Bab 10 Penyelesaian Segitiga

10.1 Petua Sinus
Dalam suatu segitiga ABC, huruf besar A, B, Cdigunakan untuk mewakili sudut di bucu-bucu A, B dan C masing-masing. Huruf kecil a, b, dan c untuk mewakili sisi BC, CA dan AB yang bertentangan dengan bucunya.



Petua sinus boleh digunakan untuk menyelesaikan sesuatu segitiga apabila
     (i)    dua sudut dan satu sisi diberikan, atau
     (ii) dua sisi dan satu sudut bukan kandung diberikan


(A) Jika 2 sudut dan 1 sisi diketahui Petua Sinus
Contoh:

Hitung panjang AB, dalam cm.

Penyelesaian:
ACB = 180o – (50o + 70o) = 60o
AB sin 60 o = 4 sin 50 o AB= 4×sin 60 o sin 50 o AB=4.522 cm

(B) Jika 2 sisi dan 1 sudut diketahui (bukan di antara sisi) Petua Sinus
Contoh:
Hitung ACB

Penyelesaian:
28 sin 54 o = 26 sinACB sinACB= 26×sin 54 o 28 sinACB=0.7512 ACB= 48.7 o  


(C) Mencari Sisi atau Sudut dalam Sesuatu Segitiga bagi Kes Berambiguiti
Contoh:
Hitung ACB, θ.

Penyelesaian:
Dalam kes ini, terdapat dua kemungkinan dalam bentuk sigitiga.
AB = 26cm         BC = 28 cm           BAC = 54o
26 sinθ = 28 sin 54 o
sin θ  = 0.7512
θ = sin -1 0.7512
θ = 48.7o, 180o – 48.7o
θ = 48.7o (sudut tirus), 131.3o (sudut cakah)




Bab 10 Penyelesaian Segitiga

10.2 Petua Kosinus
  

a2 = b2+ c2 – 2bc cosA
b2 = a2+ c2 – 2ac cosB
c2 = a2+ b2 – 2ab cosC

Petua kosinus boleh digunakan untuk menyelesaikan sesuatu segitiga apabila
     (i)    dua sisi dan satu sudut kandung diberikan, atau
     (ii) tiga sisi diberikan

(A) Jika 2 sisi dan 1 sudut kandung diberi Petua Kosinus
Contoh:


Hitung panjang AC, x, dalam cm bagi segitiga di atas.

Penyelesaian:
b2 = a2+ c2 – 2ac kosB
x2 = 42 + 72 – 2(4)(7) cos50o
x2 = 16 + 49 – 56 (0.6428)
x2 = 65 – 35.997
x2 = 29.003
x = 5.385 cm


(B) Jika 3 sisi diberi Petua Kosinus
Contoh:


HitungBAC

Penyelesaian:
cosA= b 2 + c 2 a 2 2bc cosBAC= 7 2 + 6 2 8 2 2(7)(6)
kosBAC = 0.25
BAC = kos -1 0.25
BAC = 75.52o

Bab 10 Penyelesaian Segitiga

10.4 Penyelesaian Segitiga, SPM Praktis (Kertas 2)

Contoh 1:
Rajah di bawah menunjukkan sisi empat ABCD.

Luas segitiga BCD ialah 12 cm2 dan BCD ialah tirus. Hitung
     (a)  BCD ,
     (b)  Panjang, dalam cm, bagi BD,
     (c)  ABD ,
     (d)  luas, dalam cm2, sisi empat ABCD.

