varians,  σ 2 = ∑f x 2 ∑f − x ¯ 2  
Sisihan piawai, σ =  varians

Contoh 2:
Data di bawah menunjukkan bilangan kanak-kanak oleh 30 keluarga:

Bilangan kanak-kanak
2
3
4
5
6
7
8
Kekerapan
6
8
5
3
3
3
2




Cari varians dan sisihan piawai bagi set data.

Penyelesaian:
Min  x ¯ = ∑fx ∑f = ( 6 )( 2 )+( 8 )( 3 )+( 5 )( 4 )+( 3 )( 5 )+( 3 )( 6 )+( 3 )( 7 )+( 2 )( 8 ) 6+8+5+3+3+3+2 = 126 30 =4.2 ∑f x 2 ∑f = ( 6 ) ( 2 ) 2 +( 8 ) ( 3 ) 2 +( 5 ) ( 4 ) 2 +( 3 ) ( 5 ) 2 +( 3 ) ( 6 ) 2 +( 3 ) ( 7 ) 2 +( 2 ) ( 8 ) 2 6+8+5+3+3+3+2 = 634 30 =21.13

Varians,  σ 2 = ∑f x 2 ∑f − x ¯ 2 σ 2 =21.133− 4.2 2 σ 2 =3.493 Sisihan piawai, σ =  varians σ =  3.493 σ = 1.869



(C) Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)

Varians, σ 2 = ∑ f x 2 ∑ f − x ¯ 2
Sisihan piawai, σ = varians

Contoh 3:


Hitung min gaji harian dan sisihan piawai.

Penyelesaian:

Gaji harian (RM)
Bilangan pekerja, f
Nilai tengah, x
fx
fx2
10 – 14
40
12
480
5760
15 – 19
25
17
425
7225
20 – 24
15
22
330
7260
25 – 29
12
27
324
8748
30 – 34
8
32
256
8192
Total
100
1815
37185
Min x ¯ = ∑ f x ∑ f Min gaji harian = 1815 100 = 18.15  

Varians, σ 2 = ∑ f x 2 ∑ f − x ¯ 2 Sisihan piawai, σ = varians σ 2 = 37185 100 − 18.15 2 σ 2 = 42.43 σ = 42.43 σ = 6 .514


Bab 7 Statistik

Posted on by

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 2)

7.2b Julat antara Kuartil 2

(C) Julat antara Kuartil untuk Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)
Julat antara kuartil bagi data terkumpul boleh ditentukan melalui

Kaedah 1 (guna jadual kekerapan longgokan) atau Kaedah 2 (ogif).

Kuartil pertama, k 1 = L 1 + ( 1 4 N − F 1 f k 1 ) C Kuartil ketiga, k 3 = L 3 + ( 3 4 N − F 3 f k 3 ) C  

*Rumus-rumus ini diubahsuai daripada rumus median.
 

Contoh 1:
Jadual yang berikut menunjukkan taburan markah yang diperoleh sekumpulan pelajar tingkatan 4 dalam satu ujian matematik.

Anggarkan julat antara kuartil.

Penyelesaian:
Kaedah 1: Melalui Jadual Kekerapan Longgokan

Langkah 1:
Kuartil pertama, k1 = cerapan ke- ¼ (60)
= cerapan ke-15
Kuartil ketiga, k3 = cerapan ke- ¾ (60)
 = cerapan ke- 45



Langkah 2:
Kuartil pertama, k 1 = L 1 + ( 1 4 N − F 1 f k 1 ) C = 39.5 + ( 15 − 12 20 ) 10 = 39.5 + 1.5 = 41

Langkah 3:
Kuartil ketiga, k 3 = L 3 + ( 3 4 N − F 3 f k 3 ) C = 49.5 + ( 45 − 32 16 ) 10 = 49.5 + 8.125 = 57.625

Langkah 4:
Julat antara kuartil
= kuartil ketiga – Kuartil pertama
= k3– k1
= 57.625 – 41
= 16.625


Bab 7 Statistik

Posted on by

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 2)

7.2b Julat antara Kuartil 1
(A) Julat antara Kuartil untuk Data Tak Terkumpul



Contoh 1:
Cari julat antara kuartil bagi setiap set data yang berikut.
(a) 7, 5, 1, 3, 6, 11, 8
(b) 12, 4, 6, 18, 9, 16, 2, 14

Penyelesaian:
(a)
Susun semula data mengikut tertib menaik.