Penyelesaian:
(a)
Diberi luas ∆ BCD = 12 cm2
½ (BC) (CD) sin C = 12
½ (7) (4) sin C= 12
14 sin C = 12
sin C = 12/14 = 0.8571
C = 59o
BCD = 59o

(b)
Guna petua sinus,
BD2 = CD2 + BC2 – 2 (4)(7) cos 59o
BD2 = 42 + 72 – 2 (4)(7) cos 59o
BD2 = 65 – 28.84
BD2 = 36.16
BD = 6.013 cm

(c)
Guna petua sinus,
AB sin 35 = 6.013 sinA 10 sin 35 = 6.013 sinA sinA= 6.013×sin 35 10
sin A = 0.3449
A = 20.18o
ABD = 180o– 35o – 20.18o
= 124.82o

(d)
Luas sisi empat ABCD
= Luas ∆ ABD + Luas ∆ BCD
= ½ (AB)(BD) sin B + 12 cm
= ½ (10) (6.013) sin 124.82 + 12
= 24.68 + 12
= 36.68 cm


Bab 6 Geometri Koordinat

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 2:

Rajah menunjukkan trapezium PQRS. Diberi persamaan PQialah 2y x – 5 = 0, cari
(a)   nilai w,
(b)   persamaan PS dan seterusnya cari koordinat P,
(c)    lokus M supaya segitiga QMS adalah sentiasa berserenjang di M.

Penyelesaian:
(a)
Persamaan PQ,
2yx – 5 = 0
2y = x + 5
y= 1 2 x+ 5 2 m PQ = 1 2 In a trapizium,  m PQ = m SR 1 2 = 0(3) w4 w4=6 w=10

(b)
m PQ = 1 2 m PS = 1 m PQ = 1 1 2 =2
Titik S = (4, –3), m = –2
yy1 = m (xx1)
y – (–3) = –2 (x – 4)
y + 3 = –2x + 8
y = –2x + 5
Persamaan PS ialah y = –2x + 5

PS is y = –2x + 5-----(1)
PQ is 2y = x + 5-----(2)
Gantikan (1) ke dalam (2)
2 (–2x + 5) = x + 5
–4x + 10 = x + 5
–5x = –5
x = 1
Dari (1), y = –2(1) + 5
y = 3
Koordinat titik P = (1, 3).

(c)
Katakan M = (x, y)
Diberi ∆QMS berserenjang di M
Oleh itu, ∆QMS = 90o
(mQM) (mMS) = –1
( y5 x5 )( y( 3 ) x4 )=1
(y – 5) (y + 3)  = –1(x– 5) (x – 4)
y2 + 3y – 5y – 15 = –1(x2 – 4x – 5x + 20)
y2 – 2y – 15 = –x2 + 9x – 20
x2 + y2– 9x – 2y + 5 = 0

Jadi, persamaan lokus titik M ialah
x2 + y2 – 9x – 2y + 5 = 0.


Bab 6 Geometri Koordinat

6.8 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Kertas 2)
Soalan 1:
Rajah menunjukkan garis lurus PQ bertemu dengan garis lurus RSdi titik Q. Titik P terletak pada paksi-y.
(a)   Tuliskan persamaan RS dalam bentuk pintasan.
(b)   Diberi 2RQ = QS, cari koordinat Q.
(c)    Diberi PQ berserenjang dengan RS, cari pintasan-y bagi PQ.

Penyelesaian:
(a)
x 12 + y 6 =1 x 12 y 6 =1  

(b)
Diberi 2RQ = QS
RQ QS = 1 2 Katakan koordinat Q=(x, y) ( ( 0 )( 2 )+( 12 )( 1 ) 1+2 , ( 6 )( 2 )+( 0 )( 1 ) 1+2 )=( x, y ) x= 12 3 =4 y= 12 3 =4 Q=(4,4)

(c)
Kecerunan RS,  m RS =( 6 12 )= 1 2 m PQ = 1 m RS = 1 1 2 =2

Titik Q = (4, –4), m = –2
Guna y = mx+ c
–4 = –2 (4) + c
c = 4
Maka, pintasan-y bagi PQ = 4

Bab 6 Geometri Koordinat

6.7 Geometri Koordinat, SPM Praktis (Soalan Pendek)
Soalan 3
Persamaan garis lurus CD dan EF adalah 5x + y – 4 = 0 dan x 7 y h =1 . Jika CD dan EF adalah selari, cari nilai h.