 Julat antara kuartil
= kuartil ketiga – Kuartil pertama
= 8 – 3
= 5

(b)

Julat antara kuartil
= kuartil ketiga – Kuartil pertama
= = 14 + 16 2 − 4 + 6 2  
= 15 – 5
= 10


(B) Julat antara Kuartil untuk Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)

Contoh 2:
Jadual yang berikut menunjukkan taburan markah yang diperoleh sekumpulan pelajar tingkatan 4 dalam satu ujian sains.

Tentukan julat antara kuartil bagi taburan itu.

Penyelesaian:
Kuartil pertama, k1 = cerapan ke- ¼ (24)
  = cerapan ke- 6
= 2

Kuartil ketiga, k3 = cerapan ke- ¾ (24)
= cerapan ke- 18
= 4


Markah
kekerapan
Kekerapan
longgokan
1
4
4
2
7
11 (k1 terletak di sini)
3
5
16
4
2
18 (k3 terletak di sini)
5
6
24
Julat antara kuartil
= kuartil ketiga – Kuartil pertama
= k3 – k1
= 4 – 2
= 2

Bab 7 Statistik

Posted on by

7.2 Sukatan Serakan (Bahagian 1)

7.2a Julat
(A) Julat untuk Data Tak Terkumpul
   Julat
   = nilai cerapan terbesar – nilai cerapan terkecil
 
Contoh 1:
Cari julat bagi set data 2, 4, 7, 10, 13, 16 dan 18.

Penyelesaian:
Julat = nilai cerapan terbesar – nilai cerapan terkecil
= 18 – 2
= 16



(B) Julat untuk Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)

Julat
= nilai tengah kelas tertinggi – nilai tengah kelas terendah
Contoh 2:
Jadual yang berikut menunjukkan taburan kekerapan skor yang diperoleh 100 pelajar dalam
suatu pertandingan.


Cari julat bagi set data.

Penyelesaian:
Julat=nilai tengah kelas−nilai tengah kelas                   tertinggi                   terendah Julat= 35+39 2 − 5+9 2            =37−7            =30


Bab 7 Statistik

Posted on by
7.1b Mod
Mod ialah cerapan yang mempunyai kekerapan paling tinggi dalam suatu set.

Contoh 1:
Cari mod bagi setiap set data yang berikut.
(a) 15, 18, 21, 25, 20, 18
(b) 3, 6, 9, 11, 17
(c) 0, 1, 2, 7, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 2

Penyelesaian:
(a) Mod ialah 18. ← (18 berulang sebanyak 2 kali)
(b) Tiada mod.
(c) Mod ialah 1 dan 2. ← (kedua-dua nombor berulang 4 kali)


Bab 7 Statistik

Posted on by


7.1a Min

Min= Hasil tambah nilai data Bilangan data  


(A) Data Tak Terkumpul

 
Contoh 1:
(a) Cari min bagi set data 2, 4, 7, 10, 13, 16 dan 18.
(b) Apabila suatu nilai x ditambah ke dalam set data di (a), nilai baru min menjadi 9.5. Tentukan nilai x.

Penyelesaian:
(a)
x ¯ = 2 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 18 7 x ¯ = 70 7 = 10

(b)
Min baru = 9.5 70 + x 8 = 9.5 70 + x = 76 x = 6
 

(B) Data Terkumpul (tanpa Selang Kelas)


Contoh 2:
Jadual kekerapan yang berikut menunjukkan markah ujian biologi bagi 40 orang pelajar.



Kira min markah.

Penyelesaian:
Min markah,  x ¯ x ¯ = ( 50 )( 6 )+( 55 )( 8 )+( 60 )( 15 )+( 65 )( 10 )+( 70 )( 1 ) 6+8+15+10+1 x ¯ = 2360 40 =59


(C) Data Terkumpul (dengan Selang Kelas)



Contoh 3:
Jadual yang berikut menunjukkan taburan kekerapan skor yang diperoleh 100 pelajar dalam
suatu pertandingan.

Kira min skor.


Penyelesaian:



Nilai tengah = 5 + 9 2 = 7 Min skor, x ¯ = ∑ f x ∑ f = 2290 100 = 22.9