Penyelesaian:
Dua garis selari mempunyai kecerunan yang sama.
5x + y – 4 = 0 
y = –5x + 4, mCD = –5   

Bagi garis lurus EF,
x 7 y h =1 m EF =( pintasan-y pintasan-x )=( h 7 )= h 7 m CD = m EF 5= h 7 h=35



Soalan 4
Garis lurus x 5 + y p =1 mempunyai pintasan-y bernilai 3 dan selari dengan garis lurus y + qx = 0. Tentukan nilai p dan nilai q.

Penyelesaian:
Diberi pintasan-ygaris lurus x 5 + y p =1 adalah 3,
Maka p = 3
Kecerunan garis lurus = 3 5  
Bagi garis y + qx = 0, y = –qx
Dua garis selari mempunyai kecerunan yang sama,
q= 3 5 q= 3 5



Soalan 5
Persamaan dua garis lurus y 7 + x 4 =1 dan 7y = 4x+ 21. Tentukan sama ada pasangan garis lurus  adalah berserenjang antara satu sama lain.

Penyelesaian:
Bagi garis lurus  y 7 + x 4 =1,  kecerunan= 7 4 Bagi garis lurus 7y=4x+21, y= 4 7 x+3,  kecerunan = 4 7 7 4 × 4 7 =1 
Maka, pasangan garis lurus  adalah berserenjang antara satu sama lain.

Bab 6 Geometri Koordinat

6.6 Persamaan Lokus yang Melibatkan Jarak di antara Dua Titik
1.      Persamaan lokus bagi suatu titik bergerak P (x, y) supaya jaraknya(r) dari suatu titik tetap (x1, y1) adalah malar
      (x x1)2 + ( yy1) 2= r2

2.      Persamaan lokus bagi suatu titik bergerak P (x, y) supaya jaraknya sentiasa malar dari dua titik tetap (x1, y1) dan (x1, y1) dengan nisbah m : n ialah

   

3.      Persamaan lokus bagi suatu titik bergerak P (x, y) supaya jaraknya sentiasa malardari dua titik tetap A dan B adalah pembahagi dua sama serenjang garis AB .


Contoh 1:
Cari persamaan lokus bagi titik bergerak P (x, y) supaya jaraknya sentiasa 5 unit dari suatu titik tetap Q (2, 4).

Penyelesaian:
(xx1)2+ (yy1)2 = r2
(x – 2)2 + (y – 4)2 = 52
x2 – 4x + 4 + y2 – 8y + 16 = 25
x2 + y2– 4x – 8y – 5 = 0


Contoh 2:
Cari persamaan lokus bagi titik bergerak P (x, y) supaya jaraknya dari titik A(2, 3) dan titik B (4, –1) adalah sama.

Penyelesaian:
PA = PB
( x( 2 ) ) 2 + ( y3 ) 2 = ( x4 ) 2 + ( y( 1 ) ) 2  
Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan
(x + 2)2 + (y – 3)2 = (x – 4)2+ (y + 1)2
x2 + 2x + 4 + y2 – 6y + 9 = x2 – 8x + 16 + y2 + 2y + 1
10x – 8y – 4 = 0
Jadi, persamaan lokus titik P ialah
10x – 8y – 4 = 0


Contoh 3:
A (2, 0) dan B (0, -2) adalah dua titik tetap. Titik P bergerak dengan nisbah supaya AP:PB = 1: 2.  Cari persamaan lokus bagi titik bergerak P.

Penyelesaian:
AP: PB = 1: 2
AP PB = 1 2 2AP=PB 2 ( x2 ) 2 + ( y0 ) 2 = ( x0 ) 2 + ( y( 2 ) ) 2
Kuasa duakan kedua-dua belah persamaan
4[(x – 2)2 + y2] = x2 + (y + 2)2
4 (x2 – 4x + 4 + y2) = x2 + y2+ 4y + 4
4x2 – 16x + 16 + 4y2 = x2 + y2 + 4y + 4
3x2 + 3y2– 16x – 4y +12 = 0
Jadi, persamaan lokus titik P ialah
3x2 + 3y2 – 16x – 4y +12 = 0

Bab 6 Geometri Koordinat

6.5 Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang

(A)       Garis Lurus Selari
1.   Jika dua garis lurus adalah selari, maka kecerunannyaadalah sama


Dalam rajah di atas, jika garis lurus L1 adalah selaridengan garis lurus L2, maka kecerunan L= kecerunan L2.
  m1 = m2

Contoh 1:
Diberi persamaan suatu garis lurus adalah selari dengan x + 8y= 40 dan melalui titik A (2, 3k) dan titik B (–6, 4k2), cari nilai k.

Penyelesaian:
x + 8y= 40
8y = –x+ 40
y = –⅛ x + 5
Kecerunan m1 = –

Diberi garis lurus melalui titik A and titik B adalah selari dengan x + 8y= 40,
maka m1 = m
1 8 = 4 k 2 3k 62
8 = 32k2 – 24k
1 = 4k2 – 3k
4k2 – 3k – 1 = 0
(4k + 1)(k – 1) = 0
4k + 1 = 0    atau    k – 1 = 0
k = –¼                        k = 1 


(B)      Garis Lurus Serenjang
1. Jika dua garis lurus berserenjang antara satu sama lain, maka hasil darab kecerunan-kecerunannya adalah –1.


Dalam rajah di atas, jika garis lurus L1 adalah berserenjang dengan garis lurus L2, maka kecerunan L× kecerunan L2 = –1.

  m1 × m2 = –1

Contoh 2:
Diberi titik-titik P(–2, 4), Q (4, 2), R (–1, –3) dan S (2, 6), tunjukkan PQ berserenjang dengan RS.

Penyelesaian:
m PQ = 24 4( 2 ) = 1 3 m RS = 6( 3 ) 2( 1 ) =3 ( m PQ )( m RS )=( 1 3 )( 3 )=1

Maka, PQ berserenjang dengan RS.

Bab 6 Geometri Koordinat

6.4 Persamaan Garis Lurus (Bahagian 2)

(C) Pembentukan Persamaan Garis Lurus
Kes 1
1.      Kecerunandan koordinat-koordinat satu titik diberi.
2.      Persamaan garis lurus dengan kecerunan, mmelalui titik (x1, y1) ialah
      yy1 = m (xx1)

Soalan 1:
Suatu garis lurus dengan kecerunan –3 melalui titik (–1, 5). Cari persamaan garis itu.

Penyelesaian:
yy1 = m (xx1)
y – 5 = – 3 (x – (–1))
y – 5 = – 3x – 3
y= – 3x + 2


Kes 2
1.      Koordinat-koordinat dua titik diberi.
2.      Persamaan garis lurus yang melalui titik (x1, y1) dan titik (x2, y2) ialah
y y 1 x x 1 = y 2 y 1 x 2 x 1
Soalan 2:
Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (2, 4) dan titik (5, 6).

Penyelesaian:
y y 1 x x 1 = y 2 y 1 x 2 x 1 Katakan ( x 1 , y 1 )=( 2, 4 ) dan ( x 2 , y 2 ) = ( 5, 6 ) y4 x2 = 64 52 y4 x2 = 2 3 3y12=2x4 3y=2x+8



Kes 3
1.      Pintasan-x dan pintasan-y diberi:
x a + y b =1 
a = pintasan-x
b = pintasan-y

Soalan 3:
Cari persamaan garis lurus yang melalui titik (5, 0) dan titik (0, –6).

Penyelesaian:
Pintasan-x, a = 5, Pintasan-y, b = –6
Persamaan garis lurus
x a + y b =1 x 5 + y ( 6 ) =1 x 5 y 6 =1



(D)   Bentuk-bentuk Persamaan Garis Lurus
(a)  Bentuk Kecerunan

    Persamaan dalam bentuk kecerunan 
                    y = mx + c
                 m = kecerunan
                  c = pintasan-y

(b)  Bentuk Am

    Persamaan dalam bentuk am
                    ax2 + bx + c = 0

(c)    Bentuk Pintasan

    Persamaan dalam bentuk pintasan
                 x a + y b =1     
                 a = pintasan-x
                 b = pintasan-